全等三角形中辅助线的添加

1、全等三角形中辅助线的添加一. 教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二. 知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述(1) 作线段：连接;(2 )作平行线：过点 作 / ;(3) 作垂线(作高)：过点作丄，垂足为;(4) 作中线：取中点，连接；(5 )延长并截取线段：延长使等于;(6) 截取等长线段：在上截取，使等于；(7) 作角平分线：作平分；作角等于已知角；(8) 作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：(1 )倍长中线(或类中线)法：若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段)，通常考虑倍长中线或类

2、中线，构造全等三角形。(2) 截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较 长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段， 然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。(3) 一线三等角问题(“ K字图、弦图、三垂图)：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的 直角边。(4 )角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。(5) 角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法

3、：用旋转构造三角形全等。(6) 构造特殊三角形：主要是 30、60、90、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造 )和等边三 角形的特殊三角形来构造全等三角形。三. 基本模型：(1) ABC中AD是BC边中线D方式1: 延长 AD到 E,使DE=AD连接BEAE方式2:间接倍长，作CF丄AD于F,作BEL AD的延长线于 E,连接BE方式3: 延长 MD到N,使DN=MD连接CD(2)由厶ABEA BCD导出BC由厶ABEA BCD导出由厶ABEA BCD导出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CDED=AE-CD(3)角分线，分两边，对称全等要记全 角分线+垂线，等腰三角形必呈现(

4、三线合一)(4)旋转:M翻折ADNB0BCDBQAAM AN分别平分Z BMF和Z DNM方法：延长其中一个补角的线段(延长(5)手拉手模型厶ABEA ACF均为等边三角形CD到E使ED=BM 连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF )思路：分别将 ABMFDA ADh以 AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明 M P、N三点共线.(Z B+Z D=180且AB=AD结论：(1)A ABFA AEC (2)Z B0E=Z BAE=60 (“八字型”模型证明)；(3) 0A平分Z EOF 拓展：结论： MN=BM+D C CMN =2AB条件： ABCA CDE匀为等边三角形结论：(1)、AD

5、=BE ( 2)、Z ACBMAOB ( 3)、 PC创等边三角形(4) 、PQ/ AE ( 5)、AP=BQ (6)、CC平分 Z AOE ( 7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD( 7) , (8)需构造等边三角形证明)、ABDH ACE均为等腰直角三角形结论：(1)、BD丄 CF (2)、BD=CF变形一：ABEF和ACH均为正方形， ASL BC交FD于T,求证：T为FD的中点.Sabc二Sadf.方法一：方法二：BS C方法三：变形二：ABEF和ACH均为正方形,M为FD的中点，求证：ANILBCZ1 = Z 2=n当以AB AC为边构造正多边形时，总有:四、典型例题：考点

6、一：倍长中线（或类中线）法:核心母题 已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线练习:1、如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小.2、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.3、如图，CE CB分别是 ABCM ADC的中线，且/ ACB2 ABC求证：CD=2CE4、已知：如图，在正方形 ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，/ FAE= / BAE.求证：AF=BC+FC.5、如图，D是AB的中点，/ ACB=90 ,求证：2CD=AB.6、已知在厶ABC中，AB=AC D在A

7、B上, E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF求证：BD=CE7、已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EF8、已知：如图，在 占ABC中，AB式AC , D E在BC上，且DE=EC过D作DF / BA交AE于点F, DF=AC.求证：AE平分.BAC。9、以ABC的两边AB AC为腰分别向外作等腰Rr ABD和等腰Rr ACE，- BAD = CAE = 90 ,连接mN分别是BC DE的中点探究：AM与DE勺位置关系及数量关系.(1)如图 当 ABC为直角三角形时，AM与 DE的位置关系是，线段AM与 DE的数量关

8、系(2)将图中的等腰 RtBD绕点A沿逆时针方向旋转 二(0 90)后，如图所示，(1)问中得到的两个结 论是否发生改变？并说明理由.10、已知： ABCA ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC DA=DE联结EC取EC的中点 M 联结BM和DM(1) 如图1,如果点D E分别在边AC AB上，那么BM DM勺数量关系与位置 关系是 ;(2) 将图1中的 ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断(1 )中的结论是否仍然成立，并说明理由.变式1:已知：在 Rt ABC中，AB=BC在 Rt ADE中, AD=DE连结 EC,取EC的中点 M,连结 DM和BM(1) 若点D在边AC上,点

