离散系统的Z域分析

1、v1.0 可编辑可修改实验名：离散系统的 Z 域分析一、实验目的1、掌握离散序列 z 变换的计算方法。2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分 析系统的因果性和稳定性。3、掌握利用 MATLAB进行 z 反变换的计算方法。二、实验原理与计算方法1、z 变换离散序列 x( n)的z变换定义为： X(Z) x(n)z n 。 n在 MATLAB中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。其命令格式为： syms n;f=(1/2)n+(1/3)n;ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件 一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽

2、样响应h(n) 来表示其输入与输出关系，即y(n)= x( n)* h(n) 对该式两边取 z变换，得：Y(z)= X(z) H(z)则： H (z) Y(z)X(z)将 H(z) 定义为系统函数，它是单位抽样响应h(n) 的 z 变换，即H (z) Zh(n) h(n)z nn对于线性移不变系统，若 n0时， h( n)=0 ，则系统为因果系统；若|h(n) | ，则n系统稳定。由于 h( n)为因果序列，所以 H(z) 的收敛域为收敛圆外部区域，因此H( z)的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。因为 H (z)h(n)z n ，若 z=1时 H( z)收敛，n即 H(z) |z 1

3、 |h(n) | ，则系统稳定，即 H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。n因此因果稳定系统应满足的条件为： | z| ,1 ，即系统函数 H( z)的所有极点全部落在 z 平面的单位圆之内。3、MATLAB中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法MATLAB中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots () 来实现，调用该函数的命令格式为： p=roots(A) 。其中 A为待求根多项式的系数构成的行向量， 返回向量 p 是包v1.0 可编辑可修改含该多项式所有根位置的列向量。如：求多项式 A(z) z2 3 z 1 的根的 MATLAB命令为： 48A=1 3/4 1/8;p=

4、roots(A)运行结果为：p=也可以用 z,p,k=tf2zp(B,A) 函数求得。其中 z 为由系统的零点构成的向量， p 为由系 统的极点构成的向量， k 表示系统的增益； B、A 分别为系统函数中分子分母多项式的系数向 量。离散系统的系统函数可能有两种形式，列，如 H 1(z)z3 2zz4 3z3 2z2 2z 1一种是分子和分母多项式均按另一种是分子分母多项式均按z 的正次幂降幂排z 的负次幂升幂排列，如H 2(z)在构造多项式系数向量时，分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，12z4缺项用 0 补齐。对于 H1( z)其分子多项式的系数向量应为：B=0 1 0 2 0 ；分母

5、多项式的系数向量应为： A=1 3 2 2 1。对于 H2( z)其分子多项式的系数向量应为： B=1 1 0 ；分母多项式的系数向量应为： A=1 1/2 1/4 。绘制系统函数的零极点图可由 MATLAB中的 zplane 函数实现。该函数的调用方法为： zplane(B,A) 或者 zplane(z,p,k) ，其中 B，A，z， p，k 的含义与 tf2zp 函数相同。若调用 zplane(B,A) 绘图，则首先将系统函数中分子分母多项式变换成按 z 的正次幂降幂排列的系 数向量，再求零极点。z 反变换可由部分分式展开法求得。由于指数序列4、z 反变换的计算方法anu( n) 的 z

6、变换为 z ，因此求反 zazX (z)A1A2z z z1 z z2其中 Ai(z zi) Xz(z)zz z (i 1,2, k) 称为有理函数变换时，通常对 X(z) 进行展开：z zkX (z) 的留数。 z分两种情况进行讨论：1)X( z)的所有极点均为单实极点此时 X (z) A1zA2 zz z1 z z2Ak z ，则 X( z) 的 z 反变换为： z zkv1.0 可编辑可修改kx(n) A0Ai (zi )i1(2)X( z)有共轭极点 设 X(z) 有一对共轭极点 p1,2e j ，则X(z)r1zr2zA1 zz p1 z p2 z z1Ak z ，zzk其中留数的计

