等差数列前n项和最值问题

1、等差数列前 n 项和的最值问题问题引入：已知数列 an ,的前 n项和 Sn n2 1n ,求这个数列的通项公式 .数列是等差数列吗 ?如果是,它的首项与公差分别是什么 ? 解: 21 2 1 3 当 n1 时 :an sn sn 12n当 n=1 时 :a1 s1 1 12 2 2 13综上:an 2n,其中:a1,d 2222探究 1:一般地,如果一个数列 an 的前 n项和为: snpn2 qn r ,其中:p.q.r 为常数,且 p 0,那么这个数列一定是等差数列吗 ?如果是,它的首项和公差分别是什么 ?结论:当r=0 时为等差 ,当r 0时不是一、 应用二次函数图象求解最值例 1：等

2、差数列 an 中， a1 0,S4 S9，则 n的取值为多少时？ Sn最大分析：等差数列的前 n 项和 Sn是关于 n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。解析：由条件 a1 0,S4 S9可知， d0，公差 d0，公差 d0，S10=0 ，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在 n= =5 时，数列 an 前 5 项和取得最大值、转化为求二次函数求最值例 2、在等差数列 an中, a4 14, 公差 d3, 求数列 an 的前 n项和 Sn的最小值分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。解析： a4 a1 3d, 14 a1 9,a1 23, Sn 23n

3、3n(n 1)23 49 2 (n) 22649236,49 49 当 n= 最小时， Sn 最小，但由于 n N ， 介于 8 与 9 之间， S8100 ， S99966即有且 S8 S9，故当 n8 S8 100 最小.49点评：通过条件求出 a1 ，从而将 Sn 转化为关于 n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处 介于 8 与 9 之间，但并不能1 n 6 取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。3. 已知等差数列 an 中， 前 n 项和 Sn n2 15n ，则使 Sn 有最小值的 n 是（ B ）A、 7B、 7或 8C、 8D、 94. 已

4、知 an 是等差数列，其中 a 1=31 ，公差 d= 8 ，则数列 an 前 n 项和的最大值为 76 分析：（ 1）根据数列的首项和公差写出数列的前n 项和，它是关于 n 的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量 n 的取值解答：解：（ 1）an 是等差数列，其中 a1=31 ，公差 d= 8 ，数列a n前 n 项和 sn=4n2+35n，根据二次函数的性质，当 n= 时，前 n项和 sn取到最大值， nN，n=4 ，前n项和 sn的最大值是 sn=64+140=76 ，5. 已知一个等差数列的前 10项的和是 110，前 20项的和是 20

5、.求此等差数列的前 n项和 Sn ，并求出当 n为何值时， Sn最大，最大2值是多少？ Sn= n2 21n 当N=10 或11 时，取最大值为 1106. 已知a n为等差数列， a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以 Sn表示an的前 n 项和，则使得 Sn达到最大值的 n 是设an的公差为 d ，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105 ，即 a1+2d=35，a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即 a1+3d=33 ， 由联立得 a1=39 ，d=-2 ，sn=39n+（-2）=-n2+40n=-（n-20）2+400，故当

6、n=20 时， Sn达到最大值 4007. 已知等差数列 an 的公差 d 0，若 a 3a 7=9 ， a 1+a 9 =10 ，则该数列的前 n 项和 Sn 的最大值为 49 分析：根据等差数列的性质得到第 3项与第 7 项的和等于首项与第 9 项的和等于 10，又第 3 项与第 7 项的积为 9，写出一个两根为 a3和 a7关于 x的一元二次方程，求出方程的解，且根据等差d小于 0可得到 a3和a7的值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的前 n 项和公式，配方后即可求出数列的前 n 项和 Sn 的最大值解答：解：由题意 a1+a 9=10 ，得到 a3+a7=10，又

7、 a3a 7=9 ，得到 a3， a7为方程 x210x+9=0 的两根，且 d0,d0时，满足m 的项数 m使得Sm取最大.(2)当a10 时，满足m 的项数 m使得 取最小值。am 1 0am 1 0例 3：已知等差数列 an的 an24 3n，则前多少项和最大？由an243n知当 n 8时， an 0，当 n 9时， an 0， 前8项或前7项的和取最大值 .9. 已知等差数列 bn的通项 bn2n-17, 则前多少项和最小 ?解：由 bn2n17n 知当 n 8时， an 0，当 n 9时， an 0，前 8项的和取最小值 .an 0点评：通过数列中数的特性，可由 n ，从解不等式来确