9、E在边AB上且与点B不重合，如图，探索 BM DM的关系并给予证明；(2) 如果将图中的厶 ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不 成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.图图变式:2 :已知： ABCA ADE都是等腰直角三角形，/ AB(=Z ADE90,点M是CE的中点，连接 BM(1) 如图，点D在AB上,连接DM并延长Dh交BC于点N,可探究得出BD与 BM勺数量关系为(2) 如图，点D不在AB上, (1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由AA变式3：四边形ABCD是正方形，厶BEF是等腰直角三角形，.BEF =90 ,

10、BE二EF，连接DF , G为DF的中点，连接EG , CG , EC。EC(1) 如图24-1，若点E在CB边的延长线上，直接写出 EG与GC的位置关系及 三C的值；GC(2) 将图24-1中的 BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问(1 )中所得的结论是否仍然成立？若 成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)将图24-1中的iBEF绕点B顺时针旋转ot ( 0/2、两个全等的含30 ,60。角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E, A, C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME MC.试判断 EMC的形状，并说明理由.3、如图，在 ABC中， A

11、CB =90 , AC = BC，直线MN经过点C,且AD _ MN于点D, BE _ MN于点 E。（1）当直线 MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证： DE=AD+BE（2） 当直线 MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证： DE=A BE;（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：DE AD, BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并 加以证明。NM4、如图所示，AE丄AB, BC丄CD且AB=AE, BC=CD, F、A、G C、H在同一直线上，如 按照图中所标 注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？6、小雨遇到这样一个问题：如图1,直线I1/I2/I3 , 11与

12、l 2之间的距离是1, 12与13之间的距离是2,试画出一个等腰直角三角形 ABC使三个顶点分别在直线 丨1、丨2、|3上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面积.图2liI2I3图1小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图2所示：在直线I 1任取一点A,作AC丄|2于点D,作/ DAH90 :在AH上截取AEAD过点E作EBL AE交丨3于点B,连接AB,作/ BA（=90。，交直线I 2于点C,连接BC即可得 到等腰直角三角形 ABC请你回答：图2中等腰直角三角形 ABC的面积等于 参考小雨同

13、学的方法，解决下列问题：如图3,直线I 1 / I 2/ I 3, I 1与丨2之间的距离是2,丨2与I 3之间的距离是1,试画出一个等边三角形 ABC使 三个顶点分别在直线I1、丨2、丨3上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹）I2I3liI2 137、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P ( 5,5 )处，两条直角边与坐标轴分别交于点 A和点B.(1) 当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时，试探究 OA+OB的值或取值范围；(2) 点A在x轴正半轴上运动，点 B在y轴负半轴上时，试探究 OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。9、已知：在平面直角坐标

14、系中，等腰直角厶ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且/ ACB=90 , AC=BC.10、( 1)如图1，当A ( 0, -2 ) , C ( 1 , 0),点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由.11、 ( 2)如图2 ,当点C在x轴正半轴上运动，点A ( 0, a)在y轴正半轴上运动，点B ( m, n) 在第四象限时，作BD丄y轴于点D,试判断a , m, n之间的关系，请证明你的结论.考点四：角平分线、中垂线法核心母题1、在ABC中，AB AC , AD是.BAC的平分线. P是AD上任意一点.求证：AB AC PB PC .A2、已知等腰直角三角形ABC, BC是斜边./

15、 B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD 延长线于E,求证：BD=2CE.C3、如图， ABC的边BC的中垂线 DF交厶BAC的外角平分线 AD于D, F为垂足，DEI AB于E,且AB AC求证:BE-AC=AEC练习1、如图所示，在 ABC中，AD是.BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较 PB PC与 AB AC的大小，并说明理由.2、如图所示：/ ABC的平分线BF与 ABC中/ ACB的相邻外角/ ACG的平分线CF相交于点F,过F 作DF/ BC,交AB于D,交AC于E.问：3、( 1 )写出图中的等腰三角形并说明理由.4、( 2)若 BD=8cm,

16、 DE=3cm,求 CE 的长.3、在 ABC 中，AB=2AC,AD 平分.BAC , E 是 AD 中点，连结 CE，求证：BD = 2CE4、如 图， ABC 中，/ ABC=2 / C, BE 平分/ ABC 交 AC 于 E、AD 丄 BE 于 D,求证： (1 ) AC-BE=AE ;(2)AC=2BD.5、如图，在 ABC中，AB AC, E为BC边的中点，AD为/ BAC的平分线，过 E作AD的平行线，交 AB于F,交CA的延长线于G.6、求证：BF=CG.变式一：如图，在 AABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点F，交AB 于 点G，若