7、算方法与单极点相同，即(z p1)X(zz) z p1 |r1|ej ，r2=r1因此，只要求出 X (z)部分分式展开的系数(留数) ，就可以直接求出 X(z)的 z反变换 zx( n) 。在 MATLAB中可利用函数 residue() 求解。令 B和 A分别是 X(z) 的分子和分母多项 z式构成的系数向量，则函数 r,p,k=residue (B,A)将产生三个向量 r 、p、 k，其中 r 为包含 X (z) 部分分式展开系数 r i( i =1,2, , N) 的列向量， p 为包含 X (z) 所有极点的行向量， k zz为包含 X(z) 部分分式展开的多项式项的系数cj(j =

8、1,2, , M- N)的列向量，若 MN，则 kz为空阵。用 residue() 函数求出 X (z) 部分分式展开的系数后，便可根据其极点位置分布情况直 z相应接求出 X( z)的反变换 x(n) 。2如：已知 X (z)2 z ，求其z的部分分式展开的系数和极点， z2 3z 2 3z 2首先利用 residue() 函数求出 X (z) z的 MATLAB命令为：z 反变换 x( n) 。B=0 1 0;A=1 3 2; r,p,k=residue (B,A) 运行结果为：-1-2-1 由以上结果可得：X (z)2z21 ；即 X(z) 只有两个单极点，其 z1z 反变换为：x(n)

9、2( 2)n ( 1)n u(n)。v1.0 可编辑可修改已知 X (z)2 zz2z2 2z，求其 z 反变换 x( n) 。1利用 residue() 函数求出 X (z)zz1z3 2z2 2z 1的部分分式展开的系数和极点，得：B=0 0 1 1;A=1 -2 2 -1; r,p,k=residue (B,A) k = 可见， X (z) 包含一对共轭极点，用 abs() 和 angle() 函数即可求出共轭极点的模和相位， z相应命令为：p1=abs(p)p1 = a1=angle(p)/pia1 =0e 3 ，则 X (z)即共轭极点为：p1,2x(n) 2cosn32 u(n)三

10、、实验内容(1)求下列序列的z 变换：- nn2-nu(n) ；-(1/2) n2-nu(n)的 Z变换程序如下：zz2z ，其 z 反变换为z1j3z e 3j3 z e 3u(n) ； (1/2)nnn+(1/3) nu(n)v1.0 可编辑可修改syms n;f=(1./2)(n)ztrans(f)结果为：f =(1/2)nans =2*z/(2*z-1)-(1/2) n u(n) 的 Z变换程序为： syms n;f=-(1./2)(n)ztrans(f)结果为：-(1/2)nans =-2*z/(2*z-1)(1/2) n+(1/3) n u ( n)因为是非因果系统，所以Z(1/2

11、) n+(1/3) n u (n)=2 n 3 nu nn3z3z(2)已知两个离散因果系统的系统函数分别为：2zzH1(z)3 2； H2(z)z 2z 4z 12z 1 z 2 z 31 z 1 12z 2分别求出各系统的零极点，绘制零极点图，分析系统的稳定性；求出各系统单位抽样响应。 程序为：A=1 2 -4 1B=0 1 1 0z,p,k=tf2zp(B,A)r,p,k=residue (B,A)%求零极点%部分分式展开的系数和极点zplane(B,A)零极点为 ：v1.0 可编辑可修改z =0-1 p =零极图为：稳定性：由上图看出收敛域不包括单位圆，即不是稳定系统 系统抽样响应：由下得r =H1(z)0.49020.66670.1569z 3.3028z1z 0.3028系统抽样响应为：h(n)=h(n) 0.4902 ( 3.3028)n 0.6667 0.1569 0.3028 nu(n)v1.0 可编辑可修改 程序为：A=1 1 1/2 0B=0 2 -1 1z,p,k=tf2zp(B,A)%求零极点r,p,k=residue (B,A)%部分分式展开的系数和极点p1=abs(p)a1=angle(p)/pizplane(B,A)零极点为 ：z =+k