大一上学期高数期末考试题

1、大一上学期高数期末考试卷、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1 设 f ( x) = cos x( x + sin x ),则在x = 0处有()(A) f(0)=2( b)f(0) (C)f(0)=0( d)f(x)不可导.设(x) = 1 一x , p(x)=3 3习x，则当 xt 1时()2.1 x(A) (X)与-(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)(X)与-(x)是等价无穷小；(C (X)是比-(x)高阶的无穷小；(D) -(x)是比(x)高阶的无穷小.x3.若F (x)二o (2tx) f (t) dt,其中f (x)在区间上(-1,1)二阶可导且 f(x)

2、0，则().(A) 函数F (x)必在x =0处取得极大值；(B) 函数F(x)必在x =0处取得极小值；(C) 函数F(x)在x=0处没有极值，但点(0, F(0)为曲线y = F(x)的拐点;(D)函数F(x)在X=0处没有极值，点(0,F(0)也不是曲线y = F(x)的拐点。14 设f (x)是连续函数，且 f (x)= x + 2j0 f(t)dt ,贝U f(x)=(2x2x2(A) 2( B) 2(C) x -1(D) x 2.二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)2lim (13x)sin7 -x .0已知cosx是f(x)的一个原函数，x5.6.则 f(x) CO

3、Sxdx =x22 22 n - 1 _、lim (cos coscos)=7. n n nnn .12 x2 arcsin x +1(dx =1 W1 X8. - 2 .三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.设函数y = y(x)由方程ex sin(xy)二1确定，求ytx)以及y ().10.11.1 - x7求厂dx.x(1 + x )、xe设f(x)二V2_x2x ,12.13.求 13 f (x)dx0 X乞11g(x) = f (xt)dt0lim = A，且xT X , A为常数.求g(x)并讨论g(x)在x二o处的连续性.设函数f(x)连续,求微分方程xy 2y

4、 = xlnx满足1y(1)_9 的解.四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线 y二y(x) (x 一0)，过点(0,1)，且曲线上任一点 M(X0,yo)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线x = x所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y = ln x的切线，该切线与曲线y = |n x及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A ； (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(x)在-0,1上连续且单调递减，证明对任意的q，0,

5、1，q1f (x) d x _q f (x) dx003131匚 1Jf(x)dx = 0 Jf(x) cos x dx = 017. 设函数f(x)在二上连续，且o证明：在，二内至少存在两个不同的点1 , 2，使f( 1)= f( 2)= 0 .(提xF(x)二 f (x)dx示：设0解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 ,cosx、2 I6_() +c 5. e. 6. 2 x.7.2.8.3.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.解：方程两边求导10.解:x y(1 y

6、 ) ccxy(xy)(y ex y ycos(xy)y(x) ke 十 xcos(xy) x=0,y = 0, y(0)=_17u 二 X7x6dx = du2u_1)dU(1 -u) 1,1du(-7u(1 u) 7 u1 (ln|u| -2ln |u 1|) c12ln|x7|- ln|1 x7| C7710f (x)dx xe11.解：r3原式_xdx ： 2x x2dx0=xd_3-xe占)；、1 (x 1)2dx-x-x r0002人亠 I cos rdn(令 x-1 二 sinr) 2n 32e31412.解：由f(0) =0，知 g(0) =0g(x)二1xt =uf (xt

7、)dt 二0oxf(u)du0(x = 0)g(0) =limXxf(x) - f (u)du02xxf(u)duI 0X0(x = 0)f(x)g (x)Pm13.解:四、x2limx 0 2xxf(x) - f (u)du02xdy 2 y = In x dx x一 2dx|2dxy = e x ( e x In xdx C)1 xln x -3-x Cx9xlnx-x39解答题（本大题10分）A2 , g(x)在x = o处连续。X14.解：由已知且八20ydxy，-1,r2= 2.将此方程关于x求导得y 2 y特征方程：r2r2=0 解出特征根:x2 x其通解为y=C1eC2e代入初始

8、条件y(o)=y(0)=1，2丄 y = _ e 故所求曲线方程为： 3五、解答题(本大题10分)得1e3C12x15.解：(1)根据题意，先设切点为t,c(xo,ln X。)，切线方程y - In Xo1(X - Xo) Xo由于切线过原点，解出Xo二e，从而切线方程为:11A= J(ey -ey)dy =-e-1则平面图形面积02Vi,则(2)三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为曲线y=|nx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积 为V21v2 二二(e-ey)2dy0兀2D绕直线 六、证明题V =V1 - V2 (5e2 12e+3) x = e

9、旋转一周所得旋转体的体积6(本大题有2小题，每小题4分，共12分)q1qq116.证明：q=(1 -q) f(x)dx-q f(x)dx0q1 0, q 2 q,1f ( 1)_f ( 2)=q(1-q)f()-q(1-q)fG2) z 0f (x) d x _q f (x)dx f (x) d x _q( f (x) d x 亠 1 f (x)dx)0000q故有：q1f ( x) d x - q f ( x ) dX00证毕。17.XF(x)= Jf(t)dt ,0 兰 x 兰兀证：构造辅助函数：0。其满足在,二】上连续，在(,二)上可导。F (x) = f (x)，且 F (0) = F (兀)=0JI兀JI0 二 f(x)cosxdx 二 cosxdF(x)二 F (x)cosxL 亠 isinx F(x)dx 由题设，有 0010 0,71F (x)sinxdx 二