立体几何知识点总结

1、立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范 围，会求异面直线的所成角。5. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量

2、数量积公式.6. 了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱 ,棱锥的性质 ,并会灵活应用 ,掌握球的表面积、体积公式 ;能画出简单空间图形的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的 直观图 .7. 空间平行与垂直关系的论证 .8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题 .9. 理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转 化法、向量法） .对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表

3、示的情况）和距离公式计算距离。【知识络构建】【重点知识整合】1空间几何体的三视图（1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 精选 word 范本！(2) 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3) 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图2斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1) 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox， Oy，建立直角坐标系；(2) 画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上 )画出对应的 Ox，Oy，使 xOy 45(或 135)，它们确定的平面表示水平平面；(3

4、) 画对应图形，在已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于 y 轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度变为原来的一半；(4) 擦去辅助线，图画好后，要擦去x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线 (虚线)3.体积与表面积公式 :1(1) 柱体的体积公式 :V柱 Sh;锥体的体积公式 : V锥Sh;31 4 3台体的体积公式 : V棱台h(S SS S) ;球的体积公式 : V球r3.332(2) 球的表面积公式 : S球 4 R2.高频考点突破】考点一 空间几何体与三视图1一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的面，长度与正视图的长度一样

5、，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即 “长对正、高平齐、宽相等 ”2画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x 轴、 z 轴 平行的线段长度不变，与 y 轴平行的线段长度减半()1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为例精选 word 范本！方法技巧】该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系抓住 “正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽 ”的特点作出判断 考点二 空间几何体的表面积和体积常见的一些简单几何体的表面积和体积公式：圆柱的表面积公式： S

6、2r2 2rl 2r （r l）（其中 r 为底面半径， l 为圆柱的高 ）； 圆锥的表面积公式： Sr2rl r（rl）（其中 r 为底面半径， l 为母线长 ）； 圆台的表面积公式： Sr（2r2rlrl）（其中 r 和r分别为圆台的上、下底面半径， l为母线长 ）； 柱体的体积公式： V Sh（S为底面面积， h 为高）；1锥体的体积公式： V3Sh（S为底面面积， h 为高 ）；台体的体积公式： V 31（ S SS S）h（S、S分别为上、下底面面积， h为高 ）；球的表面积和体积公式： S4R2，V43R3（R 为球的半径 ）例 2 、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图

7、和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A 6 3C 12 3B 9 3D 18 3【方法技巧】1求三棱锥体积时，可多角度地选择方法如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法2与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关 数量3求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解4对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理.考点三 球与空间几何体的 “切”“接 ”问题1长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径2正方体的内切球其棱长为球的直径精选 word 范本！3正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正

8、三角形中心共线4正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 1.例 3 、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为【方法技巧】 1涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间 问题化归为平面问题222若球面上四点 P、A、B、C构成的线段 PA、PB、PC 两两垂直，且 PAa，PBb，PCc，则 4R2a222b2c2(R 为球半径 )可采用 “补形 ”法，构造长方体或正方体的外接球去处理考点四 空间线线、线面位置关系(1) 线面平行的判定定理： a?，b?，ab? a.(2) 线面平行的性质定理： a，a? ，b? ab.(3) 线面垂直的判定定理：

9、m?，n? ， mnP， lm，ln? l.(4) 线面垂直的性质定理： a，b? a b.例 4、如图，在四面体 PABC 中，PCAB，PABC，点 D，E，F，G 分别是棱 AP， AC， BC， PB 的中点(1) 求证： DE 平面 BCP ；(2) 求证：四边形 DEFG 为矩形； 精选 word 范本！(3) 是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由【方法技巧】1证明线线平行常用的两种方法：(1) 构造平行四边形；(2) 构造三角形的中位线2证明线面平行常用的两种方法：(1)转化为线线平行；(2)转化为面面平行3证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直

10、线垂直而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平 面垂直 .考点五 空间面面位置关系1面面垂直的判定定理： a? ，a ? .2面面垂直的性质定理：， l，a? ，al? a .3面面平行的判定定理：a? ，b? ， abA，a，b ? .4面面平行的性质定理：， a， b? a b.5面面平行的证明还有其它方法：a、 b? 且 abAc、d? 且cd B? ，ac，bd(2)a 、 a ? .例 5、如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60，E，F 分别是 AP，AD 的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD ；(2)平面 BEF平面 PAD.精选

