数学故事之--生活中的统计学陷阱

1、生活中的统计学陷阱在你听到一种统计关系时，可得慎重一些，千万不要轻率地对事 件发生的因果关系做出判定，因为事情并不那么简单。让我们来看几个不可轻率做出结论的例子。统计资料表明，大多数汽车事故出在中等速度的行驶中，极少的事故是出在大于 150 公里/小时的行驶速度上。这是否就意味着高 速行驶比较安全呢?正确答案 :绝不是这样。统计关系往往不能表明因果关系。由于多数人是以中等速度开车，所以多数事故是出在中等速度的行驶中。有一个调查研究说脚大孩子的拼音比脚小的孩子好。这是否是 说一个人脚的大小是他拼音能力的度量？正确答案：不是的。这个研究对象是一群年龄不等的孩子。它的结果实际上是因为年龄较大的孩子脚

2、大些，他们当然比年龄小的孩子 拼得好些。常常听说，汽车事故多数发生在离家不远的地方，这是否就意 味着在离家很远的公路上行车要比在城里安全些呢？正确答案：不是，统计只不过反映了人们往接是在离家不远的地 方开车，而很少在远处的公路上开车。有一项研究表明某一个国家的人民，喝牛奶和死于癌症的比例 都很高。这是否说明是牛奶引起癌症呢？正确答案：不对！原因是这个国家老年人的比例也很高。由于癌症通常是年龄大的人易得，正是这个因素提高了这个国家癌症死亡者 的比例。上述例子表明，统计学论述在涉及因果关系时很容易造成误读。现代的广告，尤其是很多电视的商业广告正是以这种统计误读为根基 的。很多人以为自己是数学天才，

3、直到遇见了极限反比例函数是大家接触最早和最熟悉的函数之一，它的函数解析式是 y=k/x （k 为常数，k0）。我们利用反比例函数的解析式，就可以画出它的图像，如 下图所示：根据函数的图像可知，在 k0 情况下的第一象限内，反比例函数中 x 的值 无限变大，大到无穷的时候，曲线就不断向 x 轴靠近，换句话说 y 的值逐渐向“0” 靠近；或者是 y 的值无限变大，曲线就不断向 y 轴靠近，x 的值逐渐向“0”靠近。此时，有些人就会产生一些疑问，当这个 x 的值取到非常大、非常大、非常 大的时候，y 的的值和“0” 之间存在什么样的关系呢？会相等吗？对于类似这样的疑惑，我们从现代数学“极限”的角度出

4、发，就很好回答，但 在几百年前，像这样的问题在当时却属于一个世界性的难题。我们知道，对于某一个函数，假设其中的某一个变量 x，它在无限变大（或 者变小）的这一变化过程中，导致另一个变量 y 逐渐向某一个确定的数值 m 不 断地靠近，不过最终的结局只能是不断的接近“m”，却永远都无法跟“m”重合。简而言之，某一变量 x 处于无限变大或无限变小这一变化过程，那么另一个 变量 y 的值永远都不会等于 m，但只要变量 x 一直处于无限变大或无限变小中， 那么 y 的值可以取等于 m，这就是极限的思想。因此，如果一个人要想理解“极限”这一抽象数学概念，那么就需要学会接受 和明确知道极限是一种“变化状态”

5、的描述，变量 y 有不断地努力靠近 m 点的趋势。 此时，变量 y 永远趋近的值 m 就叫做“极限值”。极限作为微积分、数学分析等重要内容的基础，可以说是初等数学迈入高等 数学一个关键门槛。正如所有的数学知识概念出现的背景一样，极限也是属于社 会经济发展和科学技术之间产生的“矛盾”产物。在早期 16 世纪的欧洲，一些国家开始进入资本主义萌芽阶段，整个社会处 于快速变革状态，生产力得到极大的发展，出现一些最基本的工业化。人们在发 展过程中，发现很多生产技术都出现问题，跟不上社会发展的速度，当时的数学 知识已经无法顺利解决一些“变化的量”，如运动变化、天文学、机械化、航海、 采矿、大坝建造等，都需

