2019-2020学年新教材高中数学 第八章 立体几何初步 8.6.1 直线与直线垂直 8.6.2 直线与平面垂直(第1课时)

1、第 1 课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定a基础达标1已知 m 和 n 是两条不同的直线，和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件 中，一定能推出 m 的是( )a，且 m cmn，且 n bmn，且 n dmn，且 n解析：选 b.a 中，由 ，且 m ，知 m；b 中，由 n，知 n 垂直于平面 内的任意直线，再由 mn，知 m 也垂直于 内的任意直线，所以 m，b 符合题意；c，d 中，m 或 m 或 m 与 相交，不符合题意故选 b.2已知直线 ab，平面 ，a，则 b 与 的位置关系是( )ab cb bbdb 或 b解析：选 a.因为 a，ab，所以 b.又 ，所以

2、 b.3如图，在下列四个正方体中，a，b 为正方体的两个顶点，m，n，q 分别为所在棱的中 点，则在这四个正方体中，直线 ab 与平面 mnq 不垂直的是( )解析：选 d.对于 a，易证 abmn，abnq，即可得直线 ab平面 mnq；对于 b，易证 abmn， abnq，即可得直线 ab平面 mnq；对于 c，易证 abnq，abmq，即可得直线 ab平面 mnq； 对于 d，由图可得 mn 与直线 ab 相交且不垂直，故直线 ab 与平面 mnq 不垂直故选 d.4.如图，p 为abc 所在平面 外一点，pb，pcac， abc的形状为( )a 锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d

3、 不确定- 1 -解析：选 b.由 pb，ac 得 pbac，又 acpc，pcpbp，所以 ac平面 pbc，acbc.故选 b.5在正方体 abcd a b c d 中，点 p 在侧面 bcc b 及其边界上运动，并且总保持 apbd ，1 1 1 1 1 1 1则动点 p 的轨迹是 ( )a线段 b c1b线段 bc1cbb 中点与 cc 中点连成的线段1 1dbc 中点与 b c 中点连成的线段1 1解析：选 a.如图，由于 bd 平面 ab c，故点 p 一定位于线段 b c 上1 1 16.如图，在正方形 abcd a b c d 中，ac 与 bc 所成角的大小是_1 1 1 1

4、 1解析：连接 ad ，则 ad bc .1 1 1所以cad (或其补角)就是 ac 与 bc 所成的角，连接 cd ，在正方1 1 1体 abcd a b c d 中，acad cd ，1 1 1 1 1 1所以cad 60，1即 ac 与 bc 所成的角为 60.1答案：607如图，bca90，pc平面 abc，则在abc，pac 的边所在的直线中： (1)与 pc 垂直的直线有_；(2)与 ap 垂直的直线有_解析：(1)因为 pc平面 abc，ab，ac，bc 平面 abc.所以 pcab，pcac，pcbc. (2)bca90即 bcac，又 bcpc，acpcc，所以 bc平面

5、pac，因为 ap 平面 pac，所以 bcap.答案：(1)ab，ac，bc (2)bc8.如图所示，在矩形 abcd 中，ab1，bca(a0)，pa平面 abcd，且 pa1，若 bc 边上存在点 q，使得 pqqd，则 a 的最小值为_- 2 -解析：因为 pa平面 abcd，所以 paqd.若 bc 边上存在一点 q，使得 qdpq，papqp，则有 qd平面 paq，从而 qdaq.在矩形 abcd 中，当 ada2 时，直线 bc 与以 ad 为直径的圆相离，故不存在点 q，使 pqdq. 所以当 a2 时，才存在点 q，使得 pqqd.所以 a 的最小值为 2.答案：29.如图

6、，在直三棱柱 abc a b c 中，bac90，abac，d 是 bc 的1 1 1中点，点 e 在棱 bb 上运动证明：adc e.1 1证明：因为 abac，d 是 bc 的中点，所以 adbc.又在直三棱柱 abc a b c 中，bb 平面 abc，1 1 1 1而 ad 平面 abc，所以 adbb .1由得 ad平面 bb c c.1 1由点 e 在棱 bb 上运动，得 c e 平面 bb c c，1 1 1 1所以 adc e.110如图所示，等腰直角三角形 abc 中，bac90，bc 2，daac，daab，若 da1，且 e 为 da 的中点，求异面直线 be 与 cd

7、所成角的余弦值解：取 ac 的中点 f，连接 ef，bf， 在acd 中，e，f 分别是 ad，ac 的中点，所以 efcd，所以bef(或其补角)即为所求的异面直线 be 与 cd 所成的角 在 abc 中，bc 2，abac，所以 abac1，1 1在 eab 中，ab1，ae ad ，2 2所以 be52.- 3 -1 111 1 1在 rtaef 中，af ac ，ae ，2 2 2所以 ef22.1 5在 abf 中，ab1，af ，所以 bf .2 21 2ef2 4 10在等腰三角形 ebf 中，cosfeb ，be 5 102所以异面直线 be 与 cd 所成角的余弦值为101