11、word 范本！方法技巧】1垂直问题的转化方向面面垂直 ? 线面垂直 ? 线线垂直主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明具体如下： (1)证明线线垂直：线线垂直的定义；线面垂直的定义；勾股定理等平面几何中的有关定理 (2)证明线面垂直：线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；面面垂直的性质定理(3) 证明面面垂直：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理2证明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行 于另一平面 .例 6、如图，平面 PAC平面 ABC， ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形， E，F，O 分别为 PA，PB，AC 的 中点，

12、AC 16，PA PC 10.(1)设G是 OC的中点，证明： FG平面 BOE；(2)证明：在 ABO 内存在一点 M，使 FM 平面 BOE.【方法技巧】1用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了把几何问题代数化尤其是正方精选 word 范本！体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷但是向量法要求计算必须准确无误 2利用向量法的关键是正确求平面的法向量赋值时注意其灵活性注意(0,0,0) 不能作为法向量 .考点七 利用空间向量求角1向量法求异面直线所成的角：若异面直线 a，b 的方向向量分别为 a， b，异面直线所成的角为 ，则 cos |cos a， b |

13、 |aa|bb|. 2向量法求线面所成的角： 求出平面的法向量 n，直线的方向向量 a，设线面所成的角为 ，则 sin |cosn，a| |na|.|n|a| 3向量法求二面角：求出二面角 l 的两个半平面 与 的法向量 n1，n2，若二面角 l所成的角 为锐角， 则 cos|cosn1，n2| |n1n2|；1 2|n1|n2|若二面角 l 所成的角 为钝角，则 cos |cosn1， n2 | |n1n2|.1 2|n1|n2|.例 7、如图，在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， AB 2， BAD60.(1)求证： BD 平面 PAC ；(2)若 P

14、A AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；(3) 当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长考点八 利用空间向量解决探索性问题 利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解 题过程中，往往把 “是否存在 ”问题，转化为 “点的坐标是否有解，是否有规定范围的解 ”等，可以使问题的解决更简 单、有效，应善于运用这一方法例8、如图，在三棱锥 PABC中，ABAC，D为 BC的中点， PO平面 ABC，垂足 O落在线段 AD上精选 word 范本！(1)证明： AP BC；(2)在线段 AP上是否存在点 M ，使得二面角 AMCB为直

15、二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说 明理由难点探究】难点一 空间几何体的表面积和体积A 48例 1、( 1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )B32 8 17C488 17D 80(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A9212B9218C942D 36 18难点二 球与多面体例 2、已知球的直径 SC 4，A ，B 是该球球面上的两点，30，则棱锥 S ABC 的体积为 ( )A3 3B 2 3 C. 3 D1AB 3， ASC解题规律与技巧】 【历届高考真题】 【2012 年高考试题】 一、选择题1.【 2012 高考真题新课标理7】如图

16、，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的精选 word 范本！是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）(A) 6 (B) 9 (C)(D)2.【 2012 高考真题浙江理折，在翻折过程中。A. 存在某个位置，使得直线B. 存在某个位置，使得直线C. 存在某个位置，使得直线10】已知矩形 ABCD ，AB=1 ，BC= 2 。将沿矩形的对角线AC 与直线 BD 垂直 .AB 与直线 CD 垂直 .AD 与直线 BC 垂直 .D.对任意位置，三对直线 “AC与 BD”，AB与 CD”，“ AD与 BC”均不垂直BD 所在的直线进行翻3. 【2012 高考真题新课标理 11】已知三棱锥 S ABC

17、的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC是边长为 1的正三角形， SC为球 O的直径，且 SC 2；则此棱锥的体积为（）(A)(B) 3(C) 2(D)4. 【 2012 高考真题四川理 6】下列命题正确的是（）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行精选 word 范本！5. 【 2012 高考真题四川理 10】如图，半径为 R的半球 O的底面圆 O在平面 内，过点 O作平面 的垂线交半球面于点

