02利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

1、第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一.方法技巧1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式f(x) = g(x)的充要条件是：对于一个任意的XP值，都有/(X)= (A)：或者两个多项 式各关于X的同类项的系数对应相等.?2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：(1) 确定所求问题含待定系数的一般解析式：(2) 根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程(组)：(3) 解方程(组人 从而使问題得到解决.例如：“已知/一5 =(2 d)+/+c,求 a, b, c 的值.解答此題，并不困难.只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，

2、就可得到7b, c的值.这里的彳b, c是有待于确定的系数.这种解决问题的方法就是待定系数法.3. 格式与步朦：(1) 确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：(2d)F+/M+c(2) 根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：2- = 1 b = 0c = 5(3) 解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.a = 1:.? 2y2+(3/z?+4)x+(83m+4=1 比较系数，得：8加=9 n = 4/7?由，解得/w = -l,代入得考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式二商X除式(余式为0)是解题关谴.【难度】

3、容易2.分解因式：x4+x+x2+x + l【答案】x4 +x3 +x + l = (x2 +ZL + 1)(F +2x + 1)【解析】试題分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法: 虽多于三项，但分组之后分解不能继续因此，我们应采用其他的办法一待定系数法这是一个四次 五项式，首项系数为1,尾项也是1.所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列 方程组求解即可.试題解析：解：设兀+x+ +X+1 =(X2 +7/7A+ l)(x2 +72A + 1)而(x2 + mx + l)(x2 + nx+1)=x4 +x2 + /?iv3

4、 + mnx2 + mx + x2 +nx + =h + (/h + n)x3 + nm + 2)x2 + (m + n)x +1m + n = mu + 2 = 1A4 +X3 +X2 +X+=(X2 + ! X + 1)(X2 + 匕 f X+l)2 2考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关靈.【难度】容易3分解因式：2a2 +3ab-9b2 +4a-3b + 20【答案】 加 + 3ub - 9庆 +14。- 3b + 20 = (2兀 - 3b+4 ) (。+3b+5 )【解析】试题分析：属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此

5、我们用待定系数法.先分解2a2 +3ab-9b2 =(2a-3Z?)(a + 3Z?),再设原式= (2d-3b + m)(a + 3b + n),展开后,利 用多项式恒等列方程组即可求解.试题解析：方法一解： 2a2 +3ab_g =(2a-3b)(a + 3b)可设原式=(2d-3b + ?)(“+3b+n):.原式-2a2 + 3ab9b2 +(m+2n ) a+(3/n3n )b+tnn即 2a1 +3ah9b2 +14a-3b + 20 = 2a +3ab9b2 + (m + 2n)a +(3/?-3n)b + inn m + 2n = 14比较左右两个多项式的系数，得：3用一3“

6、= 一3mn = 20m = 4解得n = 5. 2a1 + 3ab -9尸 +1 牝 - 3” + 20 = (2x - 3b+4) (“ + 3b+5)方法二对于方法一中的恒等式(*)因为对日、6取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求777、门的值. 令 a = 0, b = 0,得in = 20令 d = l, b = 0,得7 + 2 = 14令a = 0, b = 1,得加“=1m = 4解、组成的方程组，得77 = 5m = 4当 u时，成立72 =5A 加 + 3ab-9b2+4。一3b + 20 = (2兀一3b+4)( + 3b+5)考点：1.待定系数法因式分解2整式乘法

7、3.解方程纽.点评：对于复杂的多项式分解因式，关犍是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的 方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】较难4.已知f(x)表示关于x的一个五次多项式，若/(-2)= /(-l) = /(O) = /(l) = O, /(2)= 24, /(3) = 360,求几4)的值.【答案】1800【解析】试题分析：因为/(-2) = /(-l) = /(O)= /(l) = O,所以这个多项式中必有因式(x+2)、(x+l)、工、(1), 而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因 式的乘积，故式的乘积，故这个

8、多项式可以设为/八(1V , V利用待定系数法求出日、b的值(x+2)x+l)x(x-l)(ax+b)最后代入原多项式，即可求出f(4)的值.试題解析：V(-2) = /(-l) = /(O)= /(l) = O,.设 f(x) =(x+2)(x+l)x(xl)(o+b)由/(2) = 24, /(3) = 360,可得方程组4x3x2(2d + b) = 245x4x3x2(30 + ) = 360整理得:2a + b = i3a+ b = 3a = 2 解得：b = 3/ /(x) = (x+2)(x+l)x(x-l)(2x3)A/(4)= 6x5x4x3x(8-3) = 1800考点：1

