理论力学分析力学

1、第四部分 分析力学第 13 章 达朗贝尔原理上面几章我们是以牛顿定律为基础研究质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点 和质点系动力学问题的普遍定理。这一章我们要学习求解非自由质点系动力学问题的新方 法达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。它在解 决已知运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。13.1 达朗贝尔原理13.1.1 惯性力质点的达朗贝尔原理设非自由质点的质量为 m，加速度为 a，作用在质点上的主动力为 F ，约束力为 FN ， 如图 13-1 所示。根据牛顿第二定律，有ma = F + FN将上式移项写为F + F N - ma = 0

2、（ 13-1）引入记号F I = ma（ 13-2 ）式（ 13-1）成为F + FN +FI = 0（13-3）其中， FI 具有力的量纲，称为质点的惯性力，它是一个虚拟力，它的大小等于质点的质量 与加速度的乘积，方向与质点的加速度方向相反。式（13-3）是一个汇交力系的平衡方程，它表示：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系，称为 质 点的达朗贝尔原理 。此原理是法国科学家达朗贝尔于 1743 年提出的。F1F图13-1mma图13-2利用达朗贝尔原理在质点上虚加惯性力，将动力学问题转化成静力学平衡问题进行求 解的方法称为动静法。应当指出：（ 1）达朗贝尔原理并没有

3、改变动力学问题的性质。因为质点实际上并不是受到力的作用而真正处于平衡状态，而是假想地加在质点上的惯性力与作用在质点上的主动力、约束 力在形式上构成平衡力系。（2）惯性力是一种虚拟力，但它是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。 例如，系在绳子一端质量为 m 的小球，以速度 v ，用手拉住小球在水平面内作匀速圆 周运动，如图 13-2 所示。小球受到绳子的拉力 F ，使小球改变运动状态产生法向加速度 a 即F = ma n 。小球对绳子的反作用力 F=- F=- man ，这是由于小球具有惯性，力图保 持其原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。（ 3）质点的加速度不仅可以由一个力引起，而且还

4、可以由同时作用在质点上的几个力共同引起的。因此惯性力可以是对多个施力物体的反作用力。例如圆锥摆，如图 13-3 所示，小球在摆线拉力 FT 和重力 mg 作用下作匀速圆周运动， 有FT + mg = ma此时的惯性力为FI = ma= FT -mg= FT +（ mg） 式中 F T和 mg 分别为摆线和地球所受到小球的反作用力。由于它们不作用在同一物体 上，当然没有合力，但它们构成了小球的惯性力系。FTa图13-3FImg角。已知小球在水平面内作匀速圆周例题 13-1 有一圆锥摆，如图 13-4 所示，重为 P 9.8N 的小球系于长为 l 30cm的绳 上，绳的另一端系在固定点 O ，并与

5、铅直线成 60 运动，试求小球的速度和绳子的拉力。FTb|F In图13-4解：以小球为研究对象，受由重力 P 、，绳子的拉力 FT 以及在小球上虚拟的惯性力，FIn ，即FIn P aP v 2g l sin如图 13-4 所示。由于小球在水平面内作匀速圆周运动，其惯性力只有法向惯性力方向与法向加速度相反。由质点的达朗贝尔原理得FT+P+FIn =0将上式向自然轴上投影，得下面的平衡方程nF n 0 FT sinFIn 0i1nF b 0 FT cos P 0 i1解得FT coPs 19.6NFgl sin 22.1m/s13.1.2 质点系的达朗贝尔原理设质点系由 n 个质点组成，其中第

6、 i 个质点的质量为 m i ，加速度为 ai ，作用该质点 的主动力 F i 、约束力 FNi 、惯性力 FIi=- m i a i ，由质点的达朗贝尔原理第 i个质点有 Fi +FNi+FIi =0 (i 1,2, ,n)(13-4)式( 13-4)表明：质点系中的每一个质点在主动F i 、约束力 FNi 、惯性力 FIi 作用下在形式上处于平衡。若将作用在质点系上的力按外力和内力分， 设第 i 个质点上的外力为 Fie 、内力为 Fii ， 式( 13-4)为ei Fie+Fii+FIi =0 (i 1,2, ,n)(13-5)式(13-5)表明：质点系中的每一个质点在外力Fie 、内力

