行列式的解法技巧毕业论文

1、摘 要1前 言2一、行列式的基本理论2（一）行列式定义2（二）行列式的性质2（三）基本理论4（四）几种特殊行列式的结果4二、行列式的计算技巧5（一）定义法5（二）化成三角形行列式法5（三）两条线型行列式的计算7（四）箭型行列式的计算8（五）三对角行列式的计算8（六）利用范德蒙行列式10（七）HESSENBERG 型行列式的计算10（八）降阶法 11（九）加边法（升阶法）12（十）计算行（列）和相等的行列式13（十一）相邻行（列）兀素差1的行列式计算14（十二）线性因子法15（十三）辅助行列式法16（十四）“阶循环行列式算法17（十五）有关矩阵的行列式计算18（十六）用构造法解行列式19（十七）

2、利用拉普拉斯展开20三、用多种方法解题21总结25参考文献：25行列式的解法技巧摘要:行列式是髙等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应 用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本理论，然后介 绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这 一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益 的帮助。关键词:行列式，矩阵，范徳蒙行列式，递推法Determinant of the solution techniqueAbstract: Determinant is an basic and important subjec

3、t in advanced algebra .it is very useful in mathematic .It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of deterniinant.then introduced some methods, Finally.with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.through this

4、 series of methods will futher enhance our understanding of the determinant.on our learning will bring very useful helpKeywords: Determinant, matrix, Vandermonde Determinants recurrence method行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们 有必要对行列式进行较深入的认识，木文对行列式的解题技巧进行总结 归纳。作为行列式木身而言，我们除了利用行列式的性质化三角行列式和按24行或列展开公式使行列式

5、降阶这些常用的手法外，要根据行列式不同的 特点采用特殊的方法，如递推法，数学归纳法，加边法（升阶法），以 及利用范德蒙行列式的结论等等。一、行列式的基本理论（一）行列式定义定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列 的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数 之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。这一定义可以写a a2a2 成：a22勺2P （ 八厂（加2人）爲（-1）5畑，这里Z 表示对所有“级排列求和.（二）行列式的性质1、行列式的行列互换，行列式不变;11a252152122也”=ai2anan2匕2%2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号;

6、243、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数;5a2anauCil2仏kaikai2g=k砌2%-:Clnan2%5心2ann4、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零;5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时, 行列式可拆另两个行列式的和。512alnananall52S + 5S+C2 - bn + c=%bn+qC2 cCtn2%an6r2%5an2ann6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零。（三）基本理论241. 5每+勺2心2 + = I其中每为元素呦代数余子式。0昇=丿2. 降阶定理 A B = D-CABCD111

7、3. =m4 -5.非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。（四）几种特殊行列式的结果1.三角行列式Ml0a2naua22 （上三角行列式）2.对角行列式)100(122=1122 mi3.对称与反对称行列式=atla22 （下三角行列式）nlann满足呦=5（i = 1,2儿丿=1,2门），D称为对称行im列式24%a3n满足佝=-u“（i,j =匕2小,D称为反对称行列式。若阶数n为奇数时，则D=0111(l2a3 1比4. Dn =心=lji=工（-1严57匕丿42应且知】4绚5=。，所以k几D的非零项j,只能取2或3,同理由 =% =他5 =% =“55

8、=，因而丿4丿5只能取2或3,又因人人要求各不相同，故勺“2勺5项中至少有一个必须取零，所以D=0。（二）化成三角形行列式法将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为 零，首先将第一行（或第一列）与其它任一行（或列）交换，使第一行第一个 元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除 第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第一行加第一24列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它成为上三角形行列式，这时 主对角线上元素的乘积就是行列式的值。b例2计算行列式D” = b解：各行加到第一行中去a + (n 一 )b ba + (n 一 1)/?aa + (n

