等差数列教学设计

1、等差数列 教学设计教学内容分析本章是在学生学习了函数、基本初等函数、三角函数之后，又来研究学习的一类特殊 的函数 数列，因此，可类比函数的研究方法来学习数列的有关知识.数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用 .数 列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分,而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法 通项公式和递推公式的基础上 ,对数列的知识进一步深入和拓广 .同时 等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想 ”、“类比 ”的思想方法 .课标要求 :(1) 理解等差数列的概念 ,掌握等差数列的通项公式 ;(2) 了解等差数列与一次函数的关系 ;(

2、3) 能在具体的问题情境中 ,识别数列的等差关系 ,会用等差数列的有关知识解决相应的问题.学情分析1. 学生已经学习了函数知识 ,能以函数的观点认识等差数列 ,但要以函数观 点解题还有些困难 .2. 经过前面的学习 ,大部分学生有了一定的知识经验 ,具备了一定的抽象思 维能力和演绎推理能力 ,但还有一部分学生的基础较弱 ,学习数学的兴趣不浓 ,还需从生活实 例出发 ,注意引导、启发以符合学生的心理发展特点,促进思维能力的进一步发展 .设计思想1.教法本节课主要采用自主探究式教学方法 充分利用现实情景， 尽可能地增加教学过程的趣味性、 实践性在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分

3、析、探索，在探索过 程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的2.学法 引导学生从实际问题概括出数组特征并抽象出等差数列的概念,推导出等差数列的通项公式 .在引导分析时 ,留出一定的时间让学生去联想、 探索 ,鼓励学生大胆质疑 ,把思路方法和要解决的问题弄清.教学目标1. 知识目标： 理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式 .2. 能力目标：培养学生观察、 归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深 认识； 通过概念的引入与通项公式的推导， 培养学生分析探索能力， 增强运用公式解决实际 问题的能力。3. 情感目标 :通过对等差数列的研究 ,使学

4、生明确等差数列与一般数列的内在联系,渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点 ,加强理论联系实际 ,激发学生的学习兴趣 .教学重点 等差数列的概念及其通项公式的推导和应用教学难点 “等差 ”的理解及通项公式的含义 ,理解等差数列是一种函数模型 教学过程一.等差数列的概念教学（一）创设问题情境在现实生活中 ,我们会遇到下面的特殊数列 . 我们经常这样数数 ,从 0开始,每隔 5数一次 ,可以得到数列 :0,5,.该项目共设置了 7 个级别 ,其中较轻的 4定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼2.5m ，最低降至 5m.那么从开始放水算2000 年悉尼奥运会，女子举重被正式列为比赛项目 个级别体重组成数列

5、（单位:kg）:48 ，53，58，63; 水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境， 如果一个水库的水位 18m，自然放水每天水位下降起，到可以进行清理工作的那天， 水库每天的水位组成数列 （单位： m）:18，15.5，13，105，8，5 5;时间年初本金年末本利和我国现行储蓄制度规定银行支付存款利 息的方式为单利，即不把利息加入本金 计算下一期的利息 .按照单利计算本利 和的公式是： 本利和 =本金 （1+ 利率 存期） 例如，按活期存入 10000 元，年利率是 0.72% ， 那么按照单利， 5 年内各年末本利和分别是： 各年末本利和（单位：元） 10072，10144，102

6、16， 10288， 10360（元）（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360从上面几个例中，我们得到四个数列 :（1）0 5 10 15 20 ; （2）48 53 58 63;（3）18 15.5 13 10.5 8 5.5; （4）10072 10144 10216 10288 10360问题 1:观察这几个数列 ,能不能和研究实数一样 ,研究它们项与项之间和关系、运算和性质?问题 2:你发现了这四个数列的项与项之间存在的共同特征了吗?能否用语言来描述它 ?问题 3:能否用数学符号一刻画这一特

7、征 ?师生互动： 教师出示引例，学生发表各自的意见,并提出问题（ 2）学生观察、回答教师引导学生总结特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）我 们给具有这种特征的数列一个名字 等差数列设计意图： 从实例引入 ,实质是给出了等差数列的现实背景 ,目的是让学生感受到等差数列是 现实生活中大量存在的数学模型 .通过分析 ,由特殊到一般， 激发学生学习探究知识的自主性， 培养学生的归纳能力（二）等差数列的定义1等差数列的定义一般地， 如果一个数列从第二项起， 每一项与它前一项的差等于同一个常数， 这个数列就叫 做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d表”示） .以

8、上四组等差数列的公差依次是 :5,5,-2.5,72.等差数列的例子，在生活中有很多，谁能再举几个？2.等差中项提问 :若在 a 与 b 之间插入一个数 A, 使 a,A,b 成等差数列 ,那么 A 应满足什么每件 ?由三个数 a,A,b 组成的等差数列可能看成最简单的等差数列.这时 ,A 叫做 a 与 b 的等差中项 师生互动 :教师板书定义 学生认真阅读课本相关概念 ,找出关键字 ,解读定义 . 由学生根据等 差数列的定义进行回答 .设计意图 :通过阅读和找关键字解读定义 ,提高学生的阅读水平和概括能力 ,学会抓重点 .让学 生参与到知识的形成过程中 ,体会学习数学的成就感 .(三) 尝试