7、 Fii 、惯性力 FIi ，作用下在形式上处于平衡。对于整个质点系而言，外力Fie、内力 Fii 、惯性力 FIi (i 1,2, ,n)在形式上构成空间平衡力系，由静力学平衡理论知，空间任意力系平衡的必要与充分条件是力系 的主矢量和对任一点的主矩等于均为零。即n n nFe+ Fi+ FIi =0in1 i i 1 i ni 1 n(13-6)M o(Fie)+ M o(Fii)+ M o(FIi )=0i1 i i1 i i 1 nn 由于内力是成对出现的，内力的主矢量 Fi 0 ，内力的主矩M o(Fi ) 0。i 1 i i1 o i则式（ 13-6）为Fie+FIi =0i 1 i

8、 i 1 nnM o(Fie)+M o(FIi)=0i 1 i 113-7)即质点系的达朗贝尔原理 构成平衡力系。：作用在质点系上的所有外力与虚加在质点上的惯性力在形式上式（ 13-7）在直角坐标轴上的投影形式：1）空间力系i1 nFIxi0i1 nFIyi=0i1FIzin0+ ey F1i+eF13-8)xMi1n in iF(yM1F(zM12）平面力系nnF ixe +F Ixi = 013-9)i 1 ix i 1 nnFiye+FIyi = 0i 1 i 1 nnMo(Fie)+ Mo(FIi )=0 i 1 i113.2 刚体惯性力系的简化在应用动静法解决非自由质点系的动力学问题

9、时，需要在每个质点上虚加惯性力，当 质点较多，特别是刚体，非常不方便。因此需要对虚加惯性力系进行简化，以便求解。下 面对刚体作平移、绕定轴转动和刚体平面运动时惯性力系的简化。13.2.1 平移刚体惯性力系的简化当刚体作平移时，由于同一瞬时刚体上各点的加速度相等，则各点的加速度都用质心C的加速度表示，即 ac =ai，如图 13-5 所示。将惯性力加在每个质点上，组成平行的惯 性力系，且均与质心 C 的加速度方向相反，惯性力系向任一点 O 简化，得惯性力系主矢量F IR = F Ii = m i a i = ( m i a c )i1 i 1 i 113-10)ain=( mi )ac= Mac

10、 i1accrcrii FIi图13-5惯性力系的主矩nnM Io = riFIi = ri ( mi ai )i1 i 1n= ( mi ri ) ac = Mrc ac(13-11)i1式中r c为质心 C到简化中心 O点的矢径。若取质心 C为简化中心 rc = 0，则惯性力系的主 矩为M I o = 0(13-12 )当简化中心不在质心 C 处，其主矩 M Io 0 。结论：刚体作平移时，惯性力系简化为通过质心的一个合力，其大小等于刚体的质量 和加速度的乘积，方向与加速度方向相反。13.2.2 定轴转动刚体的惯性力系简化这里只限于刚体具有质量对称平面且转轴垂直与此对称平面的特殊情形。 当

11、刚体作定轴转动时，先将刚体上的惯性力简化在质量对称平面上，构成平面力系， 再将平面力系向转轴与对称平面的交点 O 简化。轴心 O 为简化中心，如图 13-6 所示，惯性力系的主矢量为F IR = F Ii = m i a i =i1 i 1d=- (Mvc )=- M acdt c cddt( mi v i) i113-13)惯性力系的主矩为n n n13-14)2MIo = M o(FIi ) (mir ri )= miri2= Joi1 i1 i 1其中， J o 为刚体对垂直于质量对称平面转轴的转动惯量。M I oacainainai|F I|iF IniFIiM IRF IRac图13

12、-6图13-7结论：具有质量对称平面且转轴垂直于此对称平面的定轴转动刚体的惯性力系，向转 轴简化为一个力和一个力偶。此力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质 心加速度方向相反，作用线通过转轴；此力偶矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加 速度的乘积，转向与角加速度转向相反。当转轴通过质心时， 质心的加速度 ac = 0，FIR= 0 ，则惯性力系简化为质心上的一个 力矩。即M Io = J o （ 13-15 ）13.2.3 平面运动刚体惯性力系的简化设刚体具有质量对称平面，且刚体上的各点在与对称平面保持平行的平面内运动。此 时刚体上的惯性力简化在此对称平面内的平面力系。 由平面运

13、动的特点， 取质心 C 为基点， 如图 13-7 所示，质心的加速度为 a c ，绕质心 C 转动的角速度为 ，角加速度为 ，惯性 力系的主矢量为F IR= - M a c（ 13-16）惯性力系的主矩M Ic = J c （ 13-17）其中， J c 为过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量。结论：具有质量对称平面的刚体，在平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在 此平面内的一个力和一个力偶。此力大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质 心加速度方向相反，作用线通过质心；此力偶矩的大小等于刚体对通过质心且垂直于质量 对称平面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度转向相反。