8、0.b能力提升11已知异面直线 a 与 b 所成的角为 50，p 为空间一定点，则过点 p 且与 a，b 所成的 角都是 30的直线有且仅有( )a1 条c3 条b2 条d4 条解析：选 b.过空间一点 p，作 aa，bb.由 a、b两交线确定平面 ，a与 b 的夹角为 50，则过角的平分线与直线 a、b所在的平面 垂直的平面上，角平分线的 两侧各有一条直线与 a、b成 30的角，即与 a、b 成 30的角且过点 p 的直线有两条在 a、b相交另一个 130的角部分内不存在与 a、b成 30角的直线故应选 b. 12(2018高考全国卷)在长方体 abcda b c d 中，abbc1，aa

9、3，则异面直1 1 1 1 1线 ad 与 db 所成角的余弦值为( )1 11a.5b.56c.55d.22解析：选 c.如图，连接 bd ，交 db 于 o，取 ab 的中点 m，连接1 1dm，om，易知 o 为 bd 的中点，所以 ad om，则mod 为异面直线 ad1 1 1与 db 所成角因为在长方体 abcd a b c d 中，abbc1，aa 3， 1 1 1 1 1 1ad ad2dd2 1 12，dmad2ab2 252，db ab2ad2 1dd211 1 5 5，所以 om ad 1，od db ，于是在dmo 中，由余弦定理，得2 2 2- 4 -2 25115

10、512 2 2 5 5cosmod ，即异面直线 ad 与 db 所成角的余弦值为 ，故选5 5212c.13如图，在矩形 abcd 中，ab8，bc4，e 为 dc 边的中点，沿 ae 将ade 折起，在 折起过程中，下列结论正确的有( )ed平面 acd；cd平面 bed；bd平面 acd；ad平面 bed.a1 个c3 个b2 个d4 个解析：选 a.因为在矩形 abcd 中，ab8，bc4，e 为 dc 边的中点， 所以在折起过程中，d 点在平面 abce 上的投影如图因为 de 与 ac 所成角不能为直角，所以 de 不会垂直于平面 acd，故错误；只有 d 点投影位于 q 位置时，

11、即平面 aed 与平面 aeb 重合时，2才有 becd，此时 cd 不垂直于平面 aecb，故 cd 与平面 bed 不垂直，故错误；bd 与 ac 所成角不能为直角，所以 bd 不能垂直于平面 acd，故错误；因为 aded，并且在折起过程中，有 adbd，所以存在一个位置使 adbe，所以在折起过程中有 ad平面 bed，故正确故选 a.14如图，在多面体 abcdef 中，已知四边形 abcd 是边长为 2 的正方形，bcf 为正三角 形，g，h 分别为 bc，ef 的中点，ef4 且 efab，effb.(1)求证：gh平面 ead；- 5 -(2)求证：fg平面 abcd.证明：(

12、1)如图，取 ad 的中点 m，连接 em，gm.因为 efab，m，g 分别为 ad，bc 的中点，所以 mgef.因为 h 为 ef 的中点，ef4，ab2，所以 ehabmg，所以四边形 emgh 为平行四边形，所以 ghem， 又因为 gh平面 ead，em 平面 ead，所以 gh平面 ead.(2)因为 effb，efab，所以 abfb.在正方形 abcd 中，abbc，所以 ab平面 fbc.又 fg 平面 fbc，所以 abfg.在正三角形 fbc 中，fgbc，所以 fg平面 abcd.c拓展探究15如图 1，在 abc 中，c90，d，e 分别为 ac，ab 的中点，点

13、f 为线段 cd 上 的一点，将ade 沿 de 折起到de 的位置，使 a fcd，如图 2.1 1(1)求证：de平面 a cb；1(2)求证：a fbe；1(3)线段 a b 上是否存在点 q，使 a c平面 deq？说明理由1 1解：(1)证明：因为 d，e 分别为 ac，ab 的中点，所以 debc.又因为 de平面 a cb，bc 平面 a cb，1 1所以 de平面 a cb.1(2)证明：由已知得 acbc 且 debc，所以 deac.因为 dea d，decd，所以 de平面 a dc.1 1而 a f 平面 a dc，所以 dea f.1 1 1- 6 -又因为 a fcd，cdded，所以 a f平面 bcde. 1 1所以 a fbe.1(3)线段 a b 上存在点 q，使 a c平面 deq.理由如下：