9、应用 你能判断下列数列是否为等差数列吗？(1)1 ， 2， 4，6，8，10，12，；(2)0 ，1， 2，3，4，5， 6，；(3)3 ， 3， 3，3，3，3， 3，；(4)a,a,a,a,a,a, ；(5) 8，6，4，0，2，4，； (6)3 ，0， 3， 6， 9， 你能说出上述等差数列中的公差吗？师生互动 :教师出示题目 ,学生思考回答教师订正并强调求公差应注意的问题注意：求公差 d 一定要用后项减前项，而不能用前项减后项特别地，数列3，3，3，3，3，3，3， 及 a,a,a,a,a, 也是等差数列，它们的公差为 0公差为 0 的数列叫做常数列 设计意图 :强化学生对等差数列 “

10、等差 ”特征的理解，把握和应用 .二等差数列通项公式的教学(一) 等差数列的通项公式 对于以上的等差数列，我们能否用通项公式将它们表示出来？(1)通过研究数列 的第 n项与序号 n 之间的关系去写出数列的通项公式 . 问题 :能否写出上面几个等差数列的通项公式 ?(2) 如果已知一个等差数列的首项 和公差 d,它的通项公式是什么 ?师生互动 :引导学生根据等差数列的定义进行归纳:即： ; 即： ;即： ; 至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结 论中的作用 .首项是 ，公差是 d 的等差数列 的通项公式可以表示为.方法主要有：归纳法，累加法 ,此外还有迭代法等 .此

11、处由归纳得出的公式只是一个猜想， 严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里， 我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？ （然后学生在教师的引导下一起探索另外的推导方法） .设计意图 :引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力学生在分组合作探究过 程中，可能会找到多种不同的解决办法， 教师要逐一点评， 并及时肯定、 赞扬学生善于动脑、 勇于创新的品质，激发学生的创造意识鼓励学生自主解答，培养学生运算能力（二）通项公式的应用根据这个通项公式，只要已知首项 a1 和公差 d，便可求得等差数列的任意项等差数列的通项公式中共有几个变量？师生互动 :留给学生自主思考的时间，并鼓励其发表

12、各自的意见.事实上，等差数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个（三）应用巩固例 1（1） 求等差数列 8，5， 2， 的通项公式和第 20 项;（2）-401是不是等差数列 -5,-9,-13, 的项?如果是,是第几项 ?师生互动 :教师引导学生分析本题，已知什么 ?求什么 ?怎么求 ?学生思考、说出已知、所求， 代入通项公式 .强调 :通项公式是用含有 n 的式子表示.学生尝试解答后 ,师生共同板书解题过程设计意图 :通过例题 ,强化学生对等差数列通项公式的理解,强化学生学以致用的意识 .并让学生充分的参与课堂 .例 2:某市出租车的计价标准为 1.2元/km ，起步价为

13、 10 元，即最初的 4km（不含 4km）计费 为 10 元，如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？师生互动 :教师引导、点拨 ,帮助学生建立等差数列模型 ,学生解答多媒体出示解题过程学 生核对、订正教师强调解题过程要规范、严谨设计意图 :学以致用 ,将所学知识应用到具体生活中去 ,加深概念的理解 . 反馈练习 1：1.（1）求等差数列 3，7，11，的第 4，7，10 项2）求等差数列 10，8，6，的第 20 项2. 在等差数列 an中：（ 1）d =1，= 8，求；（2）= 12，= 27，求 d师生互动 :学生练习 ,并请一学

14、生在黑板上板演，教师巡视指导，师生共同订正设计意图 :由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力例 3.已知数列的通项公式为，其中 p,q是常数， 那么这个数列一定是等差数列 吗？如果是，其首项与公差是什么？师生互动 :教师出示例题 ,学生同桌之间合作探究 ,学生分析解题思路 ,分组讨论 ,让各组学生代 表分别发表自己的见解 .教师出示答案，订正设计意图 :培养学生分析问题的能力 ,在小组讨论中提高学生的组织与归纳的能力,进一步培养团结协作的精神反馈练习 2：1.已知等差数列 2.已知等差数列 中，= 6，= 16 ，求和公差 d.= 20 ，= -1 ，求师生互动 :练习由学生独立完

15、成并回答各题结果，统一订正答案设计意图 :鼓励学生自主解答，培养学生运算能力课堂小结，提炼升华通过本节课的学习、 研讨， 大家来谈一谈自己体会最深刻的是什么？可以从以下几个方面总 结：1.知识技能方面；2.过程与方法方面；3. 情感方面 .设计意图 :由学生总结 ,深化知识理解 ,完善认知结构 ,领悟思想方法 , 提高认知能力 ,培养学生 自主获取知识的能力和良好的学习习惯 .作业设计1. 教材 P40，习题 A 第 1（3），2，4题, 2. 变式：若数列 是等差数列 ,若（k 为常数） ,试证明：数列 是等差数列. 设计意图 :巩固拓展变式题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问 题同时强化了等差数列的概念。板书设计 :课题:2.2 等差数列一