角提高知识讲解

1、角（提高）撰稿：孙景艳审稿：赵炜学习目标】1掌握角的概念及角的几种表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；4. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；5了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题 【要点梳理】要点梳理】高清课堂：角 397364 角的概念：】知识点一、角的概念1 角的定义：1）定义一： 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边如图 1 所示，角的顶点是点 O，边是射线 OA 、OB2）定义二：图一1 条射

2、线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部 如图 2 所示，射线 OA 绕它的端点 O 旋转到 OB 的位置 时，形成的图形叫做角，起始位置 OA 是角的始边，终止位置 OB 是角的终边 要点诠释： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点； 角的边是射线； 角的大小与角的两边的长短无关（2）平角与周角：如图 1 所示射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一 条直线时，所形成的角叫做平角，如图 2 所示继续旋转， OB 和 OA 重合时，所形成的角叫 做周角2. 角的表示法： 角的几何符号用“”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释： 用数字或

3、小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或 小写希腊字母3. 角的画法（1）用三角板可以画出 30、45、60、 90等特殊角；（2）用量角器可以画出任意给定度数的角；（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角 知识点二、 角的比较与运算1. 角度制及其换算 角的度量单位是度、 分、秒，把一个周角平均分成 360 等份， 每一份就是 1的角， 1 11的 为 1 分，记作“ 1”， 1的为 1 秒，记作“ 1”这种以度、分、秒为单位的角60 60的度量制，叫做角度制1周角 360， 1平角 180， 1 60， 1 60要点诠释： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，

4、即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位， 从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算， 在相乘或相加时， 当低位得 数大于 60 时要向高一位进位2. 角的比较： 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种方法 1：度量比较法先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小方法 2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较如比较 AOB 和AOB的大小：如下图，由图（ 1）可得 AOB AOB3. 角的和、差关系 如图所示， AOB 是1 与2 的和，记作： AOB 1+2； 1 是AOB 与2 的差，记作： 1 AOB -2要点诠释：（ 1）用量角器量角和画角的一般步骤： 对中（

5、角的顶点与量角器的中心对齐 ）；重合 （一边 与刻度尺上的零度线重合 ） ；读数 （ 读出另一边所在线的度数 ） （ 2） 利用三角板除了可以做出 30、 45、 60、 90外，根据角的和、差关系，还可以画出 15 ， 75， 105， 120， 135， 150， 165的角4. 角平分线从一个角的顶点出发， 把这个角分成相等的两个角的射线， 叫做这个角的平分线 如图 所示， OC 是AOB 的角平分线， AOB 2AOC 2BOC，1AOC BOC= AOB 2要点诠释： 由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样 知识点三、 余角和补角1. 定义： 一般地，如果两

6、个角的和等于 90（直角 ） ，就说这两个角互为余角，即其中一个 角是另一个角的余角类似地，如果两个角的和等于 180 （平角 ） ，就说这两个角互为补角，即其中一个角是 另一个角的补角2性质：（1）等角的余角相等 （ 2）等角的补角相等要点诠释：（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们 的位置无关（2）一般地，锐角的余角可以表示为 （90 -） ，一个角 的补角可以表示为 （180 - ） 显 然一个锐角的补角比它的余角大 90知识点四、方位角在航行和测绘等工作中， 经常要用到表示方向的角 例如， 图中射线 OA 的方向是北偏 东 60；射线 OB

7、的方向是南偏西 30这里的“北偏东 60 ”和“南偏西 30 ”表示方 向的角，就叫做方位角要点诠释：( 1)正东，正西，正南，正北 4 个方向不需要用角度来表示；( 2)方位角必须以正北和正南方向作为 “基准”，“北偏东 60” 一般不说成 “东偏北 30” ( 3)在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；(4) 图中的点 O是观测点，所有方向线 (射线 )都必须以 O为端点 知识点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有 12 个大格，把周角 12 等分、每个大格对应 30的角，分针 1 分钟转 6， 时针每小时转 3

8、0 ，时针 1 分钟转 0. 5，利用这些关系， 可帮助我们解决钟表中角度的计 算问题【典型例题】类型一、角的比较与运算1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180的角，试一一画出来【思路点拨】 首先发现一副三角板上有 30， 45， 60， 90这样 4 个不相等的角，利 用这些角进行一次和差，可得小于180的所有角【答案与解析】解：除了可以画 30， 45， 60， 90外，还可画 15， 75， 105， 120， 135150， 165的七个度数的角，画法如图所示【点评】 利用一副三角板共可以画出 11 个度数的角，分别是： 30，45，60， 90， 15， 75， 105，

9、120， 135， 150， 16515 75 105 120 135 150 1652. 计算下列各题：(1) 1524912+20. 18；(2)82-364215；(3) 35 36 47 9；(4)41373【答案与解析】解： ( 1)解法一： 20. 18201048即： 1524912+20. 18 173解法二：1524912 152. 82152. 82+20. 18 173即：1524912+20. 18 173( 2) 将 82化为 8159 60，则 82- 364215451745423 73， 324+7 531， 353647 9 32031 3 4137 3=13

