空气污染研究地主成分分析报告

1、实用文档 空气污染研究的主成分分析 一、提出问题 本文对于给定的某城市 42天中午12点的空气污染数据进行主成分分析，主要解决以下 几个问题： （1） 分别用样本协方差矩阵和样本相关矩阵作主成分分析，对比二者的结果差异； （2） 对原始数据的变化选取三个或者更少的主成分反映，并对所选的主成分做出解释。 二、分析问题 主成分分析旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。在实际问题研究 中，为了系统、全面地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。因为每个因素都在不同程度 上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间有一定的相关性，因而所得到的统计数据反 映的信息在一定程度上有重叠。本文中所研究

2、的问题变量较多，因此利用主成分分析法研究 本问题，减少计算量和降低分析问题的复杂性。 针对问题一，首先将数据标准化， 计算样本协方差矩阵和相关矩阵，然后分别计算样本 协方差矩阵和相关矩阵的特征值和特征向量，贡献率和累计贡献率，确定选取成分个数，列 出主成分方程并解释主成分意义。 针对问题二，考虑主成分的贡献率，只要主成分的累计贡献率达到80%就可以反映原 始数据的变化，并且对所选取的主成分做出解释。 三、模型假设 1、影响污染程度的变量只有本文中所提到的变量； 2、随机选取的42天； 3、题目中所提到的城市是平衡发展，政府对环境治理干预较小，即此城市的环境不会出现 强烈波动； 4、题目中所给的

3、污染浓度及气象参数有效，数据都准确可靠，同时不考虑人为因素、检测 仪器精确度不同等影响。 四、符号说明 符号 符号含义 aii 样本方差 X 原始变量 Y 样本主成分 Cov(Xi,Xj) 样本协方差 P 样本相关矩阵 h 样本平均值 S 协方差矩阵 P 特征向量矩阵 丸 矩阵的特征值 e 矩阵的特征向量 信息提取率 五、问题求解 5.1协方差矩阵主成分分析 设7是x= (x1, x2 ,x3 / ,Xp)T的协方差矩阵，的特征值与正交化特征向量分别为 12 -人3-人p - 0及42，,，ep，且X的第i个主成分为 Y= eXi+G2X2+U3X3 +eipXp,(i= 1,2,3，p) 根

4、据已有数据计算得样本(x1,x2,x3/ ,Xp)T的均值向量 (X1,X2,X3/ ,Xp)T为 X =(7.5 73.8333 4.4762 2.1905 10.0476 9.4048 3.0952)T 根据协方差矩阵计算公式 1 n _ (人-X)(Xi -X)T n -1 id 代入数据可求得随机变量X =(X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7)T相应的样本协方差矩阵为 - 2. 500 -2. 781 -0. 378 -0.463 -0. 585 -2. 232 0. 1711 -2. 781 300. 156 3. 909 -1.387 6. 763 30. 791 0. 62

5、4 -0. 378 3.909 1. 522 0. 674 2.315 2. 822 0. 142 -0. 463 -1. 387 0. 674 1. 182 1.088 -0. 811 0. 177 -0. 585 6.763 2. 315 1. 088 11. 364 3. 127 1. 044 -2. 232 30. 791 2. 822 -0.811 3. 127 30. 979 0. 595 - 0. 171 0.624 0. 142 0. 177 1.044 0. 595 0. 479j 利用特征值计算公式 KE -Z 0代入数据可求得 Z的特征值 入与对应单位正交化特征向 量e(

6、i =1,2,7)分别为 =303.6941 , e =(0.0099 -0.9932 -0.0150 0.0046 -0.0246 -0.1125 -0.0024)T 2 =28.3132, 佥=(0.0766 0.1163 -0.1059 0.0128 -0.1501-0.9727 - 0.0237)T 3 =11.4674, 0=(-0.0314-0.00700.18610.1320 0.9541-0.17110.0851)T ，4 =2.5494, e4 -(0.8996 -0.0005 -0.1998 -0.3467 0.1188 0.0670 0.1092)T 5 =1.4703,

7、 e5 =(0.3886 0.0016 0.7183 0.5364- 0.2074- -0.00950.0470) 6 =0.5479, e6 =(0.0386 0.0036 -0.5099 0.5912-0.0264 0.05570.6207)T 7 =0.2243, e7 =( - 0.1766 -0.0081 0.3716 -0.4743- 0.0931 -0.06520.7699) 利用第i个主成分的贡献率 k(3) 及前k个主成分的累计贡献率 kP v s v STt J (4 ) 代入数据计算得x的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率(如表 1所示)，可以看出，前 三个标准化样本的累

8、计贡献率已经达到98.6968%，故只需提取前三个主成分即可： 表1二的各标准化主成分的贡献率及累计贡献率 i 贡献率(%) 累计贝献率(% 1 304.2579 87.2948 87.2948 2 28.2761 8.1127 95.4075 3 11.4645 3.2893 98.6968 4 2.5243 0.7242 99.4210 5 1.2795 0.3671 99.7881 6 0.5287 0.1517 99.9398 7 0.2096 0.0601 100.0000 记主成分向量为丫 =(,丫2,丫3,丫4,丫5 丫6,丫7) 由丫 = PTX , P =(G,e2,e3,e

9、4,e5,e6,e7) 知x的前三个主成分分别为 第=0.0099 -0.9932x2 -0.0150X3 0.0046x4 - 0.0246x5 - 0.1125 ij ) p p 其中 仏二 E(Xi ,Yj ) CovgXj) Cov(Xi ,Xj)为 Xi ,Xj 的协方差。 代入数据计算得到样本相关矩阵为 - 1.000 -0. 101 -0. 194 -0.270 -0. 110 -0. 254 0. 156 -0. 101 1.000 0. 183 -0.074 0. 116 0. 320 0. 052 -0. 194 0. 183 1. 000 0. 502 0. 557 0.

