离散型l连续型概率分布综述

1、离散型分布1、 两点分布： binom（1， p ）意义： 一次实验中有二个事件：成功（记 1）与失败（记 0），出现的 概率分别为 p和1 p ，则一次试验（称为贝努利试验）成功的次数服 从一个参数为 p 的贝努利试验。例子（投一次硬币）分布律：f(x|p) px(1 p)1 x,x 0,1(0 p 1)数字特征：E(X) p,Var(X) p(1 p)2、 二项分布： binom（n， p ）意义：贝努利试验独立重复 n 次，则试验成功的次数服从一个参数为（n， p ）的二项分布。（投 n 次硬币）分布律：f (x | p) n px (1 p)n x, x 0,1, , n.(0 p 1

2、) p数字特征：E(X) np ,Var(X) np(1 p)3、 多项分布： multinon（n, p1, , pk ）意义：一试验中有 k个时间 Ai,i 1,2, ,k ，且PA（ ）i p0（i p i,1p）1iik 1将此试验独立地重复 n 次，则时间 A1,A2, , Ak出现的次数服从一个参数 （n,p） 的多项式分布，其中 P （p1,p2, , pk ） （仍骰子问题） 分布律：kf (x1, ,xk |n, p)px1 px2 pxk,0 xi n, xi ni1数字特征：E(X) np,Var(X) np(1 p),Cov(X i ,X j )npi pj4、负二项分

3、布： nbinom(k, p)意义：贝努利试验独立地重复进行， 一直到出现 k 次成功时停止试验，则试验失败的次数服从一个参数 (k, p) 的负二项分布。分布律：f(x|k,p)(kk) (xx) pk(1 p)x,x 0,1,数字特征：E(X ) k(1 p) p, V ar( Xk )(21 p ) p5、几何分布：geom( p)意义：伯努利试验独立地重复进行，一直到出现有成功出现时停止试验，则试验失败的次数服从一个参数p 的集合分布。分布律：f(x| p) p(1 p)x,x 0,1,2,数字特征：6、E(X) (1 p) ,Var(X)p超几何分布： hyper (N , M ,n

4、)(1 p)2p2意义： 从装有 N 个白球和 M 个黑球的罐子中不放回地取出 k 其中k N M 则其中的白球服从超几何分布。分布律：NMx k xf (x|N,M ,k) N M ,x 0,1,2, ,minN,kk数字特征：E(X) (kN) , Var(X) (N M k) kN (1 N )N M N M 1 N M M N7、 泊松分布： pois ( ) 意义：单位时间，单位长度，单位面积，单位体积中发生某一事件的 次数常可以使用泊松分布来刻画， 例如某高速公路上一年内交通事故 和某办公室一天中收到的电话次数可以认为近似服从泊松分布。 分布律：xf (x| ) e , x 0,1

5、,2, . x!数字特征：E (X) ,Var(X)二、 连续分布的密度函数1、 贝塔分布 Beta(a, b)意义：在贝叶斯分析中， 贝塔分布常常作为二项分布参数的共轭先验 分布。密度函数：f(x|a,b) 1 xa 1(1 x)b 1,0 x 1(a,b 0)B(a,b)数字特征：E(X)aab,Var(X)ab(a b)2 (a b 1)当(a 1,b 1)时的分布为 0,1 上的均匀分布2、 均匀分布： unif ( a,b)密度函数：数字特征：意义： 区间 a, b上随机投点对应的坐标服从 a,b上的均匀分布。1f (x | a,b) , a x bbaa bb2 a2E(X) a

6、b ,Var(X)b a2 123、 柯西分布：cauchy(a,b)意义： 柯西分布(又称为 Lorentz 分布)用于描述共振行为。以一随机的角度投向 X 轴的水平距离服从柯西分布密度函数：f (x | a,b)1 ,0 x 1(a,b 0)b1 xba 数字特征 ：均值和方差均不存在。4、 威布尔分布： weibull ( a,b) 意义：最为常见的寿命分布，用来刻画滚珠轴承、电子元器件等产品 的寿命。密度函数：bf (x| a,b) abxb 1eax ,x 0(a,b 0)数字特征：1 21 2(1 1) (1 2) (1 1) 2 E(X) 1 b ,Var(X) 2b2baba

7、bab特例： b =1 时为指数分布。5、 指数分布： exp( )意义： 泊松过程的等待时间服从指数分布。形状参数 b 1的 weibull 分布为指数分布 。密度函数：f (x|a,b) e x, x 0( 0)数字特征： E(X) 1 , Var(X) 126、瑞利( Rayleigh )分布： rayl (b)意义： 瑞利( Rayleigh )分布为 weibull 分布的又一个特例：它是参数 为 (1/ 2b2 ),2) 的 weibull 分布。密度函数：2 xx f (x |b) 2 exp(2 )b 22b 2数字特征：42E(X) 2b,Var(X) 4 2 b27、正态分