10、5220【点评】 在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在 进行乘法运算时， 往往先把度、 分、秒分别乘以倍数， 将结果满 60进 1，满 60进 1 对于除法运算则是从度开始除， 将余数化为分和以前的分数相加再除， 将余数再化成秒和以 前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入举一反三： 【变式】计算： ( 1) 23 (3) 15 【答案】+661424 3；45 36 +6645 3650 42( 1) 23 ( 2) 180 - 98 24 30 81( 3) 155042 3 4732( 4) 881448 4 223； (2)180- 982430；(

11、4) 88 14 48 41424 90 ； 3530；6； 423. 如图所示表示两块三角板( 1)用叠合法比较 1， ， 2 的大小；( 2)量出图中各角的度数，并把图中的 6 个角从小到大排列，然后用“ ，用同样的方法，可得 (2) 用量角器量出图中各个角的度数， 分别是 1 245，390，30， 60， 90，把它们从小到大排列，有 12 3 【点评】 比较角的大小有叠合法和度量法两种： 先将两个角的顶点与顶点重合， 一条边与 一条边重合再比较先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较举一反三：【变式】如图， AOB 的平分线 OM, ON 为MOA 内的一条射线， OG 为 AOB

12、 外的一1 条射线。某同学经过认真分析，得到一个关系式是MON= 1 ( BON AON )，你认为2 这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来。【答案】 解：正确，理由如下： AOB 的平分线 OM ， AOM= MOB又 MON= AOM AON= MOB AON=( BON MON) AON 即有 MON= BON MON AON 2 MON= BON AON1 MON= (BON AON )2类型二、余角与补角4. (武汉武昌区期末调研考试 )已知点 O是直线 AB 上的一点， COE90， OF是AOE 的平分线(1)当点 C、 E、F在直线 AB 的同侧 (

13、如图所示 )时试说明 BOE 2COF；(2)当点 C 与点 E、F在直线 AB 的两旁(如图所示 )时( 1)中的结论是否仍然成立 ?请给出 你的结论并说明理由；( 3)将如图中的射线 OF绕点 O 顺时针旋转 m ( 0m180) ，得到射线 OD，设 AOC【思路点拨】 由于本题中涉及角的数量关系，故可以选择代数的方法来说明理由 【答案与解析】解： (1) 如图，设 COF， 则EOF90-因为 OF 是 AOE 的平分线所以 AOF 90-所以 AOC (90- )- 90-2BOE 180-COE-AOC 180 - 90-( 90- 2) 2即 BOE 2COF(2) 成立如图 2

14、90设 AOC ，则 AOF21所以 COF AOC AOF 451 (90 )22BOE180-AOE180-( 90- )90+所以 BOE 2COF(3) 因为 DOE 180- AOE- BOD2180 (90 n) (60n)5(30n)35故 DOE 的度数是 (30n) 3【点评】 根据角平分线， 互余及互补的定义， 进行有关角的计算 有一定的综合性和代表性， 主要培养分析问题和解决问题的能力【高清课堂：角 397364 角的有关计算例 4】举一反三：【变式】如图，已知 O 是直线 AC 上一点， OD 平分 AOB ，OE 在 BOC 内，且 BOE 1EOC， DOE 70，

15、求 EOC的度数 .2【答案】11解：设 EOC=，则 BOEEOC ( x)，根据22 题意可得：1180 x x212 x 7022解得： x 80 EOC 2 BOE 805. 轮船在海面上以每小时 15海里的速度向正北方向航行，上午 8时到达 A 处，测得 灯塔 C 在北偏西 45方向，上午 10 时到达 B 处，又测得灯塔 C 在北偏西 60方向(1) 根据题设条件，选用适当的比例尺画出图形；(2)量出 BC的图上距离，并推算出 BC 的实际距离；轮船继续向北航行到达 D处，这时灯 塔 C 在轮船的正西方向，这时 CD 的实际距离是多少 ?( 3)你能确定轮船到达 D 处时的时间吗

16、? 【答案与解析】解： ( 1)如图所示作图步骤如下： 从点 A 引南北、东西方向的两条直线，并画出DAC 45； 轮船从 8时到 10 时共航行了 30 海里，在南北方向上截取 AB7 mm (这时图距 7 mm 表示 30 海里 )； 画 DBC 60，射线 AC、BC 的交点 C就是灯塔 C 的实际位置； 在图上作 CDA 90，CD与AD交于点 D30( 2)从图中依次量出 BC22 mm，BD11 mm ，CD 19 mm，那么 BC 的实际距离为 22 730 94(海里)，CD 的实际距离为 19 81(海里)730(3) BD 的实际距离为 1147(海里) ，轮船船速为 15

17、 海里时，所以，轮船到达 D 处30所需时间为 1115 3. 14(小时)，即3小时 8分24秒3小时 8分24秒+10小时 13小时 8 分 24 秒答：轮船到达 D 处时的时间是 13 时 8 分 24 秒【点评】 以 A 点作为南北方向所构成的平角的顶点，由观察点A 、 B 的位置以及它们与灯塔 C 的夹角，由此可确定灯塔 C 的位置，然后根据比例尺和草图准确地画图，并计算即可类型三、钟表上有关夹角问题6. 在 7 时到 7 时 10 分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线 【答案与解析】解：设 7 时 x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得： 156x x 30 ， x 5 21157时5 5 分钟时针与分针成一条直线11时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，答：在不