18、A，过圆 O的足 BOP 60 ，则 A 、P 两点间的球面距离为(A、RarccosB、 RC、33直径 CD 作平面 成 45 角的平面与半球面相交， 所得交线上到平面 的距离最大的点为 B ，该交线上的一点 P 满6【. 2012 高考真题陕西理 5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1 ， CA CC1 2CB ，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为(A. 55B. 53C. 2 553 D.5答案】A.解析】设|CB| a，则|CA| |CC1| 2a，A(2a,0,0),B(0,0,a),C1(0,2a,0),B1(0,2a,a)，AB1 ( 2a,2a,

19、a), BC1 (0,2a, a) ， cos AB1 , BC1AB1 BC1|AB1 |BC1|5，故选 A.57【. 2012 高考真题湖南理 3】某几何体的正视图和侧视图均如图1 所示，则该几何体的俯视图不可能是精选 word 范本！9【. 2012高考真 题广东理 6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A12 B.45 C.57 D.81 【答案】 C【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得V V圆锥 V圆柱 13252 -3232 5 57 故选 C精选 word 范本！10.【2012 高考真题福建理 4】一个几何体的三视图形状都相同、 大

20、小均相等， 那么这个几何体不可以是A. 球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱11.【2012高考真题a 的取值A) (0, 2)B) (0, 3)C) (1, 2)D) (1, 3)答案】 A解 析 】 因 为 BE1 1 2 则 BF BE ， AB 2BF 2BE 2 ，22D. 60+12 5B. 30+6 5C. 56+ 12 5A. 28+6 5重庆理 9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1， 2和 a，且长为 a的棱与长为 2 的棱异面，则 范围是答案】 B解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度， 黑色数

21、字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：S底 10 ， S后 10 ， S右 10 ， S左 6 5 ，因此该几何体表面积精选 word 范本！13.【2012 高考真题全国卷理 4】已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2 ，CC1= 2 2 E为 CC1的中点， 则直线 AC 1与平面 BED 的距离为 （ ）A 2 B 3 C 2 D 1二、填空314【. 2012 高考真题浙江理 11】已知某三棱锥的三视图 （单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于 cm3.【答案】 1【解析】观察三视图知该

22、三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形故体积等于 113 1 212 3 精选 word 范本！15.【2012高考真题四川理 14】如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M 、 N分别是 CD 、 CC1的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是 16.【 2012 高考真题辽宁理 13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 点，则三棱锥 D1 EDF 的体积为 【答案】 38【解析】 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为 2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱

23、的侧面积再减去圆柱的底面积，即为 2(3 4 4 1 3 1) 2 1 1 2 3817.【 2012 高考真题山东理 14】如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，E,F 分别为线段 AA1 ,B1C上的精选 word 范本！截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥18. 【 2012 高考真题辽宁理 16】已知正三棱锥 P ABC，点 P，A，B，C 都在半径为 3的求面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为 【答案】 33【解析】 因为在正三棱锥 P ABC 中， PA， PB，PC 两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分

24、，（如图所示） ，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到正方体的棱长为2，可求得正三棱锥P ABC 在面 ABC 上的高为 2 3 ，所以球心到截面 ABC 的距离为33 2 3 33319. 【2012 高考真题上海理 8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 的半圆面，则该圆锥的体积为 。20. 【 2012 高考真 题上海 理 14】 如图 ， AD 与 BC 是四 面体 ABCD中互 相垂直 的棱 ， BC 2 ，若 AD 2c ，且 AB BD AC CD 2a，其中 a、 c为常数，则四面体 ABCD的体积的最精选 word 范本！大值是【答案】

25、 2c a2 c2 1。3【解析】过点 A 做 AE BC ，垂足为 E，连接 DE，由 ADBC 可知， BC平面 ADE ，12所以V VB ADE VC ADE 1SADE BC=2SADE， 33当 AB=BD=AC=DC= a 时，四面体 ABCD 的体积最大。过 E 做 EFDA ，垂足为点 F，已知 EA=ED ，所以 ADE 为等腰三角形，所以点 E2 2 2 2 2 2 2 2 AE AB BE a 1 ， EF= AE AF a c 1， SADE = 1 AD EF = c a2 c2 1， 22 2 2 2 四面体 ABCD 体积的最大值 VmaxSADE = c a2