9、 解二元一次方程纽2.多项式变形点评：此题考查了解二元一次方程纽以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.【难度】较难5加、为何值时，多项式x45“+1 lx，+1 +川能被x2 -2x +1整除【答案】m = 1 , 7? =4【解析】试题分析：由于多项式x4 -5x2 +1 lx2 + mx + n能被x2 -2x+1整除，可设商为x1 +ax+b 9再利用逆运算，除式X商式二被除式，利用等式的对应相等，可求出ab.试题解析：解：设原式二(F -2尤+ 1)(十+ + /?)=x4 + ax +bx2 -2x -lax1 -2bx + x2 +ctx + b=x4 +(a-2)x +(/?

10、-2 + l)x2 +(a-2l)x+b对比系数，得:b 2a + l = llm = a-2bg = -3b = 4解得：m = -11n = 4故m = 11, =4.考点：整式的除法点评：本题考査的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式.【难度】一般6若多项式x3+ax2+bx能被(x5)和(兀一6)整除，那么 =b =该多项式因式分解为：【答案】【解析】试题分析：因为多项式? +ax2 +bx能被(x5)和(工一6)整除，则说明(x-5)和(6)都是多项式x3 + ax2+bx的一个因式，故设疋+仇疋+/2 = (/5)(/6)(/+7),展开即可求解.试

11、题解析：解：设+OV，+Z?x = (x-5)(x-6)(x+/?)= (x2 -1 1a +30)(x+/?)=x3 + nix2 +(30-1 b?) x+30/z?a = m-对比系数，得：也=30-lbn30/77 = 0m = 0解得:L=-nb = 30故，a = 1 ,b = 30,多项式因式分解为：-1 lx2 +30.v = x(x-5)(x-6)考点：整式除法与因式分解点评：本题考査的是多项式除以多项式注意理解整除的含义，比如B整除，另外一层意思就是8是力的因式7.分解因式：x4-x3+4x2+3x + 5答案】X4-X3 +4x2 +3x + 5 = (x2 +X +1)

12、(/-2x+5)【解析】试题分析：本题是关于的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.试题解析：解：设十-x3 +4x2 +3x + 5 =(疋 +ov + l)(F +/?x + 5)=x4 +(a+b)x3 +(ab + 6)/ +(5d+b)x+5a+b = -l由恒等性质有：它m? + 6 = 45a + b = 3a = 解得：,代入ab + 6 = 4中，成立.b = -2/. x4 -x3 +4x2 +3x + 5 = (x +x+l)(x2 -2x+5)说明：若设x-尤+4F+3兀 + 5 =(F+ov-l)(F+加一5)由待定系数法解题知关于日与0的方程无解，故

13、 xA -x3 + 4x2 + 3兀+5 = (F + x +1)(疋-2x + 5)考点：因式分解应用点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.【难度】较难8.在关于兀的二次三项式中，当x = ,其值为0：当x = _3时，其值为0；当x = 2时，其值为10,求这个二次三项式.【答案】2?+4%-6【解析】试题分析：思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒等式的性质。试题解析：解：法1 先设出关于X的二次三项式ax +bx+c ,a+b+c=O把已知条件分别代入，9a + 3b + c = O ,4a + 2

14、b + c = 10a = 2解得h = 4c = -6故所求的二次三项式为2x2+4x-6思路2根据已知x = l,3时，其值为0这一条件可设二次三项式为c(x-l)(x + 3)，然后求出a的值.法2由已知条件兀=1,一3吋，这个二次三项式的值为0,故可设这个二次三项式为(x-l)(x+3)把x = 2代入上式，得5a = 10,故所求的二次三项式为2(x-l)(x+3),即2/ +4.丫一6考点：多项式点评：选用待定系数法，利用已知条件求多项式是解题关诞.【难度】一般9.已知多项式xy+bx2+cx + d的系数都是整数，若hd + cd是奇数，证明这个多项式不能分解为两 个整系数多项式