14、例题 13-2 均质圆柱体 A的质量为 m ，在外缘上绕有一细绳，绳的一端 B固定不动， 如图 13-8a 所示，圆柱体无初速度地自由下降，试求圆柱体质心的加速度和绳的拉力。(a)(b)图13-8解：对圆柱体 A进行受力分析，作用其上的力有：圆柱体的重力 mg ，绳的拉力 FT，作用在圆柱质心的虚拟惯性力 FI 和 M IA ，即F I ma A M IA J AmR 12 mR(1)其方向如图 13-8b 所示。列平衡方程为nM C 0i1nF y 0i1M IA mgR F I R 0mg F T F I0(2)3)式(1) 代入式 (2) 和式( 3)，并联立求解，得圆柱体的角加速度和绳

15、的拉力为2g3R1F T mg圆柱体质心的加速度为2 aA R g3例题 13-3 如图 13-9a 所示，均质圆盘的质量为 m 1 ，由水平绳拉着沿水平面作纯滚动，绳的另一端跨过定滑轮 B 并系一重物 A ，重物的质量为 m 2 。绳和定滑轮 B的质量不计，试求重物下降的加速度，圆盘质心的加速度以及作用在圆盘上绳的拉力。(a)图13-9F I21F 1Tm 2g(c)解：以圆盘为研究对象， 作用在圆盘上的力有重力 摩擦力 F ，虚拟惯性力FI1和 M Ic 。虚拟惯性力 FI1和1FI1 m1a cm1a A21 2 a c 1M Ic J 2 m 1rm 1r2 2 1 r 2 1 r 为

16、圆盘的半径。m 1g ，绳的拉力 FT ，法向约束力 FN ， M Ic 为aA21m 1ra A41其方向如图 13-9b 所示，列平衡方程为nM D 0i1 再以重物 A为研究对象，作用在重物 A 上的力有重力 力 FI2 。虚拟惯性力为M Ic FI 1r FT01）m2g ，绳的拉力 FT ，虚拟惯性FI2 m 2aA其方向如图 13-9c 所示。 列平衡方程为 nF y 0i1m 2gF TF I 2 02）式（ 1）和式（ 2）联立，并注意 FT FT ，解得重物下降的加速度为 8m 2aA3m1 8m 2 g圆盘质心的加速度为4m 23m1 8m 2 gm1m2作用在圆盘上绳的拉

17、力为FTg3m1 8m 2例题 13-4 均质直杆 AB 重为 P ，杆长为 l ， A 为球铰链， B 端自由，以匀角速度 绕 铅垂轴 Az 转动，如图 13-10a 所示。试求杆 AB 与铅垂轴的夹角以及铰链 A 处的约束力。F AF AynaindrdF I 2FI(a)(b)(c)图13-10解：首先计算惯性力如图 13-10b所示,将杆分割成微段 dr ，且距 A为r ，则 dr 段上惯性力为 P2 r sin dr gldF In dma( dr )r sin 21）P其中， P 为杆的线密度。gl对式（ 1）积分，求合惯性力为lP r sin 0 gl 合惯性力的作用线位置，由合

18、力矩定理 nM A（FIn）M A（FIni ）i1FInin 2 dr P l sin2g22）FIn x cos0l P r sin0gl2 r cos dr其中， x 为合惯性力到 A 的距离。 解得FInxcos3Pgl2 2sincos将式（ 2）代入得3）2xl3由式（ 1）和式（ 3）知，此惯性力为线性分布载荷，其合力为载荷图的面积，合力的作用线通过载荷图的形心。其次求杆 AB 与铅垂轴的夹角以及铰链 对杆 AB 进行受力分析，A 处的约束力为 F Ay 、 FAzA 处的约束力。如图 13-10c 所示 , 在杆所在的铅垂平面内， 杆受重力 P ，铰链 ，虚拟惯性力 FIn 。

19、列平衡方程为nMA0nFIn2 lcos P1l sin0（4）i132nFy0FInF Ay 0（5）i1 nFz0FAzP0（6）i12）代入式（4）、（ 5）、（6）得将惯性力式（P l sin 22gF AyFInF Az P13.3本章小结cos 12l3g1. 质点的惯性力FI= ma其中，惯性力 FI 是一个虚拟力。2. 质点的达朗贝尔原理： 作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系。即F + FN +FI = 03. 质点系的达朗贝尔原理 ： 作用在质点系上的所有外力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成平衡力系。即平衡力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢量和