9、-)bbbbb ab11abh1 0b a _b=a + (n - )bb000a_b000=d + (n-l)b(a-b)”Ta-h例3计算行列式1 2 32 3 4=3 4 5解：从倒数第二行(1)倍加到第n行1 23n 1nn(n +1)23n -1 n1 11 1 1一1 1 1 1一1 11 1 一” 1将所有列加到第一列J: 01 1 1 111-721 1 101-7711124I 11/?(n + l) 1 1 仁iII 1 n(n +1) h -nn(n-l)=(-IL(1 +小严21第一行的（-1）倍加各行上空宁1! nn +1)211 -n一 nn0n（三）两条线型行列式

10、的计算除了较简单的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定义直接计 算，少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外，一般行列式计算的 主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的三角行列式零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算（如上（下） 等）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶数。5勺0 a.计算邢介行列式D =解:b2 00b00-00a3 00色b20-0-+ bn(-V)n+l0b. 000 色-1-:-00 0an000bn-按第1列展开得D = c“绚勺勺+(-1)502.24（四）箭型行列式的计算的所对于形如谓箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性质化为三角

11、或次三角 形行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零。1 1 1 10计算行列式Dn =:0n277丄） n0（五）三对角行列式的计算对于形如-.；.；.的所谓三对角行列式，可直接展开得到两项递 推关系Dn = aDn_ + pDn_2,然后采用如下的一些方法求解。方法1如果n比较小，则直接递推计算方法2用第二数学归纳法证明：即验证n=l时结论成立，设” 时 结论也成立，若证明n二k+1时结论也成立，则对任意自然数相应的结论24成立方法3将。=aDn_x +卩D“变形为Dlt - PDtt_x =讥入-陀一2 ），其中 p + q = a, - pq = P由韦达定理知p和q是一

12、元二次方程x2 -i人1x；,_,“一I X”（七）Hessenberg型行列式的计算对于形如I.，J . ；的 所谓Hessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式 的性质化简并降阶。123 n -1 h1 -1例8计算行列式2 -27? -2_(H _ 2)n -1-(/?-!)解：将第1, 2 n-1列加到第n列,得24D =-12n(n +1)n - 2 _ (/? _ 2)zi-1-12（八）降阶法将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列 式的某一行（或某一列）化成仅含一个非零元素，然后按此行（列）展开，化 成低一阶的行列式，如此继续下去，直到化

13、为三阶或二阶行列式直接计 算出结果。1111=(a - b)(a c)(d - )(b c)(b d)(c -)(a + b + c + d)abed左边a b-aa2 b2 - a2a4 bKb_aZr -er(/异+/府/)(c2 + a2 )(c2-a2)d2 -a2(d2 +a2)(d2 一/)=(b- a)(c 一 a)(d a)h +a(b2 +/)( + /?)c + a(c2 +/)(c + a)a + d(/+)( +a)=(b- a)(c 一 a)(d a)(d 一 b)(c + be +)+ a(c + b) (a1 + bd + b1) + a(b + d)=(a b)

14、(a 一c)(a -)(一c)(Z? 一d)(c - d)(a +b + c + d)例9计算行列式24Dn =a2 + al+ 5a2 +G”0具中n 2 9 Ylai工r=l解:% +5 +5+厲2a2“2 + 5a2 + a2勺+.+._an + 40+%一 2勺2t/1 0 00 10) 1+1丿W=(-2)口 /=!-I=(-2严仏 Hl（九）加边法（升阶法）行列式计算的一般方法是降阶，但对于某些特殊的n阶行列式，如 除对角元（或次对角元）夕卜，其余元素相同或成比例的行列式，有时加 上一行一列变成n+1阶的行列式，特别是第1列为（1,0,.0丁并适当选择 第1行的元素，就可以使消零化

15、简单方便，且化简后常变成箭型行列式, 这一方法称为升阶法或加边法24例10计算斤阶行列式q =x + a. 如a2 x +r 一 W = 2, + 1)1-1-1-1H zy1+叭j=l x=xn0（十）计算行（列）和相等的行列式对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各列（或各行）加到第1列（或行）或第n列（或行），然后再化简。例11计算n阶行列式2 =1()”一171-1解： Dn Cn +(心12-1)72-1”一 124z?-lrt _斤(=2,3)-10-1 0 00 005-1)(?+2)(/?-1)=(-l)h (-1)Z(H-l)= (-1)-1)（十一）相邻行（列）元素差1的

