行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文

1、本科生毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用姓名：学号：200802023046系别：数学与计算机科学系年级：2008 级专业：数学与应用数学指导教师：职称：副教授指导教师：职称：讲师2012年4月20日安顺学院毕业论文任务书数学与计算机科学系 数学与应用数学专业2008年级学生姓名 毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用任务下达日期：2011年9月5日毕业论文写作日期：2011年9月5日至2012年4月20学生签字:指导老师签字:摘要高等代数是数学专业学生的一门必修基础课程。行列式的计算是高等代 数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍

2、存在很 多困难，难于掌握。计算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特 征，选取适当的方法求解。当看到一个貌似非常复杂的n阶行列式时，仔细观察, 会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。掌握住这些规律， 选择合适的计算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先 介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种计算方法、技巧及其在 线性方程组中的初步应用。行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数 学有关内容的提高和推广。它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些 学科分支中也有广泛的应用。关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTA

3、lgebra is a courses of mathematics specialized compulsory of the basic mathematic The determinants calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant calculation , alway is students difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours Ther

4、e are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea When you see a seemingly so complex n order determinant, we should obs

5、erve them carefully,and we will find that their elements are airanged in rows or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation methodjt can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order de

6、terminant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group Determinant is an important theory in linear equations and it is an indispensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics* content

7、 raise and promotion It is not only the solution of linear equations of the important tool, but also in some other branch has a wide range of applications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations引言11 “阶行列式的定义32屛介行列式的性质33计算“阶行列式的具体方法与技巧43.1利用行列式定义直接计算43.2利用行列式的性质计算53.

8、3化为三角形行列式63.4降阶法73.5逆推公式法83.6利用范德蒙德行列式93.7加边法（升阶法）93.8数学归纳法103.9拆开法114行列式在线性方程组中的初步应用 114.1克拉默（Gmmer）法则124.2克拉默（Gmmer）法则的应用124.2.1用克拉默（Gmmer）法则解线性方程组134.2.2克拉默法则及其推论在几何上的应用14结论16参考文献17致谢1817解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有 重要的地位.因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的 电阻厂，它的两端的电位差V，那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式 ir

9、= v 求出来这就是所谓解一元一次方程的问题在中学所学代数中，我们解过一元、 二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容.对于二元线性方程组当1心22-。】2“21工0时，次方程组有惟一解，即也-“少alla22 一1221我们称5如切为二级行列式，用符号表示为如如一如“21 = 佝a22于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有惟一解，即b如ii bi对于三元线性方程组有相仿的结论设有三元线性方程组anx+ai2x2+a3x3=bl9(l2X + Ct22X2 + a23X3 = “2， a3lx + a32x2 + 3X3 =仏不小彳弋

10、dl tl 12233 + 12。23。31 +。13。2132 “1|23。32 122133 132231 丿勺行列式，用符号表示为：绚 I a2 a3aiia22a33+ai2a23a3l + 13“2132 一 11“23“32 一 122“3 一 门他佝】=(12。22。23“31 勺2 a33我们有：当三级行列式时，上述三元线性方程组有惟一解，解为=如d其中S a2 a35 *如5 %勺,d2 =5 b2如，d严5心h.b “32 33a3l b3 “33a31 a32b3在本论文中我们将把这个结果推广到元线性方程组anxi+ai2x2+ + aiA=bi a2lxt+a22x2+

11、 - + a2nxn=b2.l+an2x2+-+axn =bn的情形为此，我们首先要给岀阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是 本论文的主要内容.1 n阶行列式的定义阶行列式你如细Cl2l a22皿2Cln Un2ann等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积（1）的代数和，这里j2j”是12，几的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j2j”是偶排列时，（1）带正号，当jjr-j.是奇排列时，（1）带有负号这一定义可 以写成i! an如an1“4 _ 2 （一 1）口皿 Cl, a2h. % jJl-Jn“I 这里工表示对所有阶排列求和.定义表明，为了计算阶行列式，首先作所有有可能由位于

12、不同行不同列元 素构成的乘积。把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后山列指标所 成的排列的奇偶性来决定这一项的符号由定义立即看出，屛介行列式是山！项 组成的.2 阶行列式的性质性质（1）行列式与它的转置行列式相等；性质（2）交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号；性质（3）如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零;性质（4）把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数等 于数k乘这个行列式；性质（5） 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符 号的外边；性质（6）如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这行列式 等于零；性质（7）如

13、果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零；性质（8）设行列式D的第i行的所有元素都可以表成两项的和:Ci2 a22an Cln2ann那么D等于两个行列式p与D2的和，其中p的第i行的元素是,D2的第i行的元素是卬,。”，而”与D?的其他各行都和D的一样.同样的性质对于列来说也成立.性质（9）把行列式的某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变.在深刻理解了n阶行列式的定义及性质后，我们自然会想到，给出一个貌似 复杂的阶行列式，怎样在有限的时间内准确地算出它的值呢？这是本论文的中 心论点.阶行列式的讣算方法很多，除非零元素较少时可利用定