20、对任一点的主矩等于均为零。主矢量 :nnFie+FIi =0i 1 i i 1 nn主矢量 :M o(Fie)+M o(FIi)= 0i 1 i 14. 质点系达朗贝尔原理 的 投影形式 ：（1）空间力系Fixe + FIxi = 0i 1 i 1nnFiye+FIyi = 0i 1 i 1nnF zei +FIzi 0i n 1i 1 nnnM x(Fie)+ M x(FIi )= 0i 1 i 1nnM y(Fie)+ M y(FIi )= 0i 1 i 1nnM z(Fie)+ M z(FIi )=0i 1 i 1(2) 平面力系nnF ixe + F Ixi = 0i 1 ix i 1

21、 nnFiye+FIyi = 0i 1 i 1 nnMo(Fie)+ M o(FIi )=0i 1 i 15. 刚体惯性力系的简化(1)平移刚体惯性力系的简化 : FIR = M ac 其中，惯性力系简化为通过质心的一个合力。(2)定轴转动刚体的惯性力系简化：FIR = M ac MIo = Jo当转轴通过质心时，定轴转动刚体的惯性力系简化为质心上的一个力矩。即M Io = J o (3) 平面运动刚体惯性力系的简化：FIR =- M ac MIc = Jc第 14 章 虚位移原理在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有 许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需

22、要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程， 才能求出所要求的未知力。这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必 要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力 学。 1788 年，法国科学家拉格朗日发表的分析力学一书，给出了解决非自由质点系的 新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从 能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和 拉格朗日方程。虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，

23、减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。14.1 约束自由度广义坐标14.1.1 约束质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为 的数学方程称为 约束方程 。按约束方程的形式对约束进行以下分类。约束， 表示约束1.几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为 其约束方程为几何约束 。例如图 14-1 所示的单摆，2 2 2 x +y = l 又如图 14-2 所示的曲柄连杆机构，其约束方程为222xA +yA = r(xA xB)2+(y A yB)2=l2yB = 0lrM(x,y) r y图14-1A(x n,yn)图14-

24、2B(x n,yn)vc图 14-3上述例子中的约束方程均表示几何约束。如果约束方程中含有坐标对时间的导数， 或者说， 约束限制质点或质点系运动的条件， 称为运动约束 。例如图 14-3 所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心 C 的速度为v c = r运动约束方程为v c r= 0 设 x c 和 分别为轮心 C 点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为x C r = 02.定常约束与非定常约束约束方程中不显含时间的约束称为 定常约束 ，上面各例中的约束均为定常约束。约束 方程中显含时间的约束称为 非定常约束 ，例如将单摆的绳穿在小环上，如图 14-4 所示，设 初始摆长为 l 0 ，以不变的速度

25、拉动摆绳，单摆的约束方程为2 2 2x2+y2 =(l0 vt)2 约束方程中有时间变量 t ，属于非定常约束。y图14-43. 完整约束与非完整约束约束方程中含有坐标对时间的导数， 而且方程不能积分成有限形式， 称为 非完整约束 。 反之，约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间的导数，但能 积分成有限形式，称为 完整约束 。上述例子中在平直轨道上作纯滚动的圆轮，其运动约束 方程为完整约束。4. 双侧约束与单侧约束如果约束不仅限制物体沿某一方向的位移，同时也限制物体沿相反方向的位移，这种 约束称为 双侧约束 。例如，图 14-1 所示的单摆是用直杆制成的，摆杆不仅限制小球

26、拉伸方 向的位移，而且也限制小球沿压缩方向的位移，此约束为双侧约束。若将摆杆换成绳索， 绳索不能限制小球沿压缩方向的位移，这样的约束为单侧约束。即约束仅限制物体沿某一 方向的位移，不能限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为 单侧约束。本章非自由质点系的约束只限于几何、定常的双侧约束，约束方程的一般形式为(14-1)fj(x1,y1,z1, ,xn,yn,zn) 0 ( j 1,2, ,s)式中 n 为质点系中质点的数目， s 为约束方程的数目。14.1.2 自由度确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目称为质点系的 自由度数 ，简称自 由度，用 k表示。例如，在空间运动的质点，其独立坐标