8、定 Sn 的最大值。小结：对等差数列前 n 项和的求法，通常从二次函数 an 1 0与不等式的角度来求解，但有一点要注意的是最值的取值不一定在对称轴处，必须认真考察 n取何值才符合2 192210. 已知等差数列 an,满足 an =40-4n , 求前多少项的和最大 ?最大值是多少 ?解法一:由 an 40 4nSn2n2 38n 2（n 19）2219 2 192当n 9或n 10时， Sn最大，最大值： S102（10）218022an 0 9 n 10解法二 : an 40 4n, 令an 10 n 9或n 10 , Sn最大， Sn最大值： S10 18011. 在等差数列 an中，

9、|a3|=|a9|，公差 d0，则使前 n项和 Sn取得最大值的自然数 n是 5或6分析：根据 d0，|a3|=|a9|，判断出 a3=a9，进而根据等差数列的通项公式求得a1+5d=0 ，判断出 a6=0 进而可知从数列的第 7项开始为负，进而可判断出前 n 项和 Sn取得最大值的自然数 n 的值解答：解： d0(1 n 5)，12. S n取得最大值时的自然数 n是5或6故答案为： 5或6等差数列an的公差 d0，且a12=a102，则数列an的前 n项和 Sn取得最大 值时的项数 n= 5 分析：由 a12=a102，得到 a1和a10相等或互为相反数，因为公差d小于 0，所以得到 a1

10、和a10互为相反数即两项相加等于0，又根据等差数列的性质可知 a5和 a6的和等于 a1和a10的和等于 0，得到数列 an的前 n项和 Sn取得最大值时的项数为 5解答：解：由 d0，a12=a102，知 a1+a10=0a5+a6=0，所以此数列从从第 6 项开始，以后每项都小于 0，故 Sn取得最大值时的项数 n=5 故答案为： 5点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，掌握两数平方相等时两数的关系，是一道中档题13. 已知等差数列 an，3 a5 =8 a12， a10 ，设前 n项和为 Sn,求 Sn取最大值时 n的值9* 1 2 115. 已知等差数列 an , an N*,Sn=

11、(an 2)2.若bnan 30 ，求数列 bn 的前 n项和的最小值82分析：由 Sn与an的关系，可写出 sn 1与an 1之间的关系，两式作差，即可得出 an 1与an间的关系；bn的前 n项和最小，估计 bn的前 n项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小11解an 1= sn 1-Sn= (an 1 2)2- (an 2)2，即8 an 1=(an1+2)2-(an+2)2，所以( an 1-2)2-(an+2)2=0，88即(an 1+ an )( an 1-an-4)=0，因为 an N*，所以 an 1+an 0，即an 1- an -4=0 ，所以 an 1-an=4，1

12、 2 1 因此等差数列 an 的公差大于 0. a1 = s1= (a1 2)2,解得 a1 =2.所以 an =4n-2,则bnan 30 =2n-31.8231 *n ，因为 n N * ，所以 n=15, 故bn 的前 15 项为负值，因 2n 31 0 29 即数列 bn 也为等差数列且公差为 2.由 2(n 1) 31 0 ，解得1(5 29 2 15 31)s15 =-225.2此s15最小，可知 b1 =-29 ， d=2,所以数列 bn 的前 n项和的最小值为an 为等差数列，公差为 d ， Sn 为其前 n项和， S6 S7 S5 ,则下列结论中不正确的是( A) 16.17

13、. 等差数列(B) S11 0的前 项和为，若C) S12 0D) S13 0，则下列结论： ， ， ， ，其中正确结论18.等差数列19.20.( A ) A 的前 项和BCD的最大值只有 ，且 ，则使数列 an是首项为 23 ，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。求前 n项和 Sn的最大值；当 Sn0 时，求 n的最大值。的 的最大值为求数列的公差；a1 5d 02323解：a123，a60，a70 得 0 n，n最大为 12。2（92 高考）设等差数列 an 的前 n项和为 sn，已知 a3 =12， s12 0, s13 0,（1）求公差 d 的取值范围；（2）指出 s1，

14、 s2， s12 中哪一个值最大，并说明理由12*11解析 (1)由 a3 =12 ，得： a1 +2d=12, 即a1 =12-2d,由s12 0，得： 12 a1+d 0213*1224由 s13 0 , 得： 13 a1+d 0 ，所以 d- 24 ,7（2） 解法 一12an a1 (n 1)d =12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d 令 an 0， 得： n3-,由(1)知：d24 d6 时， an 0，因此， s6 最大.解法二：由题意可得： Sn =n a1+ n(n 1) d =n(12-2d)+ n2 nd22d 2 5= n2 （12 d）n 显然 d 0, Sn是关于自变量 n 的二次函数， 22由（ 1）知： d0,二次函数的图像抛物线的对称轴为n=5 12 ,由（ 1）知：2d245 12 13*d3 ，所以 6 ,又因为 n N , 故72 d 2当 n=6 时， Sn 最大，即 s6最大 .简析：函数认识等差数列的和为项数的二次函数，构建不等式解范围；等差数列求和整体