1-7两个重要极限练习题

1、仅供个人参考1-7两个重要极限练习题教学过程:引入：考察极限lim sinxx x问题1:观察当x Q时函数的变化趋势:x(弧度)0.500.100.050.040.030.020.95850.99830.99960.99970.99980.9999当x取正值趋近于0时，竺 1即lim 也1 ； xx卩x当x取负值趋近于 0时，-x Q, -x0, sin(-x)0 .于是si nxsin( -x)limlimxQ _ x公一0 (_x)综上所述，得sinx.lim1.xQ xlim泌=1的特点：X0 x(1) 它是“0理，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0(2) 在分式中同时出现三

2、角函数和x的幕.推广如果lim ：(x)=O,(a可以是有限数xo,:或xa不得用于商业用途limx_asin； x 打x sin l : xxlim tanx = limx0 xsin x沁=lim沁x x 0 x求lim电X0 x丄- lim 沁 limcosx XT x 严=lim 2=|计丄2 x2 x 0 2（X）2x 10 2 x V2 2 例4求limC沁. Tx解 令 arcsinx=t，贝U x=sint 且 x 0 时 t 0 .T cosx求lim如空x 0 xlim 沁=limx 0 xJ03sin 3x3xsin t（令g 3冋二3 .1 - cos xx叫二 = !

3、叫.xsin2x2求 lim C0Sxx 0 x22 x. 2 x. x2sinsinsin所以arcsinim 丄x t ：0sint=1 例5tanx sinxx3tan x _sin x lim 3 x 0x3sinx sinxsinx 1 cosxcosx=limx 0cosxsi nxxlimx7 cosx1cosxx2考察极限呗问题2:观察当x :+时函数的变化趋势:x121010001000010000010000022.252.5942.7172.71812.71822.71828当x取正值并无限增大时，（1 丄）x是逐渐增大的，但是不论 x如何大，（V丄）x的值xx总不会超过

4、3实际上如果继续增大x.即当x :+ :时，可以验证（1 丄）x是趋近于一个确定x的无理数e= 28.1当x -:时，函数（1-）x有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于 e.x综上所述，得二.lim（1 ）x=e.xr：xlim（1丄）x=e的特点：x汽：x（1）lim（1+无穷小）无穷大案；（2）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数.推广(1)若lim （x）= ；（a可以是有限数xo,:或），则xa1 ;a(V 由“(2)若lim （x）=0,（a可以是有限数xo,:或），则 Ja児 MX h一 001 ;： x !;(x)=e.变形令1x如果在形式上分别对底和幕求极限，得到的是不

5、确定的结果 定型.=t，则x :时t 0，代入后得到1lim 1 t t = e .t01 ，因此通常称之为1不22解令一 =t，则x =-Xt当x :时t Q,于是2 12_2lim (1)x = lim(1 t)lim(1 t)t _ =e .例7求 lim(3x)x .x；：2 -x，解令彳-x =i + u，则x=2丄2 Xu当x :时u 0,于是1 1lim (3 x)x = lim(1 . u)r =lim(1 u)方(1 u)21= lim(1 u)- lim(1 u)2=e -1.例8求！叫(1 +tanx)cotx .1 解 设 t=tanx,U - = cotx.t当x 0

6、时t 0,1 于是1叫(1 ta n x)cotx = Im (1 t)t=e.小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。作业：见首页 2-1导数的概念教学过程：引入：一、两个实例实例1瞬时速度考察质点的自由落体运动.真空中，质点在时刻 t=0到时刻t这一时间段内下落的路程s由公式s = tgt2来确定.现在来求t=1秒这一时刻质点的速度.2当t很小时，从1秒到1+ I秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在 t=1时速度的近似.彳(s)?s(m)氐sA(m/s)0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.0

7、0980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度 随着1变化而变化，当 1越小时， 仝越接近于一个定值一9.8m/s .考察下列各式：1 2 1 2 1 2s=2g ：(1+ :t)-丄g ：1 =1 g2 ：t+( ：t),2 2 22S=1g2Z)=1g(2+：t),-：t 2.：t2思考：当黄越来越接近于0时，仝越来越接近于1秒时的 速度”现在取？t?0的极限,得/ - s1li.m 飞=limpg 2 it =g=9.8(m/s).为质点在t =1秒时速度为瞬时速度.一般地，设质点的位移规

8、律是s=f(t)，在时刻t时时间有改变量:t, s相应的改变量为：s=f(t+ l)-f(t),在时间段t到t+ :t内的平均速度为v= & _f(t +At )-f(t ):t丸对平均速度取上卩的极限，得s f t .IV-f tv(t)= lim lim,Z 住 ZAt称v(t)为时刻t的瞬时速。研究类似的例子实例2曲线的切线设方程为y=f(x)曲线为L .其上一点A的坐标为(Xo,f(xo).在曲线上点A附近另取一点B,它的坐标是(X0+ :x, f(X0+ ：x).直线 AB是曲线的割线，它的倾斜角记作：.由图中的Rt ACB，可知割线 AB的斜率tan = CB _ ：y _f X。

