大一微积分练习题及答案

1、微积分（1）练习题单项选择题1.设f上0存在，则下列等式成立的有（B. lim f X。2f X。- ：X - f X。妁0-一 f x0C.lim f X0 2h -f X0h )0D. lim f X02h fX01-f x02.F列极限不存在的有（lim xsinx )0 x2lim-fxX_-:C.1lim e_023(3x2 -1 )lim 6 x 2x x3.设f（x）的一个原函数是e，贝y f （x）二（）-2e2xJ2x eC. 4ex2xD.-2xe4.2Vx,函数 f (X) h 1,1 +x,X=1在0,= 上的间断点X = 1为（ ）间断点。X 1A .跳跃间断点；C.

2、可去间断点；5.设函数f x在a, b i上有定义，在B .无穷间断点;D .振荡间断点a,b内可导，则下列结论成立的有（A.当f a f b ： 0时，至少存在一点a,b ，使 f =0 ;B.对任何：三(a, b，有 lim. f x - f 丨=0 ; XT-C.当fa = f b时，至少存在一点：三a,b，使= 0 ；D.至少存在一点：三a, b，使 f b - f a 二 f i ： .b - a ； f （x）6.已知f x的导数在x = a处连续，若lim1 ,则下列结论成立的有（）t x aA. x=a是f x的极小值点;B. x = a是f x的极大值点;C. a, f a是

3、曲线y = f X的拐点;D. x = a不是f x的极值点，a, f a 也不是曲线y = f x的拐点；二.填空：(i 1.设 y = f arcsin丨， f 可微，贝U y(x)=、x丿2 .若 y =3x5 _2x2 + x - 3，贝U yC)=3 .过原点0,1作曲线y =e2x的切线，则切线方程为 4.曲线y = 4xT-2的水平渐近线方程为 x铅垂渐近线方程为5 .设 f (ln x) = 1 x，贝U f x 二f x 二三.计算题:(1)lim 2x 1 x2X2 12x -3(2) limxjsC(3) lim U(4) y =ln1-2xF 求 dyt xsin3x(

4、5) exyy3 -5x = 0 求 dy xdx b(1 + sin x)+a+2 x0四.试确定a , b，使函数f(x)b1 ： a 2,在x = 0处连续且可导e -1,x01五试证明不等式：当 x 1时，e x ex :一 xex - e2六设F x二 一 , x a，其中f x在a上连续，f ” x在a内存x a在且大于零，求证 F x在a, 内单调递增。七单项选择题微积分练习题参考答案5 ( B ) 6. ( B )1.1 r . 1、 arcs in i Ix丿x:lx2 一12.)=03.y =2x +14.y =2, x=05.f x )=1 +ex,f(X )= X三,计

5、算题：（1 ）limx 11. （ B ） 2. （ C ） 3. （ A ） 4. （ C八.填空：（每小题3分，共15分）ex cx2 一1x2 2x-3 xim.-x-2x2 -1lim 厂x 1 x2 2x -32xlimx 丿2x 2二 lim(1 -2)xr： x2xlim -二ex厂(3)ln(1x2)limx)0 xsin 3x(4)2ln(1 x )limx0 xsin 3x2x二 limx0 x 3x(5) exy y3 -5x = 0 求 dy 心dxexy y xy 3y2y _5 = 05 - yexy3y2xexy又x =0= y 二 -1x2_2x 3.x二 in

6、 1 -2x l2 求 dydy = 2l n 1 - 2x -1 -2x4lln 1 -2x 1=dx1 -2x一 2 dxy xf5 - yexy3y. xyxex0= 2y=（九试确定a , b，使函数心）=（1+弩）+沙2, x在x = o处连续且可导 、 eax -1,xcO（8分）解：f 0 0 = lim b 1 sin x l a 2 丨=a b 2=0 处连续 f 0 0 二 f 0 -0函数f x在xf 0 -0=lim eax -V-0 ,xT_a b 2 =0,(1)b 1 sin x La 2 I - b a 21.f 0 ;= limb0十xf 0 =lim“壮21

7、讪“xT X函数f X在X =0处可导0 = f_0，故a = b(2)由(1) (2)知 a = b = -11 “十试证明不等式：当 x 1时，e x : exxex e (8分)2证：(法一)设f t二et r 1,x】则由拉格朗日中值定理有e x -1: exe=e x1 : exx1- - (1,x1 整理得： e x : exxex - e2法二：设 f x = ex exx=ex-e0 x 1 故fx=ex -ex在x 1时，为增函数,f x = ex -ex f 1 =0，即 ex ex设 f x = exxex e2f x二exexxex二丄 ex1x ： 0 x 1 故 f x 二ex丄xexe 在2 2 2x 1时，为减函数，f x 二 ex -1 ex xex :： f 1 =0，即 ex ：1 xex e2 21综上，e x : exxex - e2设F x二 厘x a，其中f x