27、为 (x,y,z) ,自由度为 k 3；在 平面运动的质点，其独立坐标为 (x,y) ,自由度为 k 2 ；作平面运动的刚体，其独立坐标 为(xA ,yA, ) ，自由度为 k=3。一般情况，设由 n 个质点组成的质点系，受有 s 个几何约束，此完整系统的自由度数 为空间运动的自由度数：k 3n s ；平面运动的自由度数：k 2n s 。14.1.3 广义坐标确定质点系位置的独立参量称质点系的广义坐标，常用 q j ( j 1,2, ,s) 表示。 广义坐标的形式是多种的，可以是笛卡尔直角坐标x,y , z 、弧坐标 s、转角 。一般情况，设具有理想、双则约束的质点系，由 n 个质点组成，受有

28、 s 个几何约束， 系统的自由度为 k 3n s，若以 q1,q2, , qk表示质点系的广义坐标， 质点系第 i 个质点的 直角坐标形式的广义坐标为xixi(q1,q2, ,qk ,t)yiyi(q1,q2, ,qk ,t)(i 1,2, ,n)(14-2)zizi(q1,q2, ,qk ,t)矢量形式为riri(q1,q2, ,qk ,t)(i 1,2, ,n)(14-3)14.2 虚位移原理14.2.1 虚位移和虚功1.虚位移在某给定瞬时，质点或质点系为约束所允许的无限小的位移称为质点或质点系的 虚位 移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。用变分符号r 表示，以区别真实位移 dr 。例

29、如图 14-1 所示的单摆，沿圆弧的切线有虚位移 r 。 虚位移与实际位移是两个截然不同的概念。虚位移只与约束条件有关，与时间、作用 力和运动的初始条件无关。实位移是质点或质点系在一定时间内发生的真实位移，除了与约束条件有关以外，还与作用在它们上的主动力和运动的初始条件有关。虚位移是任意的 无限小的位移，在定常约束下，虚位移可以有沿不同方向的虚位移。2.虚功力在虚位移上作的功称为 虚功 ，用 W 表示，即W = F ?r(14-4)虚功与实际位移中的元功在本教材中的符号相同，但它们之间有着本质的区别。因为 虚位移是假想的，不是真实位移，因此其虚功就不是真实的功，是假想的，它与实际位移 无关；而

30、实际位移中的元功是真实位移的功，它与物体运动的路径有关。这一点上学习时 应当注意。3.理想约束如果约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，这样的约束称为 理想约 束。若用 FNi 表示质点系中第 i个质点所受的约束力， r i表示质点系中第 i 个质点的虚位 移，则理想约束为sW = F Ni r i 0 (14-5) i1将第 12 章的式( 12-11)中dr i 变换为 ri 即可。如光滑接触面、铰链、不可伸长刚杆(二 力杆)等均为理想约束。 将第 12 章的理想约束推广到某些非定常约束， 也能成为理想约束。 例如变长度摆，如图 14-5 所示，绳的约束力在实位移上作的功FT

31、?dr 0 ，但虚位移上的虚功 FT ?r = 0 ，因而也是理想约束。l(t)图14-514.2.2 虚位移原理虚位移原理 ：具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在 质点系上的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即nWF= Fi ri = 0 ( 14-6) i1式( 14-6) 的解析式为n(Fxi xi + Fyi yi+ Fzi zi)= 0( 14-7)i1虚位移原理由拉格朗日于 1764 年提出的， 又称为虚功原理， 它是研究一般质点系平衡的普 遍定理，也称静力学普遍定理。虚位移原理的必要性证明： 当质点系平衡时，质点系中的每个质点受到主动力 F

32、i 和约束力 F Ni 而处于平衡，则有 Fi +FNi = 0 (i 1,2, ,n)将上式两端同乘以 ri ，并连加得由于质点系受有理想约束，即nnFi +FNii 1 i 1n=0FNi r i = 0 i1n则有 WF = Fi r i = 0i1虚位移原理的充分性证明： 假设质点系受到力系作用时，不处于平衡状态，则作用在质点系上的某一个主动力Fi和约束力 F Ni 其在相应的虚位移上所作的虚功必有( Fi F Ni ) r i 0 由于质点系受有理想约束，即re rACe F 1 rrAF2图14-6 nFNir i = 0i1则对于质点系有WF = Fi ri 0i1 这与式 （

