最新人教A版 高中数学选修1-1导数的几何意义优质教案(含同步练习习题及答案)

1、313 导数的几何意义【学情分析】：上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。【教学目标】：1. 了解曲线的切线的概念2. 掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法3. 并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程【教学重点】：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解 导数概念的实际背景导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.【教学难点】：发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.【教学过程设计】：设计意教学环节教学活动圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边 的直

2、线叫切线曲线的切线图为课题(1)复习引入如图，设曲线 c 是函数y f ( x)的图象，点p ( x , y ) 0 0是曲线 c 上 引入作一点作割线 pq 当点 q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 p，割线 pq 无限地趋近于某一极限位置 pt 我们就把极限位置上的直线 pt，叫做曲线 c 在点 p 处的切线祝您成功！铺垫.y切线ox如图，设曲线 c 是函数y = f ( x )的图象，点p ( x , y ) 0 0是曲线 c 上一点作割线 pq 当点 q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 p，割线 pq 无限地趋近于某一极限位置 pt 我们就把极限位置上的直线 pt，叫做曲线 c 在点 p

3、处的切线yy=f(x)qdybpdx mox2.确定曲线 c 在点p ( x , y ) 0 0处的切线斜率的方法：因为曲线 c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线 pq 的倾斜角为 b ，切线 pt 的倾斜角为a，既然割线 pq 的极限位置上的直线 pt 是切线，所以割线 pq 斜 （2）讲解导数 率的极限就是切线 pq 的斜率 tan a,即指导学生理解导数的的几何意义tan a=limdx 0dydx= limdx 0f ( x +dx) - f ( x) 0dx几何意我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那

4、么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它 在某一点处的切线了.义，可以讨论3说明：(1)dydx是函数y = f ( x)对自变量 x 在 dx 范围内的平均变祝您成功！2o33化 率 ， 它 的 几 何 意 义 是 过 曲 线y = f ( x)上 点 （x , f ( x ) 0 0） 及 点( x +dx, f ( x +dx) 0 0）的割线斜率.(2) 导数f/( x ) =lim 0dx 0f ( x +dx) - f ( x ) 0 0dx是函数y = f ( x ) 在点 x 的0处瞬时变化率，它反映的函数y = f ( x) 在点 x 处变化的快慢程度 . 它的0几何意

5、义是曲线y = f ( x)上点（x , f ( x ) 0 0）处的切线的斜率因此，如果y = f ( x )在点x0可导，则曲线y = f ( x)在点（x , f ( x ) 0 0）处的切线方程为 y - f ( x ) = f / ( x )( x -x )0 0 0例 1、曲线的方程为 y=x +1，那么求此曲线在点 p(1，2)处的切线的 斜率，以及切线的方程.解 ：yk=limdx 0f ( x +dx) - f ( x ) 0 0dxy=x2+1y=2xp(1,2)=limdx 0f (1+dx) -f (1) (1+dx)2 +1 -(12 +1)=limdx dx 0 d

6、xx通过例子，更(3) 讲解范例=limdx 0( dx) 2 +2 dx dx=lim (dx +2) =2 dx 0深入理切线的斜率为 2.切线的方程为 y2=2(x1)，即 y=2x.例 2、求曲线 f(x)=x +2x+1 在点(1，4)处的切线方程.解导数的概念limdx 0解f ( x +dx) - f ( x ) 0 0dx=limdx 0y:k=f (1 +dx) -y=xf (1)+2x+1 dxy=5x-1 p(1,4)ox祝您成功！3 2)=limdx 0(1+dx)3+2(1+dx) +1-(13dx+2 1+1)=limdx 05dx +3(dx) 2 +( dx)d

7、x3=lim5 +3dx +( dx) dx 02 =5切线的方程为 y4=5(x1)， 即 y=5x1例 3、求曲线 f(x)=13x x +5 在 x=1 处的切线的倾斜角.分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率 k=tana， 求出倾斜角 a.解：tana=limdx 0f ( x +dx) - f ( x ) 0 0dx=limdx 0f (1 +dx) - f (1)dx=limdx 0131(1+dx)3 -(1+dx)2 +5 -( -1+5)3dx=limdx 013( dx) 3 dx-dx1=lim ( dx) 2 -1 =-1 dx 0 3a0， ，a=3

8、4 .切线的倾斜角为34 .(4)课堂小结导数的几何意义，怎么求曲线的切线。祝您成功！+6.5t +10 的图像上，（1）用图形来体现导数 h补充题目:1 导数f / ( x ) 0的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数f ( x )在处的即：函数f ( x)平均变化率f ( x +dx) - f ( x ) 0 0dx的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。yf ( x )0o x0x3导数f / ( x ) 0的几何意义是什么？导数f / ( x ) 0的几何意义是4在函数h (t ) =-4.9t2 /(1) =-3.3，h / (0.5) =1.6的几何意义，并用数学语言表述出

9、来。（2）请描述、比较曲线h(t )在t , t , t 0 12.附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t , t34附近呢？hot3t4t0t1t2t（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）祝您成功！225如图表示人体血管中的药物浓度c = f (t )（单位： mg / ml ）随时间 t （单位： min ）变化的函数图像，根据图像，估计t =0.2, 0.4, 0.6, 0.8率，把数据用表格的形式列出。(精确到 0.1)（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化t药

10、物浓度的瞬时变化率0.2 0.4 0. 6 0.8（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。） (以上几题可以让学生在课堂上完成)6. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y= x 3+2, x处 （）y1x +1，x处答案：(1)k=，（）k=7已知曲线 y=2x 上一点 a(1，2)，求(1)点 a 处的切线的斜率.(2)点 a 处的切线方程.解：(1)k=limdx 0f (1 +dx) - f (1)dx=limdx 02(1 +dx) 2 dx-2 12=limdx 04dx +2( dx) 2 dx=lim(4 +2 dx) =4 dx 0点 a 处的切线的斜率为 4.(2)点 a 处的切线方程是 y2=4(x1)即 y=4x28.求曲线 y=x+1 在点