6、要新的数学知识才能解决。初等数学很多时候只能解决一些相对“稳定”的量，但在现实工作生活中，充 满了大量“变化的量”，这就要求数学必须突破现有的知识壁垒，能够找到一种可 以描述和研究运动、变化过程的新数学知识，最终解决这些“变量”问题。基于当 时这样的社会发展背景，数学家都努力尝试突破传统的思维模式，直接促进 “ 极 限”思维的形成和发展，从而建立微积分等重要数学分支。最早的时候，牛顿和莱布尼茨在各自的领域创立了微积分，让“极限”的发展 拥有了正是展开拳脚的舞台。在当时，微积分一经创立诞生，就帮助很多人顺利 解决了以往在运动变化、力学、天文学等中认为束手无策的难题，数学也迎来了 新的发展。不过，

7、牛顿和莱布尼茨所创立的微积分并不是十分完善，特别是在一些关键 疑难点没有讲清楚，如“无穷小量”的解释，逻辑上存在着很多混乱，尽管当时的 “初始微积分”已经能轻而易举解决一些实际工作中的难题。就像牛顿的瞬和流数或是莱布尼茨的 dx 和 dy，都需要解决和讲清楚“无穷 小量”这一特殊概念，但这两位伟人都没有给出明确、严谨的定义。为什么“无穷小量”会这么重要呢？我们都知道，在微积分的推导或运算过程中，常常需要先用“无穷小量”作为 分母进行除法，然后又把“无穷小量”当作零来处理，以消除那些包含有它的项。那么问题就来了，“无穷小量”究竟是零还是非零呢？因为如果它是零，怎么能用它去作除数呢？如果它不是零，

8、又怎么能把包含 它的那些项消除掉呢？这种逻辑上的矛盾，直接或间接影响微积分的发展，更让 所有数学家不仅意识到“极限”这一概念的重要性，更明白极限思想的进一步发展 是与微积分的建立紧密相联系的。当时的人们束缚于狭小的观念里，还是以传统的数学思维方式去看待 “ 极 限”，试图用“零误差”去进行变量计算，这样的思维方式只能导致悖论的发生，这 就是数学史上所说的“无穷小量”悖论产生的原因。牛顿和莱布尼茨在晚期都不同程度地接受了极限思想，也都努力去尝试解决 这一“神秘”概念，试图以极限概念作为微积分的基础。很多可惜，牛顿和莱布尼茨为都无法完整得出极限的严格表述。虽然当时的人们没有弄清楚“极限”这一概念，

9、但微积分的出现，确实促进社 会的发展。随着微积分应用的更加广泛和深入，大家都意识到需要解决“极限”这 一问题，要有严谨、逻辑的数学语言对其进行完整描述。加上人类文明不断向前进步，遇到的问题越来越复杂，这就要求数学必须推 出明确的概念、合乎逻辑的推理和运算法则。进入 19 世纪之后，法国著名数学家柯西比较完整地阐述了“极限”的概念， 以及相关的理论。柯西在分析教程中指出：当一个变量逐次所取的值无限趋 于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有 其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到 极限 0，就说这个变量成为“无穷小量”。柯西把“无穷小

10、量”视为“以 0 为极限的变量”，这就准确地确立了 “无穷小量” 概念，“无穷小量”就是极限为“0”的变量，在变化过程中，它可以是“非零”，但它 的变化趋向是“0“，无限地接近于“0”，可以人为用等于 0 方式去处理。直白地讲，在变量的变化过程中，它的值实际上不等于 “0”，但它变化的趋 向是向“0”，可以无限地接近于“0”，那么人们就可以用“等于 0”的方式来处理，就 不会产生错误的结果。极限论正是从变化趋向上说明了“无穷小量“与“0“的内在联系，从而澄清了逻 辑上的混乱，完善了微积分的发展。柯西在分析教程中，不仅对极限概念进行基本明确的叙述，并以极限概 念为基础，对“无穷小量“、无穷级数的“和”等概念给出了比较明确的定义。“极限”这一重要理论之后又经过波尔察诺、魏尔斯特