10、 411 0. 166 P 二 -0. 270 -0. 074 0. 502 1.000 0. 297 -0. 134 0. 235 -0. 110 0. 116 0. 557 0. 297 1.000 0. 167 0. 448 -0. 254 0. 320 0. 411 -0. 134 0. 167 1. 000 0. 155 - 0. 156 0. 052 0. 166 0. 235 0.448 0. 155 1. 000 一 利用特征值计算公式卜E - P| = 0代入数据可求得 P的特征值 盯 与单位正交化特征向量 e(i =1,2,3,7)分别为 / =2.3122 * = (-0

11、.24210.2068 0.5463 0.38980.49010.3237 0.3212)T / =1.3833 e2 =(0.2768-0.5273-0.00390.4356 0.1960- 0.57090.3021)T / -1.2109 T e3 = (0.6303 0.2274 -0.1333 - 0.3974 0.2136 0.1586 0.5518) / =0.7286 q =(0.2179 0.7645 0.0557 0.2853 -0.0572 -0.4980 - 0.1798)T 5 = 0.6565 Q =(-0.5865 0.2048 -0.5931 0.0141 0.0

12、836 -0.1803 0.4179)T 6 =0.5417 Q =(0.1077 0.0305 0.0263 0.4185 -0.7628 0.2852 0.3854)T 7 =0.1668 3 =(-0.2539 -0.0115 0.5729 -0.4936 - 0.2892 - 0.4270 0.3123丁 利用第i个主成分的贡献率 ,e3 ,e4 ,e5 ,e6(7 ) 则X的前三个主成分分别为 =-0.2421X1 0.2068X2 0.5463X30.3898X4 0.4901X5 0.3237X6 0.3212X7 Y2 =0.2768X-0.5273X/ -0.0039X/ 0

13、.4356X40.1960X5 -0.5709X6 0.3021X7 丫3 -0.6303X, 0.2274X2 -0.1333X3 -0.3974X40.2136X5 0.1586X6 0.5518X7 由Y1*与的相关系数 := i 勺（10） 计算出前三个主成分与各原始变量的相关系数如表： 表4前三个主成分与各原始变量的相关系数 Y/ y2* 丫3屮 X/ -0.3681 0.3255 0.6936 X2* 0.3145 -0.6202 0.2502 X3* 0.8307 -0.0046 -0.1467 X4* 0.5927 0.5123 -0.4373 * X5 0.7452 0.23

14、05 0.2350 X6 0.4922 -0.6714 0.1745 X7 0.4884 0.3553 0.6072 由表4可看出，Yi与X3 “、X5相关度较高，Yi近似是7个变量的等权重之和，反 映了空气质量的综合指标，Yi值越大，空气质量越差。丫2”与X3”相关度较低，由相关矩 阵的主成分权重系数（即特征向量e2 ”中的各个值）知，CC对空气污染指标y2的影响较小； y3与 Xi ”、x/相关度较高，同理，由相关矩阵的主成分权重系数（即特征向量*中的 各个值）知，风速和HC对空气污染的影响较大。考虑前三个主成分的贡献率之和达到 70.3833%，因此综合考虑来 Y，丫2”和丫/来评判影响

15、空气污染的重要指标。 5.3差异性 从协方差矩阵出发，对所有变量进行主成分分析，何从相关矩阵出发做主成分分析，两 个方向得出的结果显示，原变量在第一主成分和第二主成分中的相对重要性，由于标准化而 有很大变化。从协方差矩阵的角度进行主成分分析，所得第一主成分中，权重系数分别为 -0.01、0.9922、0.941、-0.0047、0.0243、0.1124、0.0023，二重相对矩阵的角度进行主 成分分析，所得的第一主成分分析，权重系数为-0.238、0.2056、0.5511、0.3776、0.4980、 0.3246、0.3194。两者差距很大，并且在第二主成分中的两个系数相差更远。因此，由

16、协方 差矩阵和相关矩阵所得的主成分一般是不同的。 为了满足样本主成分累计贡献率达到80%以上,从相关矩阵出发做的主成分分析应保留 4个主成分，而从协方差矩阵来看，只保留 1个主成分即可。由此可知，用协方差矩阵进行 主成分分析更能简化运算。本文中，由于设计的各变量的变化范围差异不大，因此应从先关 矩阵出发求主成分比较合理。 Y/近似是7个变量的等权重之和，反映了空气质量的综合指标，丫值越大，空气质 量越差。综合考虑来 第“，丫2 ”和丫3 ”来评判影响空气污染的重要指标。 六、模型评价 模型优点： （1）用主成分分析方法能够较好地揭示污染物于污染程度之间的关系； （2）该模型所用工具较易操作； （3）主成分分析法是从定量的角度出发，充分利用全部数据当中所包含的信息。所确定 的指标权数是基于数据分析而得到的指标间的内在结构关系，具有较好的客观性； 能有效消除不相关指标的影响，从而可进行有针对性的定量化评价；得到的综合指 标之间相互独立，不仅简化了评价系统，还减少了信息的交叉和冗余。 （4）方法