概率论和数理统计知识点总结超详细版

1、概率论与数理统计第一章概率论的基本概念2样本空间、隨机事件1 事件间的关系则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生AjB= x|x g Aidix g B称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件AjB发生ArB = x|xG AMxgB称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同 时发生时，事件发生4 3=x|xw A且xeE称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A B发生AcB=0，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的= 则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A 与事件B互为对

2、立事件2 运算规则 交换律=结合律(AuB)uC = Au(BuC) (4 c B)C = A(B c C)分配律 Au(BcC) = (AjB)c(4jC)Ac(BuC) = (AcB)(AcC)徳摩根律A B= AB3频率与概率定义 在相同的条件下，进行了 n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数心称为事件A发生的頻数，比值心/称为事件A发生的频率概率：设E是随机试验是它的样本空间，对于E的每一事件A賦予一个实数，记为P(A)， 称为事件的概率1 概率P(4)满足下列条件：(1)非负性：对于每一个事件A OP(A) 贝 P(B-A) = P(B)-P(A) P(B) P(A) (iv)对

3、于任意事件A P(A) 1(v) P(A) = 1-P(A) (逆事件的概率)(vi)对于任意事件 A，B有 P(A 0，称P(B | 4) = P(Af)为事件a发生的条P(A)件下事件B发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1非负性：对于某一事件b，有P(B A)02规范性：对于必然事件S，P(S | A) = 1 3可列可加性：设B“B2,是两两互不相容的事件，则有0C00PdjBiA) = XmA)/=!1=1(3) 乘法定理 设P(A) 0，则有P(AB) = P(B)P(A | 8)称为乘法公式(4)全概率公式：P(4) = f P(d)P(4|BJ/=!贝叶斯公式

4、：卩厲| A) = P(E)P(A)工 P0)P(4|d)1=16独血性定义 设A，15是两事件，如果满足等式P(AB) = P(A)P(B) 则称事件A, B相互独立 定理一设A，B是两事件，且P(A) 0，若A，B相互独立，则P(B | A) = P() 定理二 若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B,A与E,A与B 第二章随机变董及其分布1随机变畳定义设随机试验的样本空间为S = e. X = X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X = X(e)为随机变量2离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随

5、机变量称为离散型随机变量XP(X = xk) = pk满足如下两个条件(1) pk 0，(2)工4 =1k=l2-三种重要的离散型随机变量(1) (0-1)分布设随机变量 X 只能取 0 与1 两个值，它的分布律是P(X =k) = pk(l-p)g, k = 0,l(0 p 0，(2)工人=1注意到(k 丿k=iUVqn-k是二项式(p + q)11的展开式中出现pk的那一项，我们称随机变量X服从参数为 吐丿n，p的二项分布。(3)泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1, 2，而取各个值的概率为P(X = k) =、k = 0丄2其中几 0是常数则称X服从参数为2的泊松分布记为k!X龙(

6、兄)3随机变量的分布函数定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x) = PXx, -sexes称为X的分布函数分布函数F(x) = P(X x)，具有以下性质(1) F(x)是一个不减函数 (2)0 F(x) ) = O,F(8)= 1(3) F(x + O) = F(x),即F(x)是右连续的4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F(X)，存在非负可积函数/(x)，使对于任意函数x有F(x)= Pf (t) dt,则称x为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的 J-X概率密度函数，简称概率密度1概率密度/(X)具有以下性质，满足(1) /W 0,

7、f(x)dx=l ;(3) Pg X x2) = f(x)dx ； (4)若 f(x)在点 x 处连续，则有 F(x) = /(a) 2,三种重要的连续型随机变量(1)均匀分布若连续性随机变量X具有概率密度= |而 ax 其中& 0为常数，则称X 0,其他服从参数为9的指数分布。(3)正态分布若 连 续 型 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为其中，o- ( 0)为常数，则称X服从参数为“，o的正态分布或高斯分布，记为X N (“，o-2)特别，当 =0, b=l时称随机变量X服从标准正态分布5随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有槪率密度人(X),-8VXV8,又设函数g(x)处处可

8、导且恒有g)0，则 Y= g(X)是连续型随机变量，其概率密度为f 心=山(刃”0 ayP从)o ，其他第三章多维随机变量1二维随机变量定义 设E是一个随机试脸，它的样本空间是S = e. X = X(e)和Y = Y(e)是定义在S上的随机变量，称X = X(e)为随机变量，由它们构成的一个向量(X，Y)叫做二维随机变量设(X，Y )是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数 F (x, y) = P(Xx)c(Yy)记成?XVx, Y0,.PX = xi,Y = y/ pn则称PX = xjy = y = =,=12为在丫 =儿条件下PY =儿 P.jPX=xi,Y = y. pti随机

