常见统计分布及其特点

1、【附录一】常见分布汇总 一、二项分布 二项分布(Binomial Distribution )，即重复 n 次的伯努利试验 (Bernoulli Experiment ), 用E表示随机试验的结果，如果事件发生的概率是 P,则不发生的概率 q=1-p , N次独立重 复试验中发生 K次的概率是。 二、泊松 poisson 分布 1、概念 当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中入为np。通常 当n 10,p w 0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。 2、 特点期望和方差均为入。 3、 应用(固定速率出现的事物。)一一在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换 台收到

2、的呼叫、来到某公共汽车站的乘客，以固定的平均瞬时速率入(或称密度)随机且 独立地出现时，那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从 泊松分布 三、均匀分布 uniform 设连续型随机变量 X的分布函数F(x)=(x-a)/(b-a), a x0时有P（Ts+t|Tt）=P（Ts） 即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t 小时，它总共使用至少 s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少 s小时的概率 相等。 3、应用 在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果 五、正态分布 Normal distributi on 1、概

3、念 2、中心极限定理与正态分布（说明了正态分布的广泛存在，是统计分析的基础） 中心极限定理：设从均值为、方差为b A2;（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n 的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为b A2/n的正态分 布。 3、特点一一在总体的随机抽样中广泛存在。 4、 应用一一正态分布是假设检验以及极大似然估计法ML的理论基础 定理一：设 X1, X2, X3.。Xn是来自正态总体 N （卩，3 2）的样本，则有 样本均值XN （卩，3 2/n ）总体方差常常未知，用t分布较多 六、X 2卡方分布（与方差有关）chi-square distribution 1、概念

4、 若n个相互独立的随机变量E ?、E ?、E n ,均服从标准正态分布（也称独立同 沁2 分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和：-1 构成 一新的随机变量，其分布规律称为卡方 分布（chi-square distribution ）,其中参数n 称为自由度 【注意】假设随机干扰项呈正态分布。因此，卡方分布可以和 RSS残差平方和联系起来。用 RSS/3 2,所得的变量就是标准正态分布，就服从卡方分布。 2、卡方分布的特点 （1）分布的均值为自由度 n，记为E（ ； ） = n。（这个容易证明） 2 2 （2）分布的方差为2倍的自由度（2n），记为D（ i ） = 2

5、n。 （3）如果 厂* 厂& 互相独立，则：（独立可加减） F%亍同，:汽“蚯服从；分布，自由度，二； 服从i 分布，自由度为 3、图形特点 4、应用 定理二，设 X1, X2, X3.。Xn是来自正态总体2）的样本，则有 样本均值 XN （卩，3 2/n ） 2 (n 1)S 32 x2(n-1) （1）正态分布以及卡方分布是 F检验的基础。大量的检验用到了F检验：F检验、三大 检验。 七、t学生分布（用样本方差 s来标准化）Students t-distribution 1、概念（适用于32未知） 【理解】把样本标准正态化的 U变换前提是方差已知，但总体方差是未知的，所以用样 本方差来代替

6、总体方差。根据中心极限定理，抽样服从方差为总体方差除以n的正态分布。 由于在实际工作中，往往（7是未知的，常用S作为（T的估计值，为了与u变换区别，称为 t变换，统计量t值的分布称为t分布（u变换指把变量转换为标准正态分布） 【思考】为什么样本方差比总体方差要小？因为一个是总体方差，一个是样本均值的方 差。不同 2、特点 1）与标准正态分布曲线相比，自由度 v越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线 双侧尾部翘得愈高；自由度 v愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度v=s时，t 分布曲线为标准正态分布曲线。 定理三：设 X1, X2, X3.。 Xn是来自正态总体 N（u,3 2）的样

7、本，则有 样本均值XN （卩，3 2/n ）, S为样本方差 X 卩 t （n-1） S/、n【注意】S是样本方差。中心极限定理说的是样本均值的方差。 V 1 “ =2 丿=5 #= + X) 0.40 0,35 030 0.25 0.20 0.15 0,10 0.05 0.00 八、F 分布 F-distribution 1、概念 F分布定义为：设 X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为k1的卡方分布，Y服从自由度为k2的卡方分布，这2个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计 量的分布 2、特点 (1) 它是一种非对称分布； (2) 它有两个自由度，即n1 -1和n2-1 ,相

8、应的分布记为 F ( n1 - 1, n2-1 ) , n1 - 1 通常称为分子自由度，n 2-1通常称为分母自由度； 九、逻辑分布logistic(分类评定模型)一一最早应用最广的离散选择模型 1、概念 F(t) f(t) t e (1 e ) 2、特点 用作增长曲线并为二进制响应建模。 Logistic 分布由尺度和位置参数描述。 函数只有一个形状。 下列图形显示了不同参数值对Logistic分布的效应。 尺度参数的效应位置参数的效应 在生物统计和经济领域使用。 Logistic分布没有形状参数，也就是说其概率密度 (3) F分布是一个以自由度 曲. - 和小 为参数的分布族，不冋的自由

9、 度决定了 F分布的形状。 (4) F分布的倒数性质： (5)残差平方和之比通常与 F分布有关。 LogrsdQ 尺康=1 025 A八 小 -101 八 口 g J V 0M -SO5IDis X Logistic分布的形状与正态分布的形状相似，但Logistic分布的尾部更长。 十、伽马分布 1、概念 伽玛分布(GammDistributio n )是统计学的一种连续概率函数。Gamma分 布中的参数 a称为形状参数(shape parameter )， 3 称为尺度参数(scale parameter )。 假设随机变量X为等到第a件事发生所需之等候时间，密度函数为 特征函数为 艸二(1让矿. 伽马分布的可加性 当两随机变量服从 GammO布，且单位时间内频率相同时，Gamma 数学表达式 若随机变量X具有概率密度 其