16、行列式计算以数字1, 2,n为（大部分）元熟且相邻两行（列）元素差1 的n阶行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去后 行（列）；或自第n行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可 出现大量元素为1或一1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素。对于相邻行（列）元素相差倍数k的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的一k倍，或后行（列）减去前行（列）的一k倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素。n-2例12计算n阶行列式q =/ 一+1(心12 舁 一1)-cin000-an000-atl09cr（十二）线性因子法240 x y Z1+x111例13计算行列式(1)x 0 z

17、y(2)11-x11y z 0 a111+z1z y x 0111 lz解：(1)由各列加上第一列可见，行列式D可被x+，+ z整除。由第二 列加到第一列，并减去第三、四列可见，D可被y + z-x整除，由第三列 加于第一列，并减去第二、四列可见，D被x-y + z整除。最后由第四列 加于第一列，并减去第二、三列可见，D可被x+y-z整除。我们把料视 为独立未知量，于是上述四个线性因子式是两两互素的，因此，D可被 它们的乘积(X + y + z)(y + z-x)(x-y + z)(x + y - z)整除。此乘积中含有一项：，而D中含有一项：(-1)4 Z4 = Z4所以 = -(x+y +

18、 z)(y + z-x)(x-y + z)(x + y-z)= / + /+/2 兀 2y2_2x2z22bz2(2)将行列式D的前两行和两列分别对换，得1-X1111 + x11D =111 + z11111Z如果以-X代替X,又得原来形式的行列式。因此，如果D含有因式X, 必含有因式-X,由于当x = 0时，D有两列相同，故D确有因式X,从而D 含有因式/。同理D又含有因式而D的展开式中有一项：xV,从而 D =己21111-x1例14计算行列式：2 =：-11(/? 1) x解：由“阶行列式定义知，Q的展开式是关于X的首项系数为(-1)心的 (m-1)次多项式 Dn(x)9 当 x =

19、k(k= 0,1,2 - n-2)时,Dn伙)=0,因此Dn(a)有 一 124个互异根0, 1、22由因式定理得k)Dn(x)0n-2故 q=(_l)”T 口 (Xk)k=0(十三)辅助行列式法Z(i)fM例15计算行列式 Dn=：fn ”)其中/,(x)(/ = La n)为次数W川-2的数域F上多项式a】a”为F中任意 个数。解：若勺勺中有两个数相等，则n=o若山5互异,则每个”阶行列式fiM /g)/M)5对=：:-是- 的线fnM fM (勺)性组合，据题ZW的次数W 2(i = 1- /1)因而GW的次数W 2,但G(a2)=-=G(a) = 0,这说明G(x)至少有(n -1)个

20、不同的根，故G(x) = 0,所以G(a,) = 0即 Dn(x) = 0(十四)“阶循环行列式算法a h c a 例16计算行列式Dit = c cb bbba b 具中 abc H 0.b H c解：设 f(x) = a + b(x + x2 +- +xn)且令才- = 0 的个根为為(i = 1 zi), b24则 D=nfMr-ln C Cx X由 f(x) = a + b() = a + b+ 有x-1x-l X-1Cxi 一 1g十宜-du“一1利用关系式 Xi = XiXj =SXi!Xi2 XLn- = 0 , XX2 Xn =( 1) 1 h得咕口 （f+（）_屮5+EZ=1

21、口(兀 -1) /=!(一计sc-bc(a - b) - b(a - c)(-1)H+,r(-I)H例17设扎,（/； j = 12丿）都是天的可微函数/nW九)证明：dx/nW_/2lW fn W 心(X)n=Er=l加fnlMfnlM fmlWfnn（%）证明:/】2（X）/11W_/2iW f22W/in M fin MfnMfn2 W工（-1）55人（对2曲）爲ax h-hZ(-1)皿入)4-九I局2fnjn J1/2-Aax24筲厂）皿吩恥）局3处）+ +（恥）局33（弘SZ (T)hhhfll(X) dx/21WMU)(2 /ui 局2 (X)fnjn (x) + + X(-D 5