26、 c2 1。3 ADE 321. 【2012 高考江苏 7】（5 分）如图，在长方体 ABCD A1BC1 1D1 中， AB AD 3cm， A为 AD 的中点，又2cm ，则四棱锥322.【 2012高考真题安徽理 12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是精选 word 范本！A BB1D1D 的体积为 cm3答案】 92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为 4 的直四棱柱，几何体的表面积是 S 2 1 (2 5) 4 (2 5 4 42 (5 2)2) 4 92 23.【2012 高考真题天津理 10】一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 m3.俯视图2

27、4.【 2012 高考真题全国卷理 16】三菱柱 ABC-A 1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA 1=CAA 1=60则异面直线 AB 1与 BC1所成角的余弦值为 .答案】解析】如图设 AA1 a,AB b,AC c, 设 棱 长 为 1 ， 则AB1 a b, BC1 a BC a c-b，因 为底面 边长和 侧棱长都相等，且 BAA1CAA1 600所以精选 word 范本！1a b a c b c ， 所2AB1(a b) 3 ，BC1(a c-b)2 2AB1 BC1AB1 BC1 （a b） （a c-b） 2 ，设异面直线的夹角为 ，所以 cosAB1 BC1三、解答题

28、27.【2012 高考真题湖北理 19】（本小题满分 12 分）如图 1， ACB 45 ，BC 3，过动点 A作 AD BC，垂足 D 在线段 BC上且异于点 B，连接 AB，沿 AD将 ABD折起，使 BDC 90 （如图 2 所示）（）当 BD 的长为多少时，三棱锥 A BCD的体积最大；（）当三棱锥 A BCD的体积最大时，设点 E ， M分别为棱 BC， AC的中点，试在棱 CD 上确定一点 N ，使得 EN BM ，并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小D图1C第 19 题图解法 2：1111 3 2同解法 1，得 VA BCD AD S BCD (3 x) x(3 x) (x3

29、 6x2 9x) 3326所以当 x 1时， f ( x)取得最大值故当 BD 1时, 三棱锥 A BCD 的体积最大C图c图d第 19 题解答图故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 .精选 word 范本！解法 2：由（）知，当三棱锥 A BCD 的体积最大时， BD 1， AD CD 2 如图 b，取 CD 的中点 F ，连结 MF ， BF ， EF ，则 MF AD . 由（）知 AD 平面 BCD ，所以 MF 平面 BCD .如图 c，延长 FE至 P 点使得 FP DB，连 BP， DP ，则四边形 DBPF为正方形， 所以 DP BF. 取 DF 的中点 N ，连结

30、EN ，又 E为 FP的中点，则 EN DP， 所以 EN BF . 因为 MF 平面 BCD ，又 EN 面 BCD ，所以 MF EN. 又 MF BF F ，所以 EN 面 BMF . 又 BM 面 BMF ，所以 EN BM .因为 EN BM 当且仅当 EN BF ，而点 F 是唯一的，所以点 N 是唯一的 .1即当 DN 1 （即 N是 CD的靠近点 D的一个四等分点） ， EN BM 25连接 MN ， ME ，由计算得 NB NM EB EM ，2所以 NMB 与 EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形，如图 d所示，取 BM 的中点 G ，连接 EG ， NG，则 BM 平面

31、 EGN 在平面 EGN 中，过点 E作 EH GN 于H ，则 EH 平面 BMN 故 ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角2在 EGN 中，易得 EG GN NE ，所以 EGN 是正三角形，2故 ENH 60 ，即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 .28.【2012高考真题新课标理 19】（本小题满分 12 分）1如图，直三棱柱 ABC A1 B1C1中， AC BCAA1 ，2D 是棱 AA1 的中点， DC1 BD（ 1）证明： DC1 BC（ 2）求二面角 A1 BD C1 的大小 .精选 word 范本！29【. 2012 高考江苏16】（14分）如图，在直三棱