33、14-6）矛盾，质点系必处于平衡。例题 14-1 如图 14-6 所示的机构中，当曲柄 OC 绕轴 O 转动时，滑块 A 沿曲柄滑动， 从而带动杆 AB 在铅直的滑槽内移动，不计各杆的自重与各处的摩擦。试求平衡时力F1和F2 的关系。解：作用在该机构上的主动力为力 F1和 F2 ，约束是理想约束，且为 1 个自由度体系。 有如下的两种解法：C 两点的虚位移为 r A ，rC ，则由虚位移原理式 （14-6）得F2 r A F1 r C 0（1）几何法1）如图 14-6 所示， A 、由图中的几何关系得rCr A cosreaOArA coslcosa r A cos aAl2）式（ 2）代入式

34、（ 1），得cos2( F2 F1F2 r A F1 r A a 02 A 1 A lcos2a ) r A 0 lA由于虚位移为 r A 是任意独立的，则F 2 F1cos 2 a 0 l有关系为F1lF2 a cos 2（2）解析法由于体系具有 1 个自由度，广义坐标为曲柄 OC 绕轴 O 转动时的转角 ，则滑块 A 在 图示坐标系中的坐标为y l tan滑块 A 的虚位移为rA y cos 2C 点的虚位移为r C (a ) a 将点 A 、 C 的虚位移代入式( 1)得F2 cos 2F1a0由于广义虚位移 是任意独立的，则有F22F1 a 02cosF1lF2 a cos 2例题 1

35、4-2 如图 14-7 所示的平面机构中。 已知各杆与弹簧的原长为 l 滑块 A重为 P ，弹簧刚度系数为 k ，铅直滑道是光滑的。试求平衡时重力 系。图14-7解：去掉弹簧的约束，以弹力 F 、F 代替， 体系的约束为理想约束， 和弹力 F 、 F 的作用下处于平衡。 此体系具有 1 个自由度， 广义坐标为 理式( 14-6) 得在主动力重力 P，则由虚位移原主动力作用点的坐标为P y A F xB F xD 01)则各作用点的虚位移为上式取变分，得yAxBxD2l sinl cosl cos弹簧的弹力 F 、 F 为yAxBxD2l cosl sinl sin2)F F k(2l cos

36、l) 将式( 2)和式( 3)代入式( 1)，得P2l cosk( 2l cos l)lsin k(2l cos l)l sin 03)整理得 P kl ( 2 sin tan ) 0 由于广义虚位移 是任意独立的，则有P kl ( 2 sin tan ) 0 即得平衡时重力 P 与 之间的关系为P kl ( 2 sin tan )例题 14-3 一多跨静定梁受力如图 14-8a所示，试求支座 B 的约束力。BCD3mEF4m4m3m6m6m4m1GM(a)F2| rBr2CFB(b)| rE图14-2解：将支座 B处的约束解除，用力 FB 代替。此梁为 1个自由度体系。由虚位移原理式 (14

37、-6)得F1 r1 F B rB F2 r2 M 0FBF1 rr1BF2 rrB2MrBGM其中，各处的虚位移关系为1 r B rBrG4r1 rB r211r B 81r E1r B 6 6 rB3 r 2 36 36rB1 11 1112 8 96从而得支座 B 的约束力为11111FBF1F2M289614.2.3 以广义坐标表示的质点系平衡方程设由 n 个质点组成的质点系，受有 s 个定常完整约束，系统的自由度为 k 3n s ，对 质点系中第 i 个质点的广义坐标求变分，由式 (14-2) 得k ? xi= ? qx i q j j1?qj k ? yi= ? qy i q j j

38、1?qj k ? zi zi = ? ziq jj 1 ? q jxiyi( i 1,2, ,n)14-8)其矢量式为k ? rri = j 1?qrij qj(i 1,2, ,n)式( 14-8)代入式 ( 14-7)得nk ? xWF = Fxi (?xii 1j 1 ? qjk n? x= (Fxi ? xi Fyij 1 i 1? qjk ?yiqj)+ Fyi(i qj )+ Fzi (j 1 ?qjj 1 ?qjy i ? zii + Fzi i ) qj = 0qj?zi qj )iFyiqj(14-9)n?xiQj = (Fxi i + Fyii 1? q jn ? r= Fi

39、 ? rii 1 i ? q j式( 14-10 ) 代入式 ( 14-9 )yiyi?q + Fzi ?qzi ) ? q j ? qj( j 1,2, ,k)14-10)WF = Qj q j = 0j1其中， Qjqj 具有功的量纲， Q j称为与广义坐标 由于广义坐标 qj 具有独立性，式 ( 14-11)有 Qj = 0qj 对应的广义力。( 14-11)( j 1,2, ,k) 即质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。式 平衡方程。求广义力有两种方法：一是直接从式 ( 14-10) 中求出，另一中求法是利用广义坐标具有 独立和任意的性质，令某一的虚位移q j 0

