积分中值定理的叙述方式及其应用

1、第九讲 积分第一中值定理的叙述方式及其应用积分第一中值定理无论在理论上或应用上都在积分学中有重要意义。深 入掌握定理的条件、结论及其证明方法，并用它来解决问题是十分重要的。 积分第一中值定理的叙述方式不同，应用它解决问题的方便程度也有所不 同。目前一般的数学分析教材中，积分第一中值定理有如下的叙述方 式：定理 1 设 f (x) Ca,b,g(x) Ra,b，且 g(x)在a,b不变号，则bba,b, f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx 。aa关于定理 1 的叙述方式及相应的证明，有如华东师大、吉林大学、刘玉 琏等编的数学分析教科书。定理 1中的结论， a,b可以改为 (a,b)

2、 。将闭区间改为开区间， 有时应用起来更方便。定理 2 设 f (x) Ca,b,g(x) Ra,b，且 g(x)在a,b不变号，则bb(a, b), f ( x) g (x)dx f( ) g(x)dx。aa证明：因为 f ( x) C a, b所, 以 f (x) 在 a,b 上有最大值 M，最小值 m，设 f (x1) m,f (x2) M,x1,x2 a,b 。先证明存在常数m,M 有bbf (x)g(x)dxg(x)dx。(9。 1)aab不妨设 g(x) 0,x a,b ，则 g(x)dx 0，且abbbmg(x) f (x)g(x) Mg(x) m g(x)dxf (x)g(x)

3、dx M g( x)dxaaa若 g(x)dx 0 f (x)g(x)dx 0，则 m与 M 之间的任何数都可为 。 aaf (x)g(x)dxf (x)g(x)dxM ，取 a b g(x)dx a，则若 g( x)dx 0 ，则 m a ba g(x)dxabbm M ， f (x)g(x)dxg(x)dx。aabg(x)dx 0 。ab现证定理 2，若 g(x)dx 0，定理 2 显然成立。今设a1) 若( 9。1)式中的 满足： m M ，由于 f (x) Ca,b，所以存在 x1,x2 a,b， f(x1) m, f(x2) M ，不妨设x1 x2，因为 f (x) 在 a, b连续

4、，从而 x1, x2 , f ( ) ,x1,x2(a, b) ，有bbf (x)g(x)dx f( ) g(x)dx 。aa(2) 若 m M 至少有一个等号成立，不妨设 m，则F(x) f(x) 0,x a,b。若 (a,b), f( ) 则定理已成立。假如， x (a,b), f(x) ，则将导致矛盾。事实上，因为已有bf (x)g(x)dxa b 和 F(x) f (x) 0,x (a,b) 。 g(x)dxa今将闭区间 a ,b 作n等分，从左到右记各小区间为1, 2, , n ，并记 Ik g(x)dx (k 1,2, ,n) 。k又记 a,b的长度为 ，则适当取 n ，总可使积分

5、bnI g(x)dx 0 。(9。 2)anb因若对一切 n 均有 I 0 g(x)dx lim I 0 矛盾。又因为aI I2 I 3In 1，(9。3)这里， Ik 0, (k 2, 3, n, ，1(9。4)由(9。2)、(9。3)、( 9。4)知至少存在一个子区间k ，使其相应积分 Ik 0，注意到闭区间 k a k0 1,a k0 上的连续函数0 n nF(x) f(x) 0,x k0，记 f0 mx in f (x) ，则 f0 0，从而bbb0 f (x)g(x)dx g(x)dx f(x) g( x)dxaaan f (x) g(x)dx f (x) g( x)dxk 1 k

6、k0f0 g(x)dx f0 I k0 0k0bb矛盾。故 (a,b), f (x)g(x)dx f( ) g( x)dx 。 aa证明某些命题，应用定理 2 的结论比应用定理财的结论更为简单。例 1(第八讲第 6题)设 f (t)在( , ) 连续，证明： 1nxnlim f(1x x)dx f(0)。武汉大学 2003 年试卷)证明：因为 f(t) 在( , )连续，对任意的自然数 nnn xx t C0,1, x 0,1 t 0,1 f ( ) C0,1 ，1 x 1 x1nxnf( x )dx f (0)f ( ) f (0)0 1 x10( 1),因为，(0,1)(0,1), lim

7、0,由 f(t) 的连续性，n1nnlim f (1 ) f (0)，所以，n所以，1n10f(1xnx)dx f (0) 。1nxnlim f(1x x)dx f(0)。例 2证明：证明：方法2lim sinn xdx 001：用定理 1 证明。0, 0 ,0, 0,222 2,2，从而有22sinnxdxsinnxdxsinnxdx sin002() sinn xdx(2 ) 2 sin xdxN, n N, f (1 ) f(0) ，从而有0, ，所以，2，从而有，sinn1,limsin n 0 N, n N, sinn2sinn0xdx2 ，所以，2lim sinn xdx 0 。 n02：用定理 2 证明。方法由定理睬，知),( sinn 1)。2sinnxdx sinn dxsinn0(n0例 32证明不等式201 1sin2 x2dx 。2证明：2 1 11 dx 101 1sin2 x1 1sin2(0,2)因为，1 1 sin222 ，所以，120dx 。1 2 21 sin x2习题 91