8、布 / 高斯分布： norm( , 2 )意义：高斯分布式概率论与数理统计中最重要的一个分布。 中心极限 定理表明， 一个变量如果是由大量微小的、 独立的随机因素的叠加结 果，那么这个变量一定是正态变量。 因此许多随机变量可以用高斯分 布表述或近似描述。密度函数：1( x2 2)f ( x | , ) e 2 , x ,( , 0)数字特征： E(X) ,Var(X) 28、 对数正态分布： lnorm( , 2 )意义： ln(X) 服从参数为 ( , 2)的正态分布，则 X服从参数为 ( , 2)的 对数正态分布。密度函数：(ln( x) )21f (x| , ) 1 e2x22 , x

9、0,( , 0)数字特征： E(X) exp( 1 2), Var(X) e (e 1)e229、逆正态分布： inorm ( , )意义：正态随机变量的倒数服从的分布。密度函数：( x )2 x3e 2 x ,( , 0)f (x| , )数字特征：E(X),Var(X)10、伽马分布： gamma(a, b)意义： k 个相互独立的参数为1/ b的指数分布的和服从 (k,b)的伽马分布。密度函数：f ( x | a, b)1(a)ba xa1e x/b, x 0,(a 0,b 0)数字特征： E(X) ab,Var(X) ab2特例： a 1 时的分布为指数分布；a 2n,b 2 的分布为

10、卡方分布。11、伽马分布： igamma ( a, b)意义：伽马分布随机变量的倒数服从逆伽马分布。密度函数：f (x|a,b) 1 a x (a1)e 1/bx,x 0,(a 0,b 0) (a)ba数字特征 ：11E(X) (a 1),Var(X) 2 2 (a 2) ( a 1)b(a 1) ( a 2)b特例： a n ,b 2的分布为逆卡方分布。212、 卡方( 2 )分布： chisq ( n)意义： n 个独立正态随机变量的平方和服从自由度为 n 的卡方分布。 密度函数：n/2 x/2f (x |n)nx/2 e, x 02n/2 (n/ 2)数字特征：E (X) n,Var(X

11、) 2n(n 2)13、 逆卡方分布： ichisq (n)意义：卡方分布随机变量的倒数服从逆卡方分布。 密度函数：(n/2 1) 1/2 x xef (x |n)n/2 , x 02n/2 (n / 2)数字特征：12E(X) ( n 2),Var(X) 2 (n 4) n 2 (n 2)2 (n 4)14、 t 分布： t( n)意义:随机变量 X 与Y独立，X 服从标准正态分布， Y服从自由度为 n 的卡方分布，则 T X 服从自由度为 n的 t分布。Y/n密度函数：2(1f (x | n)nB(21,n2)x ) ( n 1)/2 n数字特征：E(X) 0, Var(X) n (n 2

12、)( n 2)15、 F 分布： f (n, m)意义： 随机变量 X 与Y独立， X 服从自由度为 n的卡方分布， Y 服从 自由度为 m的卡方分布，则 T X / n服从自由度为 (n,m)的t分布。Y/m密度函数：n n /2 n 2( ) x /2nxf ( x| n,m)m (1 nx ) (n m)/2B(n ,m)mB(2,2)数字特征 ：2m 2m (n m 2)E(X) (m 2),Var(X) (n 2)m 2 n(m 2)16、 log istic 分布： log is(a,b) 意义：生态学中的增长模型常用 log istic 分布来刻画，它也常用于 log istic

13、 回归中。密度函数：f (x |a,b) 1 e (x a)/ b 1数字特征：22E (X) a,Var(X)b 2317、 Dirichlet 分布： Dirichlet ( 1, , k ) 意义：在贝叶斯分析中作为多项分布参数的共轭分布。 Dirichlet 分布 的密度函数表示在已知 k 个竞争事件已经出现了 i 1次条件下，他们 出现的概率为 xi ,i 1,2, ,k 的信念。密度函数：f (x1, ,xk | )1B( )ki1kxi i 1,xi 0, xi 1( i 0), B( )i1k( ik 1 i )数字特征：E(X) i ,Var(X)i(2 0 i) ,Cov(

14、X i ,X j) 2 i 0 , 0ik1 i0 0 ( 0 1) 0 ( 0 1) i 118、 Pareto 分布： pd (a,b)意义：财富的分配的规则(称为 Pareto 规则)是大部分的财富( 80%)被少数( 20%)的人拥有，这可以较好地用 Pareto 分布来刻画。密度函数：f (x|a,b) ab ax axb1, x a(b 0)a2b数字特征：E(X) bab1(b 1),Var(X) (b 1)2(b 2) (b 2)19、非中心分布 .与前面卡方分布， t 分布和 F 分布相对应还有三个非中心的分布：非 中 心 的 卡 方 分 布 ： chisq ( n, ) ， n 个 独 立 正 态 随 机 变 量N( i, 2),i 1,2, ,n 的 平 方 服 从 自 由 度 为 n