第十二讲游戏必胜的策略

1、第十二讲游戏必胜的策略我国古代有一个 “田忌赛马 ”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。规 定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各 出一匹马。每胜一场可得一千金。田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。但 田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马。田忌 的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐 王的中等马，中等马对齐王的下等马。结果，田忌先负一场然后连胜两场，反 而赢了一千金。这个故事是对策的一个典型例子。他告诉我们：在竞争时，要 认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。利用它取得尽可能大的胜利，或 在胜利无望的时候

2、，也不至于输得太惨。这种思想在 20 世纪形成了对策论这门 新兴学科。下面我们就根据这个理论来想一想对策：例 1、两个人轮流数数，每个人每次可以数 1个、2 个、 3个，但不能不 数。例如第一个数 1、 2，第二个接着往下数 3，也可以数 3、4，还可以数 3、 4、 5,。如此继续下去，谁先数到 100，谁就算胜。请试一试，怎样才能获胜？分析：要抢到 100，必须抢到 96.这时另一个人只能数 97 或 97、98 或数 97、98、99，无法数到 100。如何才能抢到 96 呢？有必须抢到 92.以此类推， 得到一列数 92、88、84、, 、4.只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报

3、a 个数时（ 1a）3时，就报（ 4-a）个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数， 直到抢到 100.但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到 4n（n=1、 2, ）因此第二个 人就有必胜的策略。只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。思考：如果将 100改为 101或 99，其他条件都不变，先数的人能否获胜 呢？（是否还是抢 4 呢？）例 2、有两堆火柴，一堆 16 跟，一堆 11 跟。甲乙两人轮流从中拿走 1 根或 几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲 如何才能取胜？1/ 4分析：这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆中的火柴根数 相同时，后

4、取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证 取到最后一根。对一般情况可以化为特殊情况。解：甲从 16 根的那堆中先取出 16-11=5根，是两堆火柴根数相同。然后每 次根据对手取得根数在另一堆中取相同的根数，是两堆火柴根数保持相等，直 至取到最后一根火柴而获胜。说明：当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用已的错误 取胜。例 3、一张 310的长方形网格纸有 30 个小方格。甲乙两人轮流用剪刀沿方 格纸直线剪一刀。（只能沿直线剪，否则为输）甲将一份分为两份，选送一份 给乙；乙按要求剪一刀后，选一份再送给甲 , 如此重复进行，谁送给对方一个 方格，谁就获胜。甲要想获胜，

5、有何策略？分析：送给对方一个正方形的方格纸，这时后剪的都可以使图形再变成 （更小的）正方形，知道取胜为止。解：甲先剪下 73的一块，把 33的那块送给乙。乙只能剪成 13和 23 的两块。若送给甲 13的那块，正好使甲剪下 12而获胜。若送给甲 23的那 块，那么甲再一刀剪成 12和 22的两块，把 22的送给乙。乙只可能切成 12 的两块。其中一块送给甲，甲还是获胜。同学们，这种方法你考虑到了吗？你会不会再遇到问题时，先动脑筋想办法。例 4、下图是一张由 410个方格组成的棋盘，一人持白子置于 A 位，另一 人持黑子置于 B 位。随后两个人轮流走子，每一次可以沿一条横线或一条纵线 至少走一格

6、，并要遵守下列游戏规则：（ 1）不允许和对方的棋子在同一条直线上。（ 2）不能越过对方棋子所在的直线。轮到谁无路可走，就算输。B2/ 4CA分析：为了找到规律，我们先从最简单的情况入手，以便找到获胜的策略。解：如果棋盘只有一个方格，两子置于正方形的对角，谁先走谁输。 BBB1（ 1）AA1（2）A在 22 的棋盘上，先走者按规则只能走动一格，这时后者仍能走一格，变成 （1）图中的形势因此，持白子的人第一步应沿长边移动 6格到 C点处，C与 B是 44的正方形对角（两个相对的顶点）然后不论黑子如何移动，白子均可移动， 使他和黑子仍然处于一个较小的正方形的对角，直至变成11正方形，黑子认输。总结：

7、以上几例，实质上都是利用一种对称原理来解决的。只要抢先给对 方制造一个对称图形，输的人一定是对方。例 4、甲乙两人轮流在黑板上写不超过 10 的自然数。游戏规则：不允许写 黑板上已写过的数的约数。轮到谁无法写数时，就是输者。现甲先写，乙后 写，问谁能获胜？需要什么对策？分析：仍然利用对称原理。抢先给对方制造一个对称。只要甲先写 6.解：甲先写 6。乙还有 4、5、7、8、9、10 六个数可以选择。把他们分成三 组（4,5）、（ 8,10）、（ 7,9）。乙写某组数中的一个时，甲就写同组数中的另 一个，从而一定获胜。练习1、甲乙两人轮流报数，每次报的数必须是 1至 8 之内的自然数。把两人报 的

8、数逐次相加，谁正好使和达到 88，谁就获胜，甲欲取胜，有何策略？2、桌面上有 1999根火柴，甲甲乙两人轮流的取 1根或 2根，谁取到最后 一根火柴谁获胜。3/ 4问获胜的策略是什么？3、有两个箱子分别装有 63、108 个球。甲乙两个轮流在任意箱中取球，规 定取得最后一个球的为胜。甲先取，他应如何取才能取胜？4、现有三堆火柴，分别为 3、5、8 根。两人轮流取，每次可以取走其中的 一堆，也可以取走一堆中的若干根（一次不能从两堆中取，最少要取一根）。 谁取到最后一根或一堆，谁获胜。先取的人要保证获胜的策略是什么？5、把 16 枚棋子排成一行。甲乙二人轮流取走棋子，每人每次可以取走紧 挨着的两枚（如果两枚棋子当中已经有其他棋子被取走，就不算紧挨，就不能 同一次取走）如果在甲取走棋子后，乙再也找不到紧挨着的两枚棋子可以取， 甲获胜。甲有获胜办法吗？ 6、图中是一张 29棋盘。甲置白子于 A 位，乙