32、柱ABC AB1C1 1中， A1B1 A1C1 ， D ，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点 C）， 且 AD DE ，F 为 B1C1 的中点求证：（ 1）平面 ADE 平面 BCC1B1；2）直线 A1F / 平面 ADE 精选 word 范本！【解析】(1)要 证平面 ADE 平面 BCC1B1，只要证平面 ADE 上的 AD 平面 BCC1B1 即可。它可由已知 ABC A1B1C1 是直三棱柱 和 AD DE 证得。(2)要证直线 A1F / 平面 ADE ，只要证 A1F 平面 ADE上的 AD即可。32.【2012 高考真题北京理 16】(本小题共 14分)如图 1，

33、在 RtABC 中， C=90，BC=3， AC=6，D，E 分别是 AC ，AB 上的点，且 DEBC， DE=2，将 ADE 沿 DE 折起到 A 1DE 的位置，使 A1CCD,如图 2.(I) 求证： A 1C平面 BCDE；(II) 若 M 是A 1D的中点，求 CM 与平面 A1BE所成角的大小；(III) 线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由答案】解： （ 1） CD DE ， A1E DEDE 平面 A1CD ，又 A1C 平面 A1CD ，A1C DE又 A1C CD ，精选 word 范本！A1C 平面 BCDE 。2)如图建系

34、C xyz，则 D 2，0，0 ， A 0，0，2 3 ， B 0，3，0 ， E 2，2，0 A1B 0，3， 2 3 ,A1E2， 1，0 设平面 A1BE 法向量为 n x，y ，zA1B n 0A1E n 03y 2 3z 02x y 0z 3 yz 2 yxy2 CM1，0 ， 3CM n cos13|CM | |n| 1 4 3 1 3 2 2 222， n1 ，2 ， 3 又 M 1，0 ， 3 CM 与平面 A1BE 所成角的大小 45 。33.【 2012 高考真题浙江 理 20】(本小题满分 15 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 3 的菱形，且 BAD

35、120，且 PA平面 ABCD ， PA 2 6，M，N 分别为 PB，PD 的中点()证明： MN平面 ABCD ；() 过点 A作 AQPC，垂足为点 Q，求二面角 AMN Q的平面角的余弦值精选 word 范本！【答案】 （）如图连接 BD M，N分别为 PB，PD 的中点，在 PBD 中， MN BD又 MN 平面 ABCD ，MN平面 ABCD ；（）如图建系：A（0，0，0），P（0，0，2 6），M（ 23 ， 32，0），N（ 3 ，0，0），C（ 3 ，3，0）设 Q（x，y， z），则 CQ （x 3， y 3， z），CP （ 3， 3，2 6） CQ CP （ 3 ，

36、3 ，2 6 ）， Q（ 3 3 ，3 3 ，2 6 ） 由 OQ CP OQ CP 0 ，得：即：Q（233，2，236）精选 word 范本！40.【2012 高考真题湖南理 18】（本小题满分 12 分）如图 5，在四棱锥 P-ABCD 中， PA平面 ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB= ABC=90 ，E是CD的中 点.（）证明： CD平面 PAE；（）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积 .精选 word 范本！由AB 4,AG 2,BG AF ,由题意，知 PBA BPF,是 AG 2.在 RtB

37、AG中， AB 4,AG 2,BG AF, 所以BGAB2 AG2 2 5,BF AB 16 8 5BG 2 5 5是 PA BF 8551又梯形 ABCD的面积为 S (5 3) 4 16, 所以四棱锥 P ABCD的体积为2V 1 S PA 1 16 8 5 128 53 3 5 15精选 word 范本！PA 平面ABCD 知， PBA为直线 PB与平面 ABCD所成的角PABF因为 sin PBA ,sin BPF , 所以 PA BF.PBPB由 DAB ABC 90 知， AD / /BC,又BG/CD,所以四边形 BCDG是平行四边形，故 GD BC 3. 于解法 2：如图（ 2

