立体几何之点线面之间位置关系

1、第六讲 立体几何之点线面之间的位置关系考试要求：1、 熟练掌握点、线、面的概念；2、 掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程；3、 掌握点、线、面垂直、平行的性质知识要点：1、公理（1）公理 1：对直线 a 和平面 ，若点 A、Ba , A 、B，则（2）公理 2 ：若两个平面 、有一个公共点 P，则、有且只有一条过点 P的公共直线 a（3）公理 3 ： 不共线的三点可确定一个平面推论： 一条直线和其外一点可确定一个平面两条相交直线可确定一个平面两条平行直线可确定一个平面（4）公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这

2、两个角相等2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面3、异面直线所成角 的范围是 0 0900例2、三个平面将空间分成 k个部分,求 k的可能取值.分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为5 种:（1）三个平面相互平行（2）两个平面相互平行且与第三个平面相交（3）三个平面两两相交且交线重合（4）三个平面两两相交且交线平行（5）三个平面两两相交且交线共点例 3、已知棱长为 a 的正方体中， M、 N分别为 CD、AD中点求证：四边形 是梯形。C求证：GH / BD 例 4、如图， A 是平面 BCD 外的一点 G,H 分别是 ABC, ACD 的重

3、心，例5、如图，已知不共面的直线 a,b,c相交于 O点， M , P是直线a上的两点， N,Q分别是 b, c上的一 点 求证： MN 和 PQ 是异面直线B例 6、已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，则棱 A1B1 A1所在直线与面对角线 BC1 所在直线间的距离是直线与平面平行、平面与平面平行1、直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内2、直线和平面平行的判定及性质简述为线（ 1） 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行。 （ 线平行 线面平行）（ 2） 性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这

4、条直线就和交线 平行。（简述为线面平行 线线平行）3、两个平面的位置关系：平行、相交4、两个平面平行的判定与性质（ 1） 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（ 2） 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线公垂线夹在平行平面间的部分叫做这两个平面 的公垂线段两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离例 1、如图，在三棱锥 P-ABC中，点 、D 分别是 AC、PC的中点，求证： OD/ 平面 PABP例 2、如图在四棱锥 P-ABCD中， M、N分别

5、是 AB，PC的中点，若 ABCD是平行四边形， 求证： MN/ 平面 PAD例 3、如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面 A1BD/ 平面CCB1D1例 4 、在正方形中，已知正方体的棱长为（1）求证： MN/ 平面 CDD1C1；（ 2）设 MN=y，求 y=f（x） 的表达式；（3）求 MN的最小值，并求此时 x 的值； （ 4）求 AD1与 BD所成的角。，M、N 分别在其对角线 AD1与 DB上，若 AM=BN=。x直线与平面垂直、平面与平面垂直1、线面垂直的定义如果直线 l 和平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面 垂直，记作 l 。

6、2、线面垂直的判定及性质1）判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。（ 2）性质 垂直于同一平面的两条直线平行。3、线面角直线和平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所 成的角。特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们 说它们所成的角是 0的角，4、二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图所示，即为一个二面角 l 。二面角的取值范围是 。5、面面垂直的判定及性质1） 判定 如果一个

7、平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。简述为“线面垂直，则 面面垂直”。个平面。（2） 性质 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另 例 1、 在正方体 ABC-DA1B1C1D1中，求证： A1C平面 BC1D.例 2、 如图, 在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC3，BC4，AB=5,AA14，点 D 是 AB的中点，（I ）求证： AC BC1；（II ）求证： AC 1 / 平面 CDB1；（III ）求异面直线 AC1与 B 1C所成角的余弦值例 3、如图所示，直三棱柱 ABC-A1B1C1，底面 ABC中， CA=CB=1,BCA=

8、90。, 棱 AA1=2,M,N 分别是 A1B1,A1A 的中点。（ 1）求 BN的长；（2）求 BA1 ，B1C 夹角的余弦值；BB（ 3）求证 A1B C1M例 4、已知四棱锥 P-ABCD的底面为直角梯形， ABDC， DAB 90 ,PA 底面 ABCD，且 PA=AD=DC=1 AB =1，M 2是 PB 的中点。证明：面 PAD面 PCD例 5、已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD是菱形，DAB 60 ,PD 平面 ABCD，PD=AD，点 E为 AB中点，点 F为 PD中点 . （1）证明平面 PED平面 PAB； （2）求二面角 P AB F 的平面角的余弦值 .例 6. 如图所示，在斜边为 AB的 Rt ABC中，过 A 作