不等式综合练习题

1、不等式专题练习题一、知识内容不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解证不等式的基础；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理（教材中称为基本不等式，通常称均值不等式）及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的 实际问题中发挥着重要的作用；线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用二、核心思想方法解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念、性质涉及到求函数最大（小）值，实数大小比较，求参数的取值范围等；不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点；均值不等式的证明最

2、终是利用了配方法，使用该不等式的核心方法则是整体思想方法，就是对哪两个正数使用定理，例如下面练习题的第 5 题是对 2 a , b 使用不等式，而不是对 a, b 使用不等式；线性规划的核心方法是数形结合和转化的思想方法，在具体转化上涉及到面积、截距（目标函数为二元一次多项式）、距离（目标函数含二元二次多项式）、斜率（目标函数为分式）等几何意义，分 别如下面练习题的第 9、22、23、24 题三、高考命题趋势本专题的高考命题热点可从以下两个方面去把握：1以客观题形式命题：不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；均值不等式是历年高考的重

3、点考查内容，考查方式多变，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题中主要以选择、填空形式出现，且设问也是灵活多变， 每年高考必有一题四个注意问题：（1）命题者有时把线性规划问题和均值不等式结合在一起，提高了难度，例如下面练习题的第 8、28 题（2）线性规划的约束条件中含有参数的，例如下面练习题的第 7、9 题（3）均值不等式的凑定值技巧，一是关注消元，而是关注整体代入思想方法，分别如下面练习题的第 17、18 题（4）克服思维定势，有些题目很象是利用基本不等式的，其实只是解出未知数代入化简的，如2 下面练习题的第 20 题2以解

4、答题形式命题：不等式证明与解法是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高均值不等式在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高线性规划问题也可以用实际问题进行考查，考查优化思想在解决问题的广泛应用，体现数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识但是，考虑到线性规划应用题毕竟知识较为单一，所以在高考中出现的频率不高考虑到不等式与函数、导数、解析几何的综合题中，不等式仅是其中的一个工具，所以本专题的选的解答题主要侧重于不等式的证明与解法 练习题1（山东省临沂市

5、高三教学质量检测考试）集合 a =xx2-x -2 0，b=xx1（b） x1x 2（c） x1x 2（d） x12（安徽省安庆市高三 3 月模拟考试（二模）下列命题中错误的是（ ）a命题“若 x 2 -5 x +6 =0 ，则 x =2 ”的逆否命题是“若 x 2 ，则 x 2 -5 x +6 0 ”x +y b若 x , y r ，则“ x =y ”是 xy 成立的充要条件 2 c已知命题 p 和 q，若 p q 为假命题，则例题 p 与 q 中必一真一假d对命题 p： $xr ，使得 x2+x +1 0, b 0 ,且 2a +b =4 ,则 的最小值为（ ）aba1 1b 4 c4 2

6、d 26（广东省六校高三第二次联考试题）若函数 f ( x) =x +1x -2,( x 2) 在 x =n 处有最小值，则 n =( )a 1 + 2b 1 + 3c4 d3x 1,7（山东省临沂市高三教学质量检测考试）实数 x, y 满足 y a ( a 1), 若目标函数 z =x +y 取得最大值 4，则实数x -y 0,a 的值为（ ）（a）4 （b）3 （c）2 （d）328（广东省深圳市松岗中学高三模拟试卷）设实数x, y满足 x -y -2 0 x +2 y -5 0 y -2 0，则u =x2+yxy2的取值范围是 （ ）a.52, 2b.2,10 5 10 1 c , d

7、, 43 2 3 4x +y -2 09（广州市普通高中毕业班综合测试）在平面直角坐标系中，若不等式组 x -y +2 0 表示的平面区域的面积为 4，x t则实数t的值为（ ）a1 b2 c3 d4y x10（安徽省安庆市高三 3 月模拟考试）已知 x, y 满足不等式组 x +y 2 ，则 z =2 x +y 的最大值与最小值的比值x 2为（ ）a1 3 4 b 2 c d2 2 311（江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷） 下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是（填写序号） a b -1 a b +1 a2b2 a3b312（山东青岛高三期末检测） 已知点 a(

8、m, n)在直线 x +2 y -2 =0 上，则 2 m +4 n 的最小值为 13 (江苏省泰州市高三年级第一次模拟)已知正实数 x, y , z 满足 2 x ( x +_1 1 1 1+ ) =yz ，则 ( x + )( x + ) 的最小值为 y z y z14（湖南省长、望、浏、宁高三 3 月一模联考）若实数 a, b, c 满足1 1 1 1 1+ =1, + + =1 ，则 c 的最大 2 a 2b 2 a +b 2b +c 2 a +c值是 15 (江苏省南京市高三第一次模拟考试)已知 f ( x ) =log ( x -2) ，若实数 m , n 满足 f ( m ) +

9、 f (2 n ) =3 ，则 m +n 的2最小值是 16（山东省胜利油田一中高三下学期第一次调研考试） 已知 x 0, y 0,lg 2 x +lg8 y =lg 2 ，则为 1 1+ 的最小值 x 3 y17（江苏省启东中学高三第一次模拟考试）若正实数 a , b, c 满足： 3a -2b +c =0 ，则acb的最大值为 18（浙江省宁波市高三“十校”联考） 设 x 0, y 0, x +y -x 2 y 2 =4 ，则1 1+ 最小值为 x y19（上海华师大一附中高三联合调研考试数学试卷） 若m =log13a 2 -a +16 a -1,a 4,17,则 m的取值范围是_20（

