北京市东城区2015-2016学年高一下学期期末考试试题数学

1、 北京市东城区 2015-2016 学年下学期高一期末考试数学试卷本试卷共 100 分，考试时长 120 分钟。第一部分（选择题 共 24 分）一 、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.x 2 +2 x 31. 不等式x|-1x 3 a.的解集是b.x|-3x 1c.x|x 1 d. x|x 32. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了三国演义、水浒传、红楼梦和西 游记若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到三 国演义和水浒传的概率为a.2 1b.3 2c.14d.163.

2、已知a b 0，则a.a2abb.ab b2c.a2b24. 某商品销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）负相关，则其回归方程可能是a.c.y =-10 x -200y =-10 x +200b.d.y =10 x +200y =10 x -2005. 已知非零向量 oa , ob 不共线，且 bm =13ba ，则向量 om =a.c.1 2 2 1 oa + ob b. oa + ob3 3 3 3 1 2 1 4 oa - ob d. oa - ob 3 3 3 36. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，那么输出的 s 的值为1 / 7a. -1 b. 0 c. 1 d. 37. 已

3、知a是等差数列，公差 d 不为零，前 n 项和是 nsn，若a , a , a 3 4 8成等比数列，则a.c.a d 0, ds 0, ds 0, ds 0 1 3a d 0 1 38.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益 功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺），问日益几何？”其意思为： “有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一 天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30 天 算，则每天增加量为a.1 8尺 b.2 15尺c

4、.1629尺d.1631尺第二部分 （非选择题 共 76 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）2 / 79. 某学院 a，b，c 三个专业共有 1200 名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽 样的方法抽取一个容量为 120 的样本。已知该学院 a 专业有 380 名学生，b 专业有 420 名学生，则 该学院 c 专业应抽取_名学生.10. 如图所示，在边长为 1 的正方形中，随机撒豆子，其中有 1000 粒豆子落在正方形中，180 粒 落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_.11. 若非零向量 a，b 满足a =b ,(2 a +b) b =0，

5、则 a 与 b 的夹角为_.12. 设abc 的内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，若b cos c +c cos b =a sin a，则a的度数为_.13. 已知x 0, y 0，且满足x y+ =13 4，则xy的最大值为_ _.14. 已知平面向量 a，b 和 c 在同一平面内且两两不共线，关于非零向量 a 的分解有如下四个命题： 给定向量 b，总存在向量 c，使 a=b+c；2 给定 向量 b 和 c，总存在实数和，使 a=b+c；3 给定单位向量 b 和正数，总存在单位向量 c 和实数，使 a=b+c；4 给定正数和，总存在单位向量 b 和单位向量 c，使 a=b+c.则

6、所有正确的命题序号是_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15. （本题满分 8 分）在平面直角坐标系 xoy 中，点 a（-1，-2），b（3,2），d（-3，-1），以线段 ab，ad 为邻边 作平行四边形 abcd. 求（i） 点 c 的坐标；（ii） 平行四边形 abcd 的面积.16. （本题满分 9 分）已知数列an是等比数列，满足a =3, a =24 ，数列 b1 4 n满足b =4, b =22 ，且 b-a1 4 n n是等差数列.（i）求数列an和bn的通项公式；（ii）求数列bn的前n 项和。3 / 717.（本题满分

7、 9 分）abc 中，内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且b sin a =3a cos b.（i）求角 b 的大小；（ii）若b =3,sin c =2sin a，求 a，c 的长.18. （本题满分 9 分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假 设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、 乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽取 8 天的数 据如下：1 公司某员工 a：32 33 33 35 36 39 33 412 公司某员工 b：42 36 36 34 37 44 42 36（i）根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工a 和某员工

8、 b 投递快递件数的茎叶图，并通 过茎叶图，对员工 a 和员工 b 投递快递件数作比较，写出一个统计结论：统计结论：_（ii）请根据甲公司员工 a 和乙公司员工 b 分别随机抽取的 8 天投递快递件数，试估计甲公司 员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率。19.（本题满分 9 分）已知关于 x 的不等式( ax -1)(x -2) 2的解集为 a，且 3 a .（i）求实数 a 的取值范围； （ii）求集合 a.20.（本体满分 8 分）对 于 项 数 为 m 的 有 穷 数 列an， 记bk=maxa, a , l , a1 2 k(k =1,2, l , m) ， 即 b 为ka , a