38、），以 A 为坐标原点， AB, AD , AP所在直线分别为 x轴， y轴， z轴 建立空间直角坐标系 .设PA h, 则相关的各点坐标为：A(4,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,5,0), E(2,4,0), P(0,0, h).cosCD,PBcos PA,PB即CD PBCD PBPA PBPA PB由()知， CD ( 4, 2,0), AP (0,0, h),由 PB (4,0, h),故16 0 00 0 h22 5 16 h2h 16 h285 解得 h51又梯形 ABCD 的面积为 S （5 3） 4 16 ，所以四棱锥 P ABCD 的体积为21

39、1V S PA 16338 5 1285 1552011 年高考试题】、选择题 :1. （2011 年高考山东卷理科 11）下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题： 存在三棱柱，其正 （主 ）视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；存在圆柱，其正 （主 ）视图、俯视图如下图其中真命题的个数是（A）3 （B）2 （C）1 （D）0【答案】 A【解析】对于 ,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以.4.（2011 年高考安徽卷理科 6）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为精选 word 范本！A ) 48(B)32+8(D) 80答案】 CS表解析】由三视图可

40、知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱 .底面等腰梯形的上底为 2，下底为 4，高为 4，。故5.(2011年高考辽宁卷理科 8)如图，四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形， SD底面 ABCD ，则下列结论中不正确的是( )(A) AC SB(B) AB 平面 SCD(C) SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC与平面 SBD 所成的角(D) AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角8(2011 年高考江西 卷理科 8)已知 1， 2， 3是三个相互平行的平面 平面 1， 2 之间的距离为 d1，平面 2， 3之间的距离为 d2 直 线l与 1， 2， 3分别相交于 P1， P2，

41、 P3，那么 “P1P2 = P2P3 ”是“d1 d2”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件精选 word 范本！C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案】 C 解析】过点 P1作平面 2的垂线 g,交平面 2， 3分别于点 A、B 两点,由两个平面平行的性质可知 P2A P3B,所以 PP11PP22 dd21 ,故选 C.9. （2011 年高考湖南卷理科 3）设图 1 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为侧视图正视图图1A. 9 12 B. 9 18 C. 9 42 D. 36 18 22答案： B解析：由三视图可以还原为一个底面为边长是 3 的正方形，高为 2 的长方体以及一个

42、直径为 3的球组成的简单4 3 3 9几何体，其体积等于 4 （3）33 3 2 9 18。故选 B3 2 210.（2011 年高考广东卷理科7）如图 l3某几何体的正视图（主视图 ）是平行四边形，侧视图（左视图 ）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）A.6 3 B.9 3 C.12 3 D.18 3精选 word 范本！EA 平面 ABCD.VS平行四边形 ABCDh 3 22 1 3 9 3 。所以选 B11.（2011 年高考陕西卷理科 5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是2A） 8（B） 833C） 8 2 （D）答案】 A精选 word 范本！解析】 B. 由题得三视图

43、对应的直观图是如图所示的直四棱柱，12.（2011 年高考重庆卷理科 9）高为 2 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1的正方形，点 S、A、B、C、D 均在半径为 1的同一球面442，故4上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为( A ) 22(B)24（C）1（ D） 2解析：选 C. 设底面中心为2G，球心为 O，则易得 AG ，于是 OG 2 ，用一个与 ABCD 所在平面距22离等于 2 的平面去截球， S便为其中一个交点，此平面的中心设为H，则 OH2 242SH2 124287，故 SGSH2 HG422115. （2011年高考全国卷理科 11）已知平面 截一

44、球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 600 ，二面角的平面截该球面得圆 N ，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为4 ，则圆 N 的面积为(A) 7 (B)9 (c)11 (D) 13答案】解析】由圆 M 的面积为 4 得 MA 2，OM2 3 ，在 Rt ONM 中 , OMN 30ON 1OM3,r= 423 132二、填空题 :0NOM 21.（2011 年高考辽宁卷理科 15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2 3 ，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是精选 word 范本！2. （2011 年高考全国新课标卷理科 15）已知矩形 ABCD