10、安徽省安庆市高三 3 月模拟考试）已知 4 x =5 y =10 ，则1 2+ =x y21（苏北四市高三年级二轮模拟考试）知 dabc 的三边长 a,b,c 成等差数列,且 a2+b2+c2=84 ,则实数 b 的取值范围是_22（江苏省启东中学高三第一次模拟考试）实数 x, y 满足， x -y 0, x +y 1, x +2 y 1 ，则 z =6 x +3 y 的最小值 为 4x +3 y =0,23(湖北省黄冈中学模拟考试)若实数 x，y 满足 x -y 14, 则 x2+y2的取值范围是_x -y 7.xx +y 3 y +124（山东省青岛市 3 月高三统一质量检测）设变量 x,

11、 y 满足约束条件 x -y -1,则目标函数 z = 的最小值2 x -y 3为 25 （广东省六校高三第二次联考试题）已知 x +y =xy , x 0, y 0 则 x +y 的最小值是 25 （浙江省名校新高考研究联盟第一次联考）若不等式 a(2 x 2 +y 2 ) x 2 +2 xy 对任意非零实数 x,y 恒成立，则实 数 a 的最小值为 25 （北京朝阳区高三期末考试） 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间 x （年数， x n*）的关系为 y =-x2+18 x -25 则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是

12、万元28（广东省六校高三第二次联考试题数学理题）如果直线 l : 2 x -y +2 =0, l :8 x -y -4 =0 与 x 轴正半轴， y 轴1 2正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数z =abx +y (a0,b 0)的最大值为 8，求a +b的最小值29（江苏省启东中学高三第二次模拟考试）已知 p : -x2+6 x +16 0, q : x2-4 x +4 -m20( m 0) （1） 若 p 为真命题，求实数 x 的取值范围；（2） 若 p 为 q 成立的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围30（江苏省南京市高三第二次模拟考试）已知 a 0, b 0, a +

13、b =1 ，求证：1 4 9+ 2 a +1 2b +1 431（江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷）设命题 p ：方程x 2 y 2+ =1 表示双曲线，命题 q ：圆 a +6 a -7x2+( y -1)2=9 与圆 ( x -a )2+( y +1)2=16 相交若“ p 且 q ”为真命题，求实数 a 的取值范围32 （ 山东省青岛市高三期末检测数学理科） 已知函 数 y = ax2+2ax +1 的定 义 域 为 r ，解 关 于 x 的不等式x 2 -x -a 2 +a 0 33（江苏盐城市高三年级第二次模拟考试数学试题）设 a ， a ， a 均为正数，且 a +a +

14、a =m 1 2 3 1 2 3求证：1 1 1 9+ + . a +a a +a a +a 2m1 2 2 3 3 134 （山东省聊城市水城中学高三下学期第二次模拟考试）已知函数 f ( x) =log (| x -1| +| x +2 | -a）2（）当 a =7 时，求函数 f ( x ) 的定义域；（）若关于 x 的不等式 f ( x) 3 的解集是 r ，求 a 的取值范围练习题答案：1 b 2c 3b4a 5c 6d 7c 8b 9b 10b 11 12 4 13 2 14 2 -log 3115 7 164 1733184 19-2 -log 2 , -2 (或 -log 18

15、 , -23 3等 202 21 (2 6,2 7223 23 0,10 241 254 261 275，828解：设 p (x,y )为封闭区域中的任意点， p (x,y )满足约束条件2x -y +2 0 8x -y -4 0 x 0 , y 0 ，作出可行域可知目标函数的最优解为 b (1,4) 把 b(1,4) 代入 z =abx +y ( a 0, b 0) 得最大值 8，解得 ab =4 由基本不等式得： a +b 2 ab =4 （当且仅当 a =b =2 时，等号成立），故a +b的最小值为 429解：（1）由 -x2 +6 x +16 0 得， -2剟x 8 ，所以 p 为真

16、命题时， x 的取值范围是 -2,8 (2) q : x 2 -m,2 +m ,若 p 为 q 成立的充分不必要条件，则-2,8 是2 -m,2 +m 的真子集，所以m 0, 2 -m -2, 2 +m 8.解得 m 630证明： 因为 a 0, b 0, a +b =1 ，所以 (2 a +1) +(2 b +1) =4 ，而 (1 4 2b +1 4(2 a +1) + )(2 a +1) +(2b +1) =1 +4 + +2a +1 2b +1 2 a +1 2b +15 +2 4 =9 ，所以结论成立31 解：若 p 真，即方程x 2 y 2+ =1 表示双曲线，则 ( a +6)(

17、 a -7) 0 ，解得 -6a 7 若 q 真，即圆 a +6 a -7x 2 +(y-1)2=9与圆(x-a)2+(y+1)2=16相交，则1a 2 +4 7,解得 -3 5 a 3 5 若“ p 且 q ”为真命题，则 p 假 q 真， 则a-6或a7 -35a3 5，即 -3 5 a -6，1 22 33 1，或 ，或 a 的取值范围是 ( -,-5 x -1 + x +2 a +8 解集是 r， a +8 3,a -5,所以符合条件的实数 a 的取值范围是 -3 5 0且 d=4 a 2 -4 a 0 ，解得 0 0当 0 a 121 1时，不等式的解集为x x 1 -a；当 a = 时， 不等式的解集为 x x ；2 2当12a 1 时，不等式的解集为 x x a33证明： (1 1 1+ + )( a +a ) +( a +a ) +( a +a ) a +a a +a a +a1 2 2 3 3 1331 1 1g g g3 a +a a +a a +a1 2 2