15、的乘积.【答案】见解析【解析】试题分析：先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是 不可能的.试題解析：证明：x3 +bx2 +cx+d+n + n)x2 +(mn + r)x+mr(加,“,广都是整数)比较系数得：mr = d因为bd + cd =d(b + c)是奇数，则b + c与d都是奇数那么 也是奇数.由奇数的性质得 出7/也都是奇数.在式中令x = ,得l+b+c +(/=(1+2)(1 + +广)由h + c与是奇数，得+b+c + d是奇数。而川为奇数，故1+加是偶数，所以(1 +川)(1 +川+广)是偶数这样的左边是奇数，右边是偶数

16、。这是不可能的.因此題中多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.考点：多项式除法.点评：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明.【难厦】容易10将分式拆分成两个分式的和的形式.(6y + l)(y + l)答案1= 1(6y + l)(y +1)5(6y +1) 5( y +1)【解析】试題分析：设!= + ,将等式右边通分，再利用分子恒等求出日、6的值即可.(6y + l)(y + l) 6y + l y + 1试題解析:1a b解：1(6y + l)(y + l) 6y + l y + 1十ab(a + 6/?)y+ (a + Z?)而+=：6y + l y + 1(6y +

17、 l)(y + l)即1二( + 6Z?)y+ ( + )(6y + l)(y + l) (6y + l)(y + l)a + 6b = 0比较分子，得彳 fa + b = 解得 = 6 1(6y + l)(y + l) 5(6y + l) 5(y + l)考点：分式的恒等变形.点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ar+ B形式，分母只含一次项，则设 分子为常数【难度】一般3 r + 511将分式2拆分成两个分式的和的形式.(x + l)(x + 2)3r + 5【答案丄二(x +l)(x +2) x + 1 x + 2【解析】试題分析:3兀+ 5设(x+l)(x + 2) x

18、 + 1将等式右边通分，再利用分子恒等求出日、b的值即可.x + 2试題解析:方法一“ *3x + 5解：设二1(x +l)(x +2) x + 1 x + 2十 ah _ (a + b)x + (2a + b)【召)二x+1 x + 2(x + l)(x + 2)3x + 5_ (a + b)x + (2a+ b)(x + l)(x + 2) (x + l)(x + 2)a + b = 3 比较分子，得f 2a + b = 5a = 2 解得心3x + 521.=+(x + l)(x + 2) x + 1 x + 2 方法二3x + 5(x + l)(x + 2)还可以先变形为：(3x +

19、6)-l _ 3(兀 + 2)-1 =1(x + l)(x + 2) (x + l)(x + 2) x + (x + l)(x + 2)易知1 _ 1(x + l)(x + 2) A+ 1所以3x + 5_ 3(x + l)(x + 2) x+117+1丄+丄x + 2 x + 1 x + 2考点：分式的恒等变形.点评：拆分有理真分式的时候.分母含二次项，则设分子为Ax +B形式，分母只含一次项，則设分 子为常数12.计算一 + 【难度】容易x(x + l) + (x + l)(x + 2) * (x + 2)(x + 3) * (x + 3)(x + 4)答案/、x（x + 4）【解析】试题

20、分析：本題的4个分式相加，无法通分，而式子的特点是：毎个分式的分母都是两个连续整数的积（若日 是整数），利用、=丄一丄，进行拆分即可.“（n + 1） n n + 1试題解析：解：原式二丄X17+T1 1+x+l x+21 1x+3 x+4_1 1x x + 44x(x + 4)考点：分式计算点评：利用公式/ =丄丄拆分,是解题关键，而原理就是设一=-+求出z?(n + l) n n + 1n (n + 1) ft h + 1A = 1,B = _1,熟练后可直接运用公式.【难度】容易 13村分式(6y + l)(y + l)拆分成两个分式的和的开夕式E (6y + l)(y + l) 5(6

21、y + l) 5(y + l)【解析】试题分析:设1=将等式右边通分，再利用分子恒等求出曰、b的值即可.(6y+ l)(y+ 1) 6y + l y + 1试題解析:1abi(6v + l)(y + l)6y+l y+1ab-4-(a + 6h)y + (a+h)6y+1y+1(6y + l)(y + l)1_ (a + 6b)y + (a + h)(6y + l)(y + l)(6y + l)(y + l)解：设而即a + 6b = 0比较分子，得彳b = -l(6y + l)(y +1) 5(6y +1) 5( y +1)7考点：分式的恒等变形.点评：拆分有理真分式的时候.分母含二次项，则