9、 x -f x。 AC _x _Zx在数量上，它表示当自变量从x变到x+ ?x时函数f(x)关于变量x的平均变化率(增长率或减小率).现在让点B沿着曲线L趋向于点A，此时xD, 过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置直线AT ,我们就称L在点A处存在切线AT .记AT 的倾斜角为：，贝U为的极限，若：90 :,得切线AT 的斜率为tan =啊十1xm0f (X0X) _f (X0)iX在数量上，它表示函数f(x)在X处的变化率.上述两个实例，虽然表达问题的函数形式 y=f(x)和自变量x具体内容不同，但本质都是 要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率.1.自变量x作微小变化：x，求出函

10、数在自变量这个段内的平均变化率y= y，作为点zX处变化率的近似;2.对y求x o的极限|im 7，若它存在，这个极限即为点X处变化率的的精确值.二、导数的定义1.函数在一点处可导的概念定义 设函数y=f(x)在xo的某个邻域内有定义对应于自变量x在xo处有改变量：x,函数y=f(x)相应的改变量为 y=f(x+：x)-f(xo),若这两个改变量的比当x o时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点xo处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)在或 df(x)xo dx点Xo处的导数(或变化率)，记作y |x幺。或f ：(xo)或dy_odxy |y r f(Xo：X)_f(Xo)y |x-o=f

11、 (xo)= lXmGX = lXmox,o 即(2-1)比值卫表示函数y=f(x)在Xo到Xo+ X之间的平均变化率，导数Z在点Xo处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点Xo处的变化的快慢.如果当女U时二X的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点Xo处不可导或导数不存在.Zx=Xo+ X，则(2-1)可写成y |xo则表示了函数在定义中，若设f ：(xo)= limXT0f X - f X。x -Xo(2-2)根据导数的定义，求函数y=f(x)在点xo处的导数的步骤如下：求函数的改变量：y=f(xo+ ：x)-f(xo); 求比值旦=f(Xo七)”。)；求极限f買Xo)= g. 第一步第

12、二步第三步例1 求y=f(x)=x2在点x=2处的导数.2 2 2解 y=f(2+ x)-f(2)=(2+ x) -2 =4 ：x+( ：x)；卫=JX二=4+汶；liy = lim0(4+：x)=4.XX.X：o，x .X 0所以 y lx =2=4 .lim f x-f X。存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点Xo处的左导数，记作：xf_(xo)；当limx x存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点Xo处的右导数，X.X0 -记作f (x 0 ) 据极限与左、右极限之间的关系f (xo):存在 f_(Xo)f(X。)，且 f_(Xo) = f (Xo) = f ?(xo) 2.导函数

13、的概念如果函数y=f(x)在开区间(a ,b)内每一点处都可导， 就称函数y =f (x )在开区间(a,b)内可 导.这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值 xo都有对应着一个确定的导数 f：(x),这样就在 开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f：(x)或y等.根据导数定义，就可得出导函数：x(2-3)f 冥x )=y 占譽=|m f f (x )导函数也简称为导数.注意(1) f Xx)是x的函数，而f ：(X。)是一个数值(2) f(x)在点处的导数f xo)就是导函数f：(x)在点xo处的函数值. 例2求y =C (C为常数)的导数.

14、因为：y=C-C=0,y = 0 =0,所以 y = lim y =0 .=x=xx0 =x(C) -0常数的导数恒等于零).3 求y=xn(n N x R)的导数.因为：y=(x+ x)n-xn =nx n-1 ：x+C： Xn_2( x)2+. + ( ：x)n ,- = nxn-1 +C2xn-2 ：x+.+( x)n-1, xy - lim = lim 4 Ax4(xn) -nxn-1.可以证明，一般的幕函数(x ) - ：x -1. 1例如(.、X ) ：=(x2) ：=2从而有-12 -2n1-1nxn + Cn xn ：X+.+(幻 =nx nny=x , (:R, x0)的导数

15、为12.x；(丄)：=(x-1)：=-x2=-Axx例4 求y=sinx, (x R的导数.在 1-7中已经求得解_JY = sin(x咲)-sinx ,AxAx=ylim =cosx,x 0 x即(si nx) =cosx.用类似的方法可以求得 y=cosx, (x R的导数为(cosx) :=-sinx.在 1-7中已经求得为例 5 求 y -log ax 的导数(a 0, a ：1, x0).解 对a=e、y =lnx的情况，(lnx)二 1 .x对一般的a，只要先用换底公式得y=logax=M，以下与 1-7完全相同推导，可得In a1 (logax).=x l n aA (x o,f