22、5几如(X) 爲(力)dxJlhJn/11WflMA-i,i W孰a/flnMnl/11W/12WfnW九flnM/12（X）的flnM务D+ +fnl Mfnn WA-1.2Wm/11W/12Wdx fi2(X) dxfnlMn=z/ = 1fnn（X）（十五）有关矩阵的行列式计算例18设A与B为同阶方阵,证明:= A + B-A-B证明:ABA + BB + AA + B0BABABA B= |A + B|A-B|例19设A为阶可逆方阵,a 0为两个维列向量，则卜+吶=（1 + 0小）国A aAa证明：-0 1(卄 1)5+1)0i + J3fAla24=国（1 + 0久一匕）例20若阶方

23、阵A与B且第/列不同。证明：2l-A + B = B证明:A + B =12心* : *+ 2“* : *anbnb=2心（国+网）:.2A + B=A + B（十六）用构造法解行列式例 21 设 /（x） = （ -x）（a2 一x）（a3 -xa bqa a证明：D =ba2 a a j (b) - 时(u)bb a3u u证明：构造岀多项式：a + xa+x a+xax +x a-q a _D(x)=b + xa2 +x a + x=b + x a2 -b ci _bb + xb + x 佝 + Ab + x0g _ ba -qa -1a axa _ a=b禺一 ba_b+ x1a2-b

24、a-bb0ay -b10a3 -ba aia _ ax=ba2 a+ xia2 _ ba-bbb ay105_b= D(x) = D + xD24-100 00X00 00X-10000-1000+（T）”S000-10000-10000X-1000X-1+ +咕(1)5X-10 00X-10000X-1 000X-100+（_1）卄（i（q+x）000 X0000 X-1000 0-10000X当x = _d,)(_d) =5 + (-“)0h-a a2 + (-) b-ab_aa3 _a=(q _a)(a2 _a) -) = )-aD = f(a)当 x = b、D(b) =5 _b a_

25、b0 a2 -b0 0=一方)(勺 一b)g-b) = D-hD = f (/?)=D_Wb)-时3 a-b（十七）利用拉普拉斯展开一10-1例22证明：级行列式D = 61、-1+ A证明：利用拉普拉斯展开定理,按第“行展开有:=（-1）叫-I）” +（1）0心（_1）心兀 + . +（_1严5-2匕（_1）才2+（_）网7（纠 + x）严n“1 n=an + ax + + a2x + ax + x以上等式右端的”-1级行列式均为“三角形行列式”。三、用多种方法解题下面我们运用上面的介绍的各种方法，选用多种方法解题。24a x a a例 23 计算：Dlt = a a x - aa a a

26、x法1:将第2,3,，n行都加到第1行上去，得x + (n - l)a x + (/? - V)a x + (n - )a1 11ax-aa x aD产aaa= x + (a?-1)a a aaaxa a x再将第一行通乘-“，然后分别加到第2,3,n行上，得11 10x-a 0Dn =x + (n-l)00 0= (x_g)“Tx + (_1)g00 x-a法2：将2,3,!行分别减去第1行得XCl-Xax-aa0a0D产a-x0x-a 0a-x00 x-a再将第2,3,n列都加到第1列上去,0 x-a 0便有Dn =00 x-a00=x + (n- l)(x _ a)24法3：将Dn添加一行及一列，构成（ +1）阶行列式1aaa0xaaDn = 0axa0aax再将第2,3,岸+1行分别减去第1行，于是有1-1 令 Dn = -0-10 0在X = d时，显然2=0,在XHd时,x-a10x-a01x-a00-1na=(x-r1 +x-a00x-a10x-a0= x + S_l)d(x_G)z(x-a) + a0 + a0 + a法4：A0 + (x-a) + a 令=.0 + g (x-a) + a24x-a0 0a-xx