线性方程组解题方法技巧与题型归纳

1、线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一 线性方程组解的基本概念X _ 兀 _ ax、= 3 【例题1】如果al、a 2是方程组2儿-3兀=1的两个不同的解向量，则a的取值如何一2斗 + ax2 +1 Ox3 = 4解：因为al、a 2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)3, 1-13)1-1-a3、对增广矩阵进行初等行变换：20一31022-3-5厂2a10*= (1, - 5, 13, 0) T, C8= (-7, -9, 24, 11) 丫是方程组2Xj + a2x2 + 3兀 + 匕兀=J,* 3召+b2x2 + 2伦+b4xA = 4的三个解，求此方程

2、组的通解。9尤+ 4x2 + 兀 + c4x4 = d、分析：求Ax二b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。解：A是3X4矩阵，rW3,由于A中笫2, 3两行不成比例，故rM2,又因为n = C C F (-10, 6, -11, 11) n3=C2-C= (8, 4,-U,-ll)T是 Ax=0 的两个线性无关的解向量，于是 4- r(A)2,因此 r(A)=2,所以 C x+k, ndk.il,是通解。总结：不要花时间去求方程组，太繁琐，由于C1-42, U-C3或371, 4 3-42等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，U, 4 2, 4 3都是特解，此类题答案不唯一。

3、题型2线性方程组求解1-2 100、1 -2 0100 0 1一10的各行向量都是方程组J -2 3-20丿【例题4】矩阵B =x +x2+x+x5 = 03a; + 2x2 + xy + x4 -3x5 = 0x2 + 2 兀 + 2x4 + 6x5 = 05x + 4x2 + 3x3 + 3x4 - x5 = 0的解向量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系若不能，这4个行向量是多了还是少了若多了如何去掉,少了如何补充解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵4 =1111 1 丫1 0 -1 -1 -5、3 2 11-30 12 2 60 12 2 60 0 0 0 05 4 3 3 一

4、1 丿,0 0 0 0 0 ,r(A)=2, n=5,因而一个基础解系含有3个解向量13=(5, -6, 0, 0,1)：QF (1, -2, 1, 0, 0) T, ad, -2, 0,1, 0)B矩阵的n=ri-n, =3卯2” B中线性无关的行向量只有1, 2行八故B中4个行向量不能构成基础解系,需增补a 30题型3含参数的线性方程组解的讨论1. 参数取哪些值时使rHr (Ab),方程组无解；2. 参数取哪些值时使r(A)=r(Ab),方程组有解，继续讨论(1) 参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)1 -1 100 0 1-2,0 1 -10 0 0 0 ；得HI的基础解系为(T, 1,

5、 2, 1) 1于是方程组I与II的公共解为X=k (-1, 1, 2, 1) r, k取全体实数。情况2.仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的 关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。【例题7已知齐次线性方程组I与II的基础解系分别是at= (1, 2, 5, 7) T, a 3= (3, -1,1,7)7, a 3= (2, 3, 4, 20) Bt= (1, 4, 7, 1) T,(b -3, -4, 2) 求方程组I与EL的公共解。解;显然方程组I与II的通解分别为kia1+k3a3+k3a,与入,+k

6、、+ 3k2 + 2k、人一入=0令其相等得到kia t+k2 a 3+k3 a 3=入)B i+ 入 2 B 2即严r+昵5+/+4人一7人+4人=07人+7人+20心一人一2入=0132-12-13-4 A =514-7,7720 -101000 00 01 00 1314_470丄3于是(覇姑, 几 入 J T=t (-3/14,4/7,0,1/2, 1)T即 ki=-3t/14,ka=4t/7, ke=0 , X i=t/2,入 3=t于是可得儿，X的关系为X1=t/2=Xa/2,将此关系式代入通解即为所求的公共解为Xx+Xa3a= (Xa/2) 4+入(入 ”2)(氐+24)=(入丿

7、2) (3,-2 ,-1,5) =A (3,-2 ,-1, 5)T,其中入二入2为任意实数。情况3已知一齐次方程组的通解及另一具体方程组，求其零公共解：常将通解代入另一方程组，求出通解中任意常数满足的关系，即求出通解中独立的任意常数，再代回通解，即得所求的非零公共解。简言之：已知的通解中满足另一具体方程组的非零解即为所求的非零公共解。题型5 与AB=0有关的问题已知矩阵A,求矩阵B使AB=0,此类问题常将B按列分块，B=(bl,b2,.bn),将列向量bi视为Ax=o 的解向量，因而可以利用Ax=o的一些解或一个基础解系充当所求矩阵B的部分列向量，B的其余列向量可 取为零向量(2 -2 1 3

8、、A亠【例题8】设人=，求一个4X2矩阵B使AB=0,且r=2.(9 -5 2 8丿解：由AB=0知，B的列向量均为Ax=。的解向量。显然r(A)=2,未知量的个数是4,因而Ax=。的基础解系 含有2个解向量，于是如果求出Ax=。的基础解系，以其为列向量作矩阵即得所求的矩阵B。2-213)-510-21为此对A进行初等行变换得A = c。八(9 -528)-801-1J基础解系 al= (1, 5, 8, 0) T, a 2=(0, 2,1, 1)T令B=(al, a 2),则B即为所求。题型6已知基础解系反求其齐次线性方程组法1：解方程组法(1) 以所给的基础解系为行向量做矩阵B,(2) 解

9、Bx=0,求出其基础解系；(3) 以(2)中所得基础解系中的向量为行向量作矩阵，该矩阵即为所求的一个矩阵A.法2：初等行变换法以所给的线性无关的向量作为行向量组成一矩阵B,用初等行变换将此矩阵化为行最简形矩阵，再写出 Bx=0的一个基础解系，以这些基础解系为行向量组成的矩阵，就是所求的齐次线性方程组的一个系数矩阵 A,从而求出了所求的一个齐次线性方程组Ax=0.K 2-3 1 0、a 、一240 1,【例题9】写出一个以X(2,-3,1,0) +q(2,4,0,1)为通解的齐次线性方程组。解:法1.令a f(2, -3,1,0几a ,=(-2,4,0,1/,以a ； a /为行向量作矩阵3 =

10、只需写出Bx=0的一个基础解系B 1= (1, 0,-2,2) B 2=(0,1, 3,-4)：则所求齐次线性方程组的系数矩阵为1 0 -2(0 13Ml衣丿所求的一个齐次线性方程组为Ax=0,/法2把所给通解改写为252.x 一 2x4 _3兀 + 4x4由上式易知所求方程组有两个自由未知数X3和x4和两个独立变量xl, x2,且对应的方程组为x2 = _3血 + 4x4即 J -2+2 =0x2 + 3不 一 4x4 = 0题型7抽象线性方程组求解1 已知系数矩阵A的秩，求Ax=0的通解:为求Ax二0的通解，必先由A的秩明确一个基础解系含多少个解向鼠，然后设法求出这些解向量。【例题10】设n阶矩阵的各行元素之和均为零，且R(A)=n-l,求线性方程组Ax=0的通解。解：X的维数为n, R(A) =n-l,故Ax=0的一个基础解系含1个解向量，又因为A的各元素之和为0,故非 零向量a产(1,1,1)满足方程组Ax=0,因而a ,为Ax=0的一个基础解系，于是通解为a =：ka ,(k为任 意常数)2.已知AX=b的特解求其通解【例题11】设三元非齐次线性方程组Ax二b的系数矩阵A的秩为2,且它的三个解向量Bl, B2, B3满足31