22、设分子为Ax+B形式，分母只含一次项，则设分 子为常数.【难度】一般14.将分式一_7宀拆分成一个整式和一个分式(分子为整数)的和的形式.-JC +1【答案】x2+2 + !一一才+1【解析】试题分析： 2由于要将分式一拆分成一个整式和一个分式(分子为整数)的和的形式，可设一2+1-x4 -x2 +3 = (-x2 + l)(x2 +d)+Z?试題解析：解：由于分母为一 x2 +11 可设一 x4 -x2 + 3 = (-x2 + ix2 +a + b： a- + 3 = cix + f + a + /?xA x2 + 3 = -x4 -(c-l)F +(“+/；) .对于任意X,上述等式均成

23、立，a-l = l(a = 2a + b = 3b = 1-x -x2 +3+2 +士一“ +1)(F +2)+ l (-F +1)(F +2)1一宀1 _一疋 + i+-x2+l这样分式被拆分成了 一个整式x2+2与一个分式一!的和.一 JT + 1一对 + 1考点：分式的加减法点评：本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本題关键.【难度】一般15已知(5-3x + /?lv2-6x3)(1-2x)的计算结果中不含/的项，则刃的值为()A. 3 B. -3 C. - D. 02【答案】B【解析】试題分析：舟多项式(5-3x + /nv2-6x3)(l-2x)展开、合并，按的降幕排列，根

24、据积中不含/项等价于f 项的系数为零列方程即可求得刃的值.试题解析：方法一解:(53x+mx2 6x3)(l2x) = 5 13x+(? + 6) x2 +(2m6) x3 +12x4结果中不含，的项，2m 6 = 0,解得 m = 3.故选B方法二由于/项可由项与(项相乘或，与常数项相乘得到，故展开式中只需计算项乘以/项及，乘 以常数项即可.解：T(一2人)+ (6疋)x1= 2齐 一 6x3 = (一 2m- 6) x3又结果中不含/的项,/ 2/?/6 = 0,解得2 = 3故选B.考点：多项式乘法.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程纽，从而求出待定系数的值.

25、 【难度】一般16.如果(x+l)(F_5心+ a)的乘积中不含P项，则日为(？)A. 5 B.丄 C一丄 D. 一555【答案】B【解析】试题分析：将多项式(x+l)(x2_5x + d)展开、合并，按的降躱排列，根据积中不含/项等价于/项的系 数为零列方程即可求得曰的值.试題解析：解:原式=F -5gF +QX+X1 -5cix+a = +(-5a)x2 -4or+a T不含“项，A 5a = 0.解得a = -.故选B考点：多项式乘多项式.点评：多项式不含某项则菜项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般17若(y + a)与(y 7)的乘积中不含y的一

26、次项，則曰的值为()A. 7 B. -7 C 0 D. 14【答案】A【解析】试題分析：先用多项式乘以多项式的运算法则展开，并且把&看作常数，合并关于y的同类项，令y的系数为 0,得出关于日的方程，求出日的值.试题解析：解：丁(y+ a)(y _7) = y2 -7y + ay-7a = y1 +(-7 + a)y-7a.又乘积中不含y的一次项，： 7 + a = 0 解得沪7.故选A.考点：多项式乘法点评：多项式不含某项则菜项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值. 【难度】一般18. 要使2x2 -3x-l与关于x的二项式cix+b的积中不含的二次项，则cr.b =【

27、答案】2:3【解析】试題分析：根据多项式乘以多项式，可得整式.根据整式不含二次项，可得关于的二元一次方程，根据等 式性质，可得答案.试題解析：解:(2x2 -3x-l)(ar + b) = 2m? +(2b-3a)x2 +(-3b-a)xbI积中不含的二次项，:.2h_3a =0.q 2两边都除以26得：一=b 3故答案为：2:3.考点：多项式乘以多项式.点评：本题考查了多项式乘以多项式，利用了多项式乘以多项式法则，整式不含二次项，得出关于 a.方的二元一次方程是解题关键.【难度】一般19. 若(x2 + px + q)jC-3x + 2)的乘积中不含，和项.则。g的值分别是多少？【解析】试题分析：将多项式(x2 + /zv + tz)(x2-3x + 2)展开、合并，按降幕排列，根据不含/和项，则,项和 项的系数为零，从而列出关