17、BG =CF，求证：AD为乙BAC的角平分线.FGAB变式二：已知： ABC中, AD是厶ABC的角平分线，M为BC的中点，过点M作 MN AD,交AC于点N ,求证：AN+AB=NC.变式三：在(1)如图1,ABC中,人。是厶ABC的角平分线.过C作CE/ AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点,连结AF,求证：AFL ADM作 MN/ AD交 AC于点 N,若 AB=4, AC=7,图16、如图,求证:图2已知 ABC中，AB= AC, / A= 100 , / B的平分线交AD+ BD= BC7、如图, 线上。在厶 ABC中，ADL BC于D, CD= AB+ BD, / B的平分线交

18、 AC于点E,求证：点 E恰好在BC的垂直平分AH作直线I丄8、如图1，在 ABC中，/ ACB=2/ B,Z BAC的平分线 AO交BC于点D,点H为AO上一动点，过点A0于H,分别交直线 AB AC BC于点N、E、M（1）当直线I经过点C时（如图2），证明：BN=CD團1图2（2）当M是BC中点时，写出 CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN CE CD之间的等量关系.9、如图所示，在 ABC中，/ ABC=3/ C, AD是/ BAC的平分线，BE丄AD于 F,求证：2BE=AC-AB变式：如图，已知在 ABC中，乙ABC，上1=. 2 , BE_AE .求证： A

19、C-AB=2BE10、如图所示，在 . ABC 中，AD 平分 ZBAC , AD =AB , CM _ AD 于 M，求证 AB AC = 2AMCM1变式一：如图/ 仁/ 2, B为AC中点，CML FB于M, AN FB于N,求证： EF=2BMFB=_ ( FM+FN变式二：如图，在 ODC中，/D =9 d, EC是.DCO的角平分线，且0E 一 CE ,过点e作EF _0C交OC于点F猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明.变式三：如图所示，在 ABC中，AC AB, M为BC的中点，AD是/ BAC的平分线，若 CF丄AD且交AD的延长线于F,求证:1MF亠(ACAB)。2考点五

20、：角含半角、等腰三角形的(绕顶点)旋转重合法核心母题如图，在正方形 ABCD中, E、F分别是BC CD边上的点，/ EAF=45，求证：EF=BE+DF.求Z EAF的度数?变式二：如图，在正方形AH=AB.变式一：如图，E、F分别是边长为1的正方形ABCD勺边BC CD上的点,若 ECF的周长是2,综合：在正方形 ABCDK 若 M N分别在边BC CD上移动，且满足 MN=BMDN求证：.Z MAN45 .CCMN =2AB .AM AN 分别平分 Z BMF和/DNM.A.DBM练习1、如图，在四边形 ABCD中, AB=BC/ A=Z C=90,Z B=135 K N分别是AB BC

21、上的点，若 BKN的周长是AB的2倍，求/ KDN的度数？2、已知：正方形ABCD中，/ MAN=45,Z MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC (或它 们的延长线)于点 M N.当/ MAN绕点A旋转至U BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN3、( 1 )当/ MAN绕点A旋转到BMM DN时(如图2),线段BM DN和MN之间有怎样的数量关系？ 写出猜想，并加以证明；4、( 2)当/ MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM DN和MN之间又有怎样的数量关系？请 直接写出你的猜想.3、如图，在四边形 ABCD中, AB=AD, / B+Z D=180, E、F 分别是

22、边 BC CD上的点，且 2/ EAF=Z BAD(1) 求证：EF=BE+FD(2) 如果E、F分别是边BC CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。B5BCEECSB匿115、如图所示，在五边形 ABCDE中 AB=AE BC+DE=C,D/ ABC+Z AED=180 求证：AD平分/ CDE.B E6、女口图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, Z ABC=Z AED=90 , 求五边形 ABCDE 的面积C7、1如图1.在 四边形ABCD中.AB=AD,Z B+Z D=180 , E、F分别是边 BC、CD上的点，且Z BAD=2Z EAF.8、(1)求证：EF=BE+DF;9、(2)在(1)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时