40、，其余的 k 1个虚位移为零，则有WF = Q j qj( 14-12 ) 广义力表示的14-12)从而( 14-13 )Qj = WqFjq j在实际求解中常采用第二种方法。例题 14-4 平面机构在如图 14-9 所示位置上平衡， 已知在曲柄 AB 上作用有力偶矩 M ， 1在铰链 C处，受有水平力 F 。AB 1CD l ，各杆的重量和摩擦不计， 试求水平力 P与力2偶矩为 M 的关系。rBr23060r160 DrD图14-9解： 此机构为 2 个自由度体系。设广义坐标为曲柄 AB 与水平轴的夹角 ，滑块 D的 水平位移 rD 。（ 1）求广义坐标 所对应的广义力令滑块 D不动，虚位移

41、 x D 0 ，则广义力W 1 MFcso30 o r1Q1 =1q1图示位置，杆CD可以看成瞬时平移，则有r1rB l代入上式，再由质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。则Q1 = 0MFcso30o lM Fcso30o l 0则水平力 F 与力偶矩为 M 的关系为FMlcso30o（2）求广义坐标 x D 所对应的广义力令曲柄 AB不动，虚位移0 。此时体系相当于 BC 为曲柄，杆 CD为连杆组成的曲柄连杆机构。铰链a）广义力为由质点系平衡条件则水平力将式（ a）C 处的虚位移 r2 垂直于杆 BC ，由速度投影定理得r2 rD cos 60oW 2 P r D Fcs

42、o60o r 2 Q 2 =q2xDP rD F cos 60o rD cos 60orD2oP F cos 2 60 o 0F 与 P 的关系为2o P F cos 60代入式（ b）得水平力 P 与力偶矩为 M 的关系为 M 2 o 3 MP cos 60 o lcso 30o6l14-5 如图 14-10 所示两重物 A 和 B ，重量分别为 P1和 P2 ，并系在细绳上，分别 C ，重b）例题放在倾角为 和 的斜面上，绳子绕过两个定滑轮与动滑轮相连。动滑轮上挂重物 量为 P3 的重物。 若滑轮和细绳的自重以及各处的摩擦不计，试求体系平衡时， P1、P2和 P3的关系。图14-10解：此

43、机构为 2 个自由度体系。设广义坐标为重物 A沿斜面向下的位移为 s1 和重物 B 沿斜面向上的位移为 s2。重物 C 的竖直位移为 s3。（1）求广义坐标 s1 所对应的广义力令重物 B不动，虚位移 s2 0 ，则广义力W1q1P1 sin s1 P3 s3s1s3 1 s由运动关系得则上式为1W1 P1sin s1 P3 2 s1 Q1 = q1s11 P1 sinP32由质点系平衡条件Q1 0a）P3 2P1 sin（2）求广义坐标 s2 所对应的广义力 令重物 A不动，虚位移 s1 0 ，则广义力W2 P3 s3 P2 sins2s2Q2由运动关系得则上式为Q2 = W2q2由质点系平

44、衡条件由式（ a）和式 （b） 得 P1 、2P1s31 s221P3 s2 P2 sin s22s21P3 P2 sin2Q2 02P2 sin2P2 sinP2和 P3的关系为sin P3 2P2 sin(b)当主动力是势力时，势能也是广义坐标的函数，即V V （ q1,q2 , ,qk ）主动力与势能的关系由（ 12-27）有Fi = (?V i+ ?V i ?xi?yi?V+? zik)(i 1,2, ,n)( 14-14)虚位移为riqjxi yi? zii i+ i j + i k qj? qj?qj( i 1,2, ,n)( 14-15)将式( 14-14 ) 和( 14-15

45、) 代入( 14-10 ) 得kQ j =Fij1riqj( k ?V xi + ?V yi + ?V zi j 1? xi ?qj ?yi ?qj ?zi ? qj?V = ? qj14-16)则虚位移原理的平衡方程式( 14-12) 变为?V? = 0 ?qj( j 1,2, ,k )14-17)或者为14-18)V = 0即在势力场中，具有理想、双侧、定常约束的质点系平衡的必要与充分条件是：势能对每 个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。例题 14-6 例题 14-2 用广义坐标法，求试求平衡时重力 P 与 之间的关系。 解：此机构为 1 个自由度体系。广义坐标 。设铰链