16、 (x o)处存在非垂直切线 AT的充分必要条件是f (x)三、导数的几何意义方程为y = f(x)的曲线，在点 在xo存在导数f ：(x),且AT的斜率k =f ：(xo).导数的几何意义一一函数y=f(x)在X。处的导数f：(x)，是函数图象在点(xo,f(xo)处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y-f(xo)=f ：(xo)(x_X0)过切点A (xo,f(xo)且垂直于切线的直线，称为曲线 当切线非水平(即f Xxo) 0)时的法线方程为y-f(x 0)=-(x-xo) f (xo)(2-4) y=f(x)在点A (xo,f(x o)处的法线，则(2-5)例6求曲线y=si

17、nx在点匚，丄)处的切线和法线方程.6 2(sinx)所求的切线和法线方程为法线方程y - U(x-),2 2 6y 123 /兀、236例7求曲线y=Inx平行于直线y=2x的切线方程.解 设切点为A(X0, y)，则曲线在点 A处的切线的斜率为y ：(X0),y (X0)=(ln x)：1X0因为切线平行于直线故所求的切线方程为y =2x,所以 丄=2 ,即X0= 1 ；又切点位于曲线上,X021因而 y=ln=-ln2 .21 y+ln2=2(x-)，即 y=2x-1-ln2 .2四、可导和连续的关系如果函数y=f(x)在点X0处可导，则存在极限=f x 0)， 则也丫=ffx0)+?

18、(gm 屮=0)，或、=f ?(x 0)较 + ?x(?=。),所以Ijm? ：y= Ijm f ：(X0)X+欽汶=0 .这表明函数y=f(x)在点x0处连续.直的.(2)y = Vx在x=0处都连续但却不可导.学生思考:设函数f(x)=2x ,X 1,yx 一 0，讨论函数x cos2x，所以 cosxdx =-sin2 x+C 是正确的.2 2定理1设f(u)具有原函数F(u) , Jx)是连续函数，那么f (x) ：(x)dx =F ：(x)+ C.证明思路 因为F(u)是f(u)的一个原函数，所以 F：(u)=f(u); 由复合函数的微分法得：d F ：(x)= F (u) ：(x)

19、dx=f ：(x) ：(x)dx ,所以f (x)p: (x)dx =F ：(x)+ C.基本思想：作变量代换 u=：(x), (d ：(x)= :?(x) dx)，变原积分为f(u)du，利用已知f(u)的原函数是F(u)得到积分，称为 第一类换元积分法例 1 求(ax b)10dx , ( a, b 为常数). 解因为dx =-d(ax+b)，所以a1(ax b)10dx(ax b)10d(ax b)a Lu=ax+b 回代 丄(ax+b)11+C .11a例 2 求 ln xdx . x1解 因为一dx=d(ln x)，所以x令 ax+b=u! u10du =丄 J1 +C尹11a原式=

20、ln xd (lnx)令 lnx=u udu =lu2+C u=lnx 回代 一(In x) 2+C. 2 22例 3 求 xex dx .解因为xdx = -d (x2)，所以2原式=1 ex d(x2)2令 x2=u原式=a2-x2d (a22)2 2-x =u1Jdu = V+C 、u-x2=u 回代- a2-x2 +C.1 eudu = 1例 6 求一2cos dx .x2x 1解原式=_ cosd() = -sin_ C .x xx eu+C u=x2回代 lex2+C .2 2 2dx2 2.a -x解 因为 xdx = 1 d(x2)= 1 d( a2-x2)，所以2 2求1 a

21、2 -x2dx，(a0).学生思考：求 测：dx .1+ cos x第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d：(x)，另一部分为：(x)的函数f ：(x)，且f(u)的原函数易于求得因此，第一类换元积分法又形象化地被 称为凑微分法.常用微分式：1dx= d ( ax)；1 2 xdx = d( x )；2a1dx =d (ln| x|); x1 dx =2d ( , x );x12 x1dx= d( 1 )；x12 dx =d (arctan x)；1 x11dx =d (arcsin x);2Xexdx =d (e x);sinxdx = d (cos x);cosxd

22、x =d (sin x);sec2xdx =d (tan x);csc2xdx =- d (cot x);secxtan xdx =d (sec x)；cscx cot xdx = d (csc x)解原式=Jx = t 1 d ( arcsin x+C .、aj -(a)2乙1-(a)2a a例 8 求-J_ dx .a2 +x2解原式=4-_ dx-_ d( arctanp) C .a2、1+(：)2 a 十(：)2 W a Y例 9 求 2 1 2dx，(常数 a ：0) a -x11i11i解原式=()dx d(a x)d(a _x)2a a x a-x 2a a xa-x=1 a x= ln | C 2a a -x例 10 求 tan xdx 解原式=sin x d