14、义计算外，更多的 是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题U的特点，灵活选用方法，值 得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法.下面介绍儿种常用的方 法，并举例说明.3计算“阶复杂行列式的具体方法与技巧该项列标排列的逆序数厂（771 斤2In）等于（戸 一 1）（ 一 2）3.1利用行列式定义直接计算例1计算行列式0 0 1 00 .2 0 0D =”一1 0 0 00- 0 0 n解D,中不为零的项用一般形式表示为5-心2-24一1“山=加2=(-1)2 川.3.2利用行列式的性质计算例2 个阶行列式2=|呦|的元素满足5 =-Qji 上 j = 12则称0为反对称行列式，证明：

15、奇数阶反对称行列式为零.证明：方法1:设其为2n+l阶行列式，每行提出(-1)后，D二(-1严小冋二(-1 )二-D, 所以D二0.方法2：由 = -ajt知ai( = -eg ,即a. = 0 J = 1,2,“，故行列式D】可表示为0%5”a20。232 =一13 _。230 知 一细一 5 0又由行列式的性质国=|団Dn =0如13 一舛20“23 _13 a230 a3n ana2nChn 00an如 alllU120 如=(-1一 Cl23 0 一细一吆 0=(j)5当”为奇数时，得Dn=Dn，因而得Dn = 0.3.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为上三角形或下三角

16、形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积乘以(-1)的逆序数次方.因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法.例3计算阶行列式解：这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等，根据行列式的性质,abb bbab bbba b b b b aD =把第2, 3,，料列都加到第1列上，行列式不变,a + (n-)bbb ba + (n-)hab bD =a + (_l)Z?ba b b b a1bb b1ab b= + (/?-I)/?1ha b 1 b b a1bb b0a_b0 0= a + (n-)b00a_b 0 0 0 0 a_b= d + (n_l)b(a_b)z对于形如*的所谓三角行列式，

17、可直接展开得到两项递推公式Dn = 叽、+0U.2，然后釆用如下一些方法求解.方法1如果较小，则直接递推计算.方法2用第二数学归纳法：即验证 =1时结论成立，设n” =丄厂 + (/) 1 2 23. 4降阶法降阶法是按某一行(或一列)展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是 用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式 的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开.例5计算阶行列式CI00000 0a0解将Di按第1行展开a00 ()0a0 00a0 .()00a 000a ()+(-1 严000 a000 a100 02 = a+(-1严(1)23. 5逆推公

18、式法逆推公式法：对77阶行列式D 找出与Di或与D,Dn-2之间的一种关系一一称为逆推公式（其中%6八D等结构相同），再111递推公式求岀D,的方法称为递推公式法.例6证明0-1a +x=xn + a2x2 + + anx + an, (/: 2)证明：将6按第1列展开得A-10 000X-1.00 000 X一1426-3 a2q + X-10 00+(j)b”X 00 00 X-1=5 +山此得递推公式：Dy+xDz 利用此递推公式可得D” = an + xD = an + x(an + xD2)= an+atx + x2Dn2= = &口 + 6ln_jX + + 6l| 1 + Xn3

19、.6利用范德蒙行列式例7计算行列式11 1x +1x2+兀+1彳+召x；+x2尤+X”x+x；-2x” +xftD =解 把第1行的一1倍加到第2行，把新的第2行的一1倍加到第3行，以 此类推直到把新的第n-行的一1倍加到第料行，便得范德蒙行列式 1 俎 = n(兀-)ni)3.7加边法（升阶法）加边法（乂称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变 的方法。例8计算阶行列式D”=|D”|(n 阶)解:(n+1 阶)3.8第衍减第行心000（箭形行列式）数学归纳法计算阶行列式0-1a +x解：用数学归纳法.当77 = 2时a2 x + aA=x(x + q) + a2=x2 +qx

20、 + “2假设n = k时，有D# = X* + ClX 1 + Cl-yX + + ClX + Ur则当n = M 时，把D如按第一列展开，得入f 2+伽=XXk + dXk + + d+ dj) + “知左+1k?=A* + ClX + +由此，对任意的正整数小有Dr = Xn + UX，1 1 + + Cln2X + aii-x +3. 9拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算.例10计算行列式Dn =q +人a? G 4 +入 5a2+人5an +A0a2“2 +45an 2 Cln +人, nn00Cln + A

21、r an+n解：Dn =40u2 =q人儿+&2-1上面介绍了计算舁阶行列式的常见方法,汁算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法.学习中多练习，多总结，才能更好地 掌握行列式的讣算方法.4行列式在线性方程中的初步应用在中学代数和解析儿何里，我们已经遇到两个未知量和三个未知量的线性方 程组。但是许多从理论和实际问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知 量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等。因此我们将更深入的讨论含 有任意个未知量任意个方程的线性方程组.线性方程组组的一般形式是：勺內 + a22X2 + -a2nXn =仇 X” ” .勺內+勺2吃+化其中“宀，