45、的顶点都在半径为 4 的球 O的球面上，且C单位： m ），则这个几何体的体积为 AB 6,BC 2 3,则棱锥 O ABCD的体积为答案 : 8 3解析：如图，连接矩形对角线的交点O1 和球心 O,则，1AC 4 3,O1AAC 2 3 ,四棱锥的高为2O1O 42 （2 3）2 2 ,所以，体积为 V 1 6 2 3 2 8 333（2011 年高考天津卷理科 10）一个几何体的三视图如图所示4. （2011 年高考 四川卷理科 15）如图， 半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱 .当圆柱的侧面积最大时， 求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是精选 word 范本！答案：2R解析： S侧2 r

46、 2R2r24r2(R2r2)S侧max 时， r2R2r2r2R2222R，则224 R 2 R 2 R三、解答题 :1. （2011 年高考山东卷理科 19）（本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形， ACB= 90 ，平面， EF ，. = . ） 若是线段的中点，求证：平面）若 = ,求二面角 - -的大小解析】（ ）连结 AF, 因为 EF，EF =F,所以平面 EFG 平面 ABCD, 又易证EFG ABC,所以 FG EF 1 BCAB,即2FG 1BC , 即 FG 1 AD , 又22AD的中点 ,所以AM M,所以四边形AD , 又因为 D，

47、所 2AMGF 是平行四边形 ,故 GM FA,又M因为以 平面,FA 平面 , 所以平面.）取 AB的中点 O,连结 CO, 因为 ,所以COAB,又因为平面， CO 平面 ,所以 CO,又 AB=A, 所以 CO平面 ,在平面 ABEF 内,过点 O 作 OHBF 于 H,连结 CH,由三垂线定理知 :CHBF,所以 CHO 为二面角 - -的平面角 .2 a,连结 FO,容易证得 FOEA 且设 = = 2a ,因为 ACB= 90 ， = 2a ,CO= a,AE2精选 word 范本！FO 2 a,所以BF 2 a,所以 OH= 2a 6= 3a,所以在Rt COH中,tan CHO

48、= OH3,故 CHO= 60 ,所以二面角 - - 的大小为 60 .2.（2011年高考浙江卷理科 20）（本题满分 15分）如图，在三棱锥 P ABC中， AB AC，D为 BC的中点， PO平面 ABC ，垂足 O落在线段 AD 上，已知 BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明： AP BC；（）在线段 AP 上是否存在点 M ，使得二面角 A-MC- 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。平面 APC 的法向量n2 (x2,y2,z2)BM n1 0由1BC n2 0得 4x1 (2 3 )y1 (4 4 )z1 0 8x1 0精选 word 范本！x1

49、 0 2 3 AP n2 即 2 3，可取 n1 (0,1, ) 由 2z1y14 4 AC n244x3y2 4z2 0 x2 2 得0 4x 2 5y2 0 z0即52y2432 y 24可取 n2 (5,4, 3)，由 n1 n2 0得 4 3 2 3 0解得44综上所述，存在点 M 符合题意， AM 34，故 AM 35从而P M c oPsB ，所以 AMB PAP PMA 3综上所述，存在点 M 符合题意， AM 3.5. (2011 年高考全国新课标卷理科 18) (本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB=60,AB=2AD,P

50、D 底面 ABCD.p()证明： PABD ；( )若 PD=AD ，求二面角 A-PB-C 的余弦值。精选 word 范本！8 （2011 年高考湖南卷理科 19）（本小题满分 12 分）如图 5，在圆锥 PO中，已知 PO= 2 ， O的直径 AB 2,C是AB的中点， D为 AC的中点 （）证明：平面 POD 平面 PAC ;（）求二面角 B PA C 的余弦值 .精选 word 范本！解法 1：连结 OC，因为 OA OC , D是AC的中点 , 所以AC OD.又 PO 底面 O，AC 底面 O，所以 AC PO ，因为 OD，PO是平面 POD 内的两条相交直线，所以 AC 平面 POD， 而 AC 平面 PAC，所以平面 POD 平面 PAC 。（II ）在平面 POD中，过 O 作 OH PD于 H，由（ I）知，平面 POD 平面PAC ,所以 OH 平面 PAC，又 PA 面 PAC，所以 PA OH. 在平面 PAO 中，过 O 作 OG PA于 G，连接 HG ，则有 PA 平面 OGH ，从而 PA HG，故 OGH 为二面角 BPAC 的平面角。在 Rt