立体几何线面垂直的证明

1、立体几何证明 【知识梳理】 1 直线与平面平行 判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线 和这个平面平行（ 线线平行三线面平行”） 性质定理:如果一条直线和一个五f平行，经过这条直线的平面和这个平面 相交，那么这条直线和交线平行（“线面平行=线线平行”） 2直线与平面垂直 判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么 这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直三线面垂直”） 判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这 个平面. 性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的 所有直线。 （线面垂直三线线垂直）

2、性质2:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 三。平面与平面 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 1.平面与平面平行 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行.（“线面平行亠面面平行”） 2两个平面垂直 判定定理：如果一条直线与一个平面垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这 个平面.（“线面垂直三面面垂直”） 忤质疋理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂 直于另一个平面.（面面垂直=线面垂直） 知识点一 【例题精讲】 1.在棱长为2的正方体ABCD-A/CD中,E、F分别为DD. DB的中点。 (1)求证：EF/平面A

3、BCD ； (2)求证： 平面BDG丄B】C EF丄C; (3)求三棱锥BEFC的体积V. 2如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形, 84 丄 AD, CD 丄 AD, CD = 2 AB. P4 丄底面 AB CD、E 为 PC 的中点，PA=AD=AB=1. (1)证明：EB/平面PAD ; (2) 证明：BE丄平面PDC , (3) 求三棱锥B-PDC的体积K 3、如图所示，在四棱锥BCD中，PA丄底面A BCD, AB丄AD, AC 丄CD,Z ABC=60。，PA=AB= B C , E 是 PC 的中点，证明： (1) AE丄CD ( 2 ) PD丄平面ABE 4、如图，三棱

4、柱 ABC-AiBiCi 中，CA=CB, A B =A A hZBA A 1= 6 0 ( I )证明: 1、如图，菱形ABCD与等边APAD所在的平面相互垂直,AD=2,ZDAB=6 0. (I )证明:AD丄PB; ( II )求三棱锥CPAB的高. 2如图1-4所示,呂和厶BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2yZA BC=ZDBC= 1 2 0, E,F,G分别为AC,DC, AD的中点.求证:EF丄平面 BCG； 3 如图11所示三棱柱ABCAiBiCi中，点4i在平面ABC内的射影D在AC上, ZACB= 9 0 , BC= 1 , AC=CCj=2. (1)证明：ACi

5、 AB- 4、如图，在三棱台 ABC - DEF 中，平而 BCFE丄平而 ABC,ZACB=90.BE=EF= F C=h BC=2,AC=3(【)求证：BF丄平面ACFD： (1【)求直线BD与平而ACFD所成角的余弦值. 5、三棱锥 P-ABC 中，ZBAC= 9 0, PA=PB=PC= BC=2 A B=2, (1 )求证：而 PBC丄 而ABC 6已知四棱锥PABCD中，底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形，且平面 PDC丄底面ABCD, E为PC的中点.(1 )求证:PA平面EDB ； (2)求证:平面EDB丄平面PB C ； 7、如图，在四棱锥P-ABC D中，底面ABCD

6、为矩形，平面PAB丄平面ABCD, PA丄PB,B P=BC,E为PC的中点.(1)求证：AP平面BDE； 2求证BE 垂直平面PAC 8、将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥M - ABCD(如图二)，若 在四棱锥MABCD中WMA=V3(1)求证：AC丄MD： (2)求四棱锥M - AB CD的体积. E图二 作业 1、如图1,菱形ABCD的边长为12,ZBA D=6 0,AC交BD于点O将菱形AB CD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD,点M, N分别是棱BC, AD的中 点，且DM=6V2 (I )求证：OD丄平面ABC； 2、如图，在斜三棱柱ABCAi B C冲，O是A

7、C的中点AO丄平面ABC,ZBCA=90, AAl=AC=BC. ( I )求证：AjB 丄ACm 3、如图所示，四棱锥P - A BCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD 是ZA BC = 60的菱形,M为PC的中点,PC=V6(I )求证:PC丄AD; 4、如图，四棱锥 PABCD 中,API平面PCD, ADBC, AB=BC=1aD,E, 2 F分别为线段AD, PC的中点. (1 )求证： (II)求证：BE丄平面PAC. 5、如图，四棱锥s-ABCD中,ABCD, BC丄CD,侧而SAB为等边三角形AB=B C=2, CD=LSD=7.(1)证明：CD 丄 SD； 6

8、如图，四棱锥S - ABC D中，ZiABI)是正三角形,CB=CD, SC丄BD (【)求证：SB=SD： ( II )若ZBCD=1 2 0。，M为棱SA的中点，求证：DM 平而SBC. 7、如图,在矩形A3CD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点， 7 AB = AE = -AD = 4,现将AABE沿BE边折至APBE位置，且平面丄平面 3 BCDE. (1)求证:平面PBE丄平面PEF； D 8、如图5 在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱齐 且ZDAB = 60, PA = PZ) = x/2 pB=2, oE,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD丄平面DEF; 9、在如图所示的多面体ABCDEF中，ABCD为直角梯形，ABIICD、ZDAB = 90, 四边形ADEF为等腰梯形，EF/AD,已知AE丄EC, AB = AF = EF = 2, AD = CD = 4. (I)求证：平面ABCD丄平面AQEF 10 如图，在底面为