22、x”代表未知量， (i=l, 2,m; j二1,2,n)代表未知量的系 数，,代表常数项.我们将在复数域C上讨论线性方程组。这就是说，方程组中未知量的系数和 常数项都认为是复数，并且以后谈到数时，也总指的是复数(若是把复数域换为 其他的任一数域，讨论还是可以同样进行)4. 1克拉默(Cramer)法则如果线性方程组anxi+al2x2+.alnx =bta2lxl+a22x2+.Ja2ilxil =b2 allx+all2x2+.annxll =bn(其中召,尤2，.,兀代表未知量，(i二1, 2,，m ; j=l, 2, , n )代表未知量的 系数，休爲，代表常数项.)的系数行列式DMO,

23、那么，这个方程组有解， 并且解是唯一的。可以表示为xl=DjD,x2 = D2/D,-,xn=Dll/D其中D是把D中的第i列换成常数项b:b:.bn得到的”阶行列式.这个定理有三个结论，方程组(2)有解，解是唯一的，解由公式(3)给出.4. 2克拉默(Cramer )法则的应用克拉默法则只是使用于方程个数和未知量个数相等的特殊情形，当线性方程组的系数行列式不为零时，克拉默法则给出了该方程组的三个结论：(1)有解(解的存在性);(2)有唯一解；(3)用行列式表示了方程组的不可取，但其理 论上的作用必须重视.山克拉默法则得到“方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组有非零解时，其系数行列式等于零

24、”的结论，其实它还是充分必要条件，以后将多次用到. 4.2.1用克拉默法则解非齐次线性方程组例11求解线性方程组2n-1 + ax2 + 勺 + + 4 xH = q%, + a2x2 + a召 + += a2W+EW3+ + E =%其中工勺（心川,）=12丿）解：方程组的系数行列式为川阶范徳蒙徳行列式的转置山匕*/丿可知D= 口（匕一勺）HOnijl故山克拉默法则法则知，方程组有惟一解乂有D(,) =45沙20 a、5 =0,=D=0伙=3,4,刁)从而方程组的解为J州=2*D = 0, x2 = Di2/D = 1, x3 = D(i)/D = 0,，兀=D,t/D = 0例12下列方程

25、组中“Zb，绻各不相同，求证下面方程组有惟一解，并把它的 解求出来.X +兀2 +兀=1alxl + a2x2 + + anxn = b n-1M 幷+x2+- + anxn=b解：其系数行列式D为范德蒙德行列式，且由4,“2,卫”互不相同知D= 口-由克拉默法则法则知原方程有惟一解，且其解为伙=12/)（/?一4）（一-1）（畋+）（5方）（色_q）（畋一a-J（畋亠_代）（% ak）4.2.2用克拉默法则及其推论在几何上的应用例13已知xOy平面上两点M i （州,y ）和M ?（吃,y2），建立用行列式表示的 过这两点的直线方程.解：设所求直线方程为ax+by+c = O,其中M（x,刃

26、是所求直线上的任意一 点因为直线通过给定点和,故有ax +by +c = 0 , ax2 +by2+c = 0与原直线方程联立，可以得到以，彷，C为未知数的齐次线性方程组ax + by + c = 0 ax +by+c = 0ax2 + by2 + c = 0因为过耐2点的直线存在，对任意动点M（x,y）该方程组对未知数d, b, C均 有不全为零的解，即有非零解，故山克拉默法则的推论知其系数行列式的值为零. 且其行列式的式子是关于兀，y的一次方程，代表一条直线.乂分别取x = y = yi和x = %2, y = V2时,式成立，故它是过点和M?的直线方程.例14 求空间的四个平面qx +

27、bty + c忆+心=0（/= 1,2,3,4）相交于一点的条件.解：四个平面相交于一点，即线性方程组alx + biy + clz = -di“M + Ey+ c?z = _妁6/3x+/?3y + c3z = -J5a4x + b4y + c4z = -cl4有惟一解，设为（勺,儿也）将方程组改写为 qx + b+ CZ + W =0a2x + b2y + c2z + d2u = 0a3x + 仇丁 + C3Z + d3u = 0a4x + b4y + c4z + d4u = 0则这个4元齐次方程组有非零解（心）jZ。）山克拉默法则的推论：齐次线性方 程组有非零解，则其系数行列式等于零.有此可得空间的四个平面交于一点的条 件是：这个齐次线性方程组的系数铤阵行列式的值等于零.结论用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式是本论文的重点之一.掌 握行列式的讣算方法和技巧是本论文的难点.除了利用行列式的性质化为三角形 式和按行（列）展开公式使行列式降阶这些常用的方法外，要根据行列式的特点 采用特殊方法，如递推法、数学归纳法、加边法（升阶法）、拆开法，以及范德 蒙德行列式的结论，等等.都是我们学习过程中的