46、 C为重力的零势能点，弹簧为原 长为弹力的零势能点，则体系的势能为12V 2Pl sin k(2lcos l )22虚位移原理的平衡条件，V = 0得V 2Pl cosk(2l cos l)( 2l sin)2Pl cos k( 2l cos l)( 2l sin ) 0 由虚位移是任意独立的，则得P kl( 2sin tan )14.3 本章小结1约束自由度广义坐标约束分为以下形式：(1) 几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。( 2)运动约束：约束限制质点或质点系运动的条件。(3) 定常约束：约束方程中不显含时间的约束。(4) 非定常约束：约束方程中显含时间的约束。( 5)非完

47、整约束： 约束方程中含有坐标对时间的导数， 而且方程不能积分成有限形式，( 6)完整约束： 约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间的导数，但能积分成有限形式。( 7)双侧约束： 约束限制物体沿某一方向的位移， 同时也限制物体沿相反方向的位移。 ( 8)单侧约束： 约束仅限制物体沿某一方向的位移， 不能限制物体沿相反方向的位移。 自由度：确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目，用 k 表示。 广义坐标：确定质点系位置的独立参量，以q1,q2, ,qk 表示质点系的广义坐标。由 n 个质点组成的质点系，受有 s 约束，自由度为 k ，则质点系第 i 个质点直角坐标 形

48、式的广义坐标为xi xi(q1,q2, ,qk ,t)yi yi(q1,q2, ,qk ,t) (i 1,2, ,n)zi zi(q1,q2, ,qk ,t)矢量形式为ri ri (q1,q2, ,qk ,t ) (i 1,2, ,n)2. 虚位移虚功理想约束虚位移 : 质点或质点系为约束所允许的无限小的位移。 虚功：力在虚位移上作的功。理想约束：约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零。即sW = F Ni r i 0i13. 虚位移原理 具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在质点系上的所 有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即nWF= Fi ri =

49、 0i1解析式为n(Fxi xi+ Fyi yi+ Fzi zi)= 0i14. 广义坐标表示的质点系平衡方程(1)一般的平衡问题广义力：nQj = ( Fxi ?i 1 ?qj n ? r= Fi ? qr ii 1 ? qj?xi + Fyi yi? yi ? zii + Fzii )zi?q j ? qjzi( j 1,2, ,k )广义力表示的平衡方程：即质点系平衡的必要与充分条件(2) 当主动力是势力时 广义力 :是：Qj = 0 系统中所有广义力都等于零。Qj?V?qj 其中，势能是广义坐标的函数，即 V V(q1,q2, ,qk )。 平衡方程：?V? qVj = 0( j 1,

50、2, ,k )或者为V = 0 即在势力场中，具有理想、双侧、定常约束的质点系平衡的必要与充分条件是：势能对每 个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。第 15 章 分析力学基础在这一章里，我们将达朗贝尔原理与虚位移原理结合起来，给出动力学普遍方程和拉 格朗日方程。它们是分析力学的基础，是解决非自由质点系动力学问题的最一般原理。15.1 动力学普遍方程设质点系由 n个质点组成，应用达朗贝尔原理，第 i 个质点的惯性力 FIi=- miai ，则 作用该质点的主动力 F i 、约束力 FNi 、惯性力 FIi 构成平衡力系。其平衡方程为Fi + FNi +FIi = 0（i 1,2

51、, ,n）质点系受到理想、双侧约束时，依据虚位移原理有n（Fi+FNi+FIi ） ri=0i1 若质点系受的理想约束，即nFNi ri= 0i1则n（Fi+FIi） ri =0（15-1）i1或者n（Fi-mia） ri =0（15-2）i1式（ 15-1）或（ 15-2）称为动力学普遍方程 ，也称为 达朗贝尔拉格朗日方程 。它表明： 具有完整、理想、双侧束的质点系在运动的任一瞬时，作用在质点系上的主动力和惯性力 在任一组虚位移中所作的元功之和为零。 它建立了质点系动力学问题的普遍规律，特别是 对于非自由质点系来说，在求解时不必考虑未知的约束力，只需研究主动力，从而大大地 简化了计算过程。式（ 15-2）的解析式为n（Fxi miaxi） xi +（Fyi miayi） yi+（Fzi miazi） zi=0（15-3）i1在应用动力学普遍方程求解时应遵循以下步骤：（1）判断系统