初中数学专题-折叠问题

1、专题八折叠问题学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质- 折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠 的选择题填空题，很有必要。基本图形：在矩形 abcd 中，将abf 沿 be 折叠至fbe,可得何结论？结论：（1）全等；（2）垂直。（1）基本图形练习：如图，将三

2、角形纸片 abc 沿过点 a 的直线折叠，使得 ac 落在 ab 上，折痕为 ad，展开纸片；再次折叠，使得a 和 d 点重合，折痕为 ef,展开纸片后得到aef,则aef 是等腰三角形，对吗？（2）折叠中角的考法与做法：将矩形纸片 abcd 沿过点 b 的直线折叠，使得 a 落在 bc 边上的点 f 处，折痕为 be（图 1）；再沿过点 e 的直线 折叠，使点 d 落在 be 边上的点 d，折痕为 eg（图 2）,再展开纸片，求图（3）中角 a 的大小。1 / 7（3）折叠中边的考法与做法：如图，将边长为 6cm 的正方形 abcd 折叠，使点 d 落在 ab 边中点 e 处， 折痕为 fh

3、，点 c 落在 q 处，eq 与 bc 交于点 g，则ebg 的周长是多少？解题步骤：第一步：将已知条件标在图上；第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。例 1.模块精讲（2014 扬州）已知矩形 abcd 的一条边 ad=8，将矩形 abcd 折叠，使得顶点 b 落在 cd 边上的 p 点处（1）如图 1，已知折痕与边 bc 交于点 o，连结 ap、op、oa1 求证 ocppda；2 若 ocp 与 pda 的面积比为 1：4，求边 ab 的长；（2） 若图 1 中的点 p 恰好是 cd 边的中点，求oab 的度数；（3） 如图 2， ，擦去折痕 a

4、o、线段 op，连结 bp动点 m 在线段 ap 上（点 m 与点 p、a 不重合），动点 n 在线段 ab 的延长线上，且 bn=pm，连结 mn 交 pb 于点 f，作 mebp 于点 e试问当点 m、n 在移动 过程中，线段 ef 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 ef 的长度2 / 7例 2.（2013苏州）如图，在矩形 abcd 中，点 e 是边 cd 的中点， ade 沿 ae 折叠后得 afe，且点 f 在矩形 abcd 内部将 af 延长交边 bc 于点 g若= ，则=用含 k 的代数式表示）例 3、（2013苏州）如图，点 o 为矩形 abcd 的对称中

5、心，ab=10cm，bc=12cm，点 e、f、g 分别从 a、b、c 三 点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 e 的运动速度为 1cm/s，点 f 的运动速度为 3cm/s，点 g 的运动 速度为 1.5cm/s，当点 f 到达点 c（即点 f 与点 c 重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中 ebf 关于直线 ef 的对称图形 ebf设点 e、f、g 运动的时间为 t（单位：s）（1） 当 t= s 时，四边形 ebfb为正方形；（2） 若以点 e、b、f 为顶点的三角形与以点 f，c，g 为顶点的三角形相似，求 t 的值；（3） 是否存在实数 t，使得点 b与点 o 重合？

6、若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由3 / 7例 4、如图，已知矩形纸片 abcd，ad=2，ab=4将纸片折叠，使顶点 a 与边 cd 上的点 e 重合，折痕 fg 分别与 ab，cd 交于点 g，f，ae 与 fg 交于点 o（1） 如图 1，求证：a，g，e，f 四点围成的四边形是菱形；（2） 如图 2，当aed 的外接圆与 bc 相切于点 n 时，求证：点 n 是线段 bc 的中点；（3） 如图 2，在（2）的条件下，求折痕 fg 的长例 5、已知 adbc，abad，点 e，点 f 分别在射线 ad，射线 bc 上若点 e 与点 b 关于 ac 对称，点 e 与点 f 关于

7、bd 对称，ac 与 bd 相交于点 g，则（ ）a1+tanadb=2b2bc=5cfcaeb+22=def d4cosagb=64 / 7课堂练习1、1、 （2014 连云港）如图 1，将正方形纸片 abcd 对折，使 ab 与 cd 重合，折痕为 ef如图 2，展开后再折叠一次， 使点 c 与点 e 重合，折痕为 gh，点 b 的对应点为点 m，em 交 ab 于 n，则 tanane= _ 图 3图 43、 （2014徐州）如图 3，在等腰三角形纸片 abc 中，ab=ac，a=50，折叠该纸片，使点 a 落在点 b 处，折痕 为 de，则cbe= _ 4、 （2014扬州）如图 4

8、abc 的中位线 de=5cm，把 abc 沿 de 折叠，使点 a 落在边 bc 上的点 f 处，若 a、 f 两点间的距离是 8cm， abc 的面积为 _ cm25、 （2013扬州）如图 1，在梯形 abcd 中，abcd，b=90，ab=2，cd=1，bc=m，p 为线段 bc 上的一动点， 且和 b、c 不重合，连接 pa，过 p 作 pepa 交 cd 所在直线于 e设 bp=x，ce=y（1） 求 y 与 x 的函数关系式；（2） 若点 p 在线段 bc 上运动时，点 e 总在线段 cd 上，求 m 的取值范围；（3） 如图 2，若 m=4， pec 沿 pe 翻折 peg 位

9、置，bag=90，求 bp 长5 / 7课后巩固习题1、（2014淮安）如图，在三角形纸片 abc 中，ad 平分bac， abc 折叠，使点 a 与点 d 重合，展开后折痕 分别交 ab、ac 于点 e、f，连接 de、df求证：四边形 aedf 是菱形2、（2013宿迁）如图，在梯形 abcd 中，abdc，b=90，且 ab=10，bc=6，cd=2点 e 从点 b 出发沿 bc 方向运动，过点 e 作 efad 交边 ab 于点 f bef 沿 ef 所在的直线折叠得 gef，直线 fg、eg 分别交 ad 于点 m、n，当 eg 过点 d 时，点 e 即停止运动设 be=x gef 与梯形 abcd 的重叠部分的面积为 y （1）证 amf 是等腰三角形；（2） 当 eg 过点 d 时（如图（3），求 x 的值；（3） 将 y 表示成 x 的函数，并求 y 的最大值6 / 73、如图,在矩形 abcd 中,ab=6,bc=8,把bcd 沿着对角线 bd 折叠,使