9、变量X的条件分布律，同样PY = y X = X. = = = 1,2Y）关于Y的边缘概率密度为fy（y），若对于固定的y，fY（y） 0，则称 牛： ）为在Y=y的条件下X的条件概率密 /心）度，记为 fxy(xy) =A(y)4相互独立的随机变量定义设F （x, y）及Fx（x），片（刃分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数若对于所有x,y有PX =x,Y = y = PX xPY Y） X和Y相互独立的充要条件是参数p = 05两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y的分布设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有槪率密度f（x,y）.则Z二X+Y仍为连续性随机变量，其概

10、率密度为氏+y=匚/（2一，）dy或氏+=匸/（兀2-只）dx 又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为fx（x）JY（y）则人+O二匸氏心一歹）人（y）dy和人+二匸氏（只）九（z x）dx这两个公式称为fxJy的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布Y2 Z =的分布、Z = XYdJ分布X设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有概率密度/（x,y），则Z二!，Z = XY A三）办又若X和Y相互独立，设（X，Y）关 x于x，y的边缘密度分别为/xW,A（y）则可化为几/x二匸氏九（龙肚*x 173 M = max X, Y及“ =min X, F

11、的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为Fx （x）, Fy （y）由于M = maxX, Y不大于z等价于X和Y都不大于z故有PM z = PX z,Y ,N = mniX,y的分布函数为 fmm（z） = l-l-/?x（Z）I】一F、,第四章随机变量的数字特征1 数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为PX =xk=pk k=h2若级数工无几 绝对A=1x收敛，则称级数工忑以 的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X) =工无几 A=1/设连续型随机变量X的概率密度为f(x) 若积分x V(x)dx绝对收敛，则称积分 匸劝(x)dx的值为随机变量X的数学期望

12、，记为E(X)，即E(X) = xf(x)dx 定理 设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数)X(i )如果X是离散型随机变量，它的分布律为PX =xk= pk k=E2若工gg)几*=iX绝对收敛则有E(Y) = E(g(X)=工g(g)久*=i(ii)如果X是連续型随机变量，它的分概率密度为Mx)，若匸g(x)/(x)dx绝对收敛则 有 E(Y) = E(g(X) = g/(x)dx数学期望的几个重要性质1设C是常数，则有E(C) = C2设X是随机变量，C是常数，则有E(CX) = CE(X)3设X,Y是两个随机变量，则有E(X + Y) = E(X) + E(Y)；4设X，Y

13、是相互独立的随机变量，则有E(XY) = E(X)E(Y)2方差定义 设X是一个随机变量喏EX E(X)存在，则称EX-E(X)Y为X的方差， 记为D (x)即D (x) =EX E(X)f，在应用上还引入量JD(x)，记为b(x)，称为标 准差或均方差。D(X) = E(X - EX)2 = E(X2)-(EX)2方差的几个重要性质1设C是常数，则有D(C) = O,2设X是随机变量，C是常数，则有D(CX) = CD(X) D(X + C) = D(X)3 设 X,Y 是两个随机变量，则有 D(X + Y) = D(X)+D(Y) + 2E(X-E(X)(Y-E(Y)特别 若X,Y相互独立

14、则有D(X + Y) = D(X) + D(Y)4D(X) = 0的充要条件是X以概率1取常数E(X) 即PX = E(X) = 1切比雪夫不算式：设随机变量X具有数学期望E(X) =(r2，则对于任意正数，不等式 P|Xp 成立3协方差及相关系数定义量EX-E(X)Y-E(Y)称为随机变量X与Y的协方差为C(X)，即Cov(X. Y) = EX - E(X)(Y - E(Y)= E(XY) - E(X)E(Y)而 Qxy =：(八(X,称为随机变量x和Y的相关系数7d(x)7d(y)+ +对于任意两个随机变量X和Y，D(X Y) = D(X)+D(Y) 2Cov(X.Y) 协方差具有下述性质

15、1 Cov(X.Y) = Cov(Y, X), Cov(aX,bY) = cibCoQX,Y)2 C“(X + X2,y)= Cov(X1, Y) + S(X：, Y)定理 1 lpxrl 12 pXY = 1的充要条件是，存在常数a, b使PY = a + bx = l当 Pxy = 0时，称X和Y不相关附：几种常用的槪率分布表分 布参数分布律或槪率密度数学期望方差两 点 分 布0 p 1 0 /J 0P(X - k) 一k2A几 何 分 布0 p 1P(X = k) = (l_p)ip,k = l,2,171一卩1广均 匀 分 布a O“、 丄宀，x00，其他eO1正 态 分 布b0i_(j27Tb第五章 大数定律与中心极限定理1大数定律弱大数定理（辛欣大数定理） 设Xi Xz是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并1 “具有数学期望E（XJ = 伙=12）.作前n个变量的算术平均一Yxk 则对于任意 0，有 lunP/?-xx 11伯努利大数定理设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在毎次试验中发生的概率，则对于任意正数 0，有limP-PXnn-xn = 02中心极限定理定理一(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量Xj,X2，X相互独立，服从同一分布