9、 , l , a 1 2k中的最大值，并称数列b是a的控制数列.如1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5. k n（i）若各项均为正整数的数列an的控制数列为 2,3,4,5,5，写出所有符合条件的数列a；n（ ii ） 设 m=100 ， 若a =|2n -4 | n，bn是an的 控 制 数 列 ， 求(b -a ) +(b -a ) +l +(b 1 1 2 2 100-a )100的值；（iii）设bn是an的控制数列，满足a +b k m -k +1=c（c 为常数，k =1,2, l , m）.求证：b =a ( k =1,2,l , m ) k k.4 / 7uuu

10、r uuur参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项.题号答案1b2d3d4c5a6b7a8c二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.题号答案940100.1811120129013314三、解答题：本大题共 6 小题，共 52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本题满分 8 分）解：（i）uuur uuurab =(4, 4), ad =( -2,1)，uuur uuur uuurac =ab +ad =(2,5)，点 c 的坐标为（1,3）.4 分（ii）uuur u

11、uurab =4 2, ad = 5.uuur uuurab ad 10cos =uuur uuur =-ab ad 10.uuur uuur sin =3 1010.suuur uuur uuur uuur= ab ad sin ab, ad =12 abcd.8 分16. （本题满分 9 分）解：（i）设等比数列a的公比为 q，由题意得 na 24 q3 = 4 = =8a 31，解得q =2.所以a =a q n -1 =3 2 n -1(n =1,2, l ) n 1.3 分设等差数列b-an n的公差为 d，所以b -a =(b -a ) +3d .即 22 -24 =(4 -3)

12、+3d .解得 d =-1 4 4 1 1.5 分所以b -a =(b -a ) +( n -1)d =1 -( n -1) =2 -n n n 1 1.从而b =2 -n +3 2 n -1( n =1,2,l ). n 6 分（ii）由（i）知b =2 -n +3 2 n -1( n =1,2, l ) n.数列2-n的前n项和为n2(3 -n )，数列32n -1的前n 项和为5 / 73 1 -2 n1 -2=3(2n -1) =3 2 n -3.9 分所以 ，数列b的前n 项和为 nn2(3 -n ) +3 2n-3.17.（本题满分 9 分）解：（i）b sin a =3a cos

13、 b，由正弦定理可得sin b sin a = 3 sin a cos b.2 分sin a 0 ， tan b =3.3 分b =p3.4 分（ii）sin c =2sin a，由正弦定理得c =2a，5 分由余弦定理b2 =a 2 +c 2-2 ac cos b，得9 =a2 +4 a2-2 a 2a cosp3.7 分解得a =3.8 分c =2 a =2 3.9 分18.（本题满分 9 分）解：（i）某员工 a 和某员工 b 投递快递件数的茎叶图如下：统计结论：通过茎叶图可以看出，乙公司某员工 b 投递快递件数的平均值高于甲公司某员工 a 投递快递件数的平均值.（其它正确的结论照样给分

14、）4 分（ii）设事件 a 为“甲公司某员工 a 在抽取的 8 天中，第 i 天投递的快递件数”，i事件bi为“乙公司某员工 b 在抽取的 8 天中，第 i 天投递的快递件数”，i=1,2，8.设 事 件 c 为 “ 甲 公 司 某 员 工 a 比 乙 公 司 某 员 工 b 投 递 的 快 递 件 数 多 ” . 由 题 意 知c =a b u a b u a b u a b u a b u a b u a b u a b u a b u a b u a b ua b 4 4 5 4 6 2 6 3 6 4 6 5 6 8 8 2 8 3 8 4 8 5 8 8因 此12 3 p (c )

15、= =64 16.8 分3因此可以估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率为1619.（本题满分 9 分）.9 分解：（i）3 a，当x =3时，有( ax -1)(x -2) 2，即3a -1 2.6 / 7a 1，即 a 的取值范围是a|a 1.3 分（ii）( ax -1)(x -2) 2 ( ax -1)(x -2) -2 0 ax 2 -(2 a +1)x 04 分当 a=0 时，集合a =x|x 0；5 分当a -12时，集合a =x | 0 x 2 +1a；6 分当a =-12时，原不等式解集 a 为空集；7 分当-12a 0时，集合 1 a =x| 2 + x 0 a ；8 分当0 a 1 时，集合 a =x| x 2 +1a.9 分20. （本题满分 8 分）解：（i）数列an为2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.2 分（ii）a =|2n -4 | ， bn n是an的控制数列，b =a =2, a =0, b =2 1 1