立体几何共线共点共面问题

1、立体几何中的共点、共线、共面问题一、共线问题例 1. 若ABC 所在的平面和 A1B1C1所在平面相交，并且直线 AA1、BB 1、CC1相 交于一点 O ，求证：(1)AB 和 A1B1、BC 和 B1C1、AC 和 A 1 C 1分别在同一平面内；(2)如果 AB 和 A1B 1、BC 和 B 1C1、AC 和 A1C1 分别相交， 那么交点在同一直线上 (如 图).例 2.点 P、Q 、R 分别在三棱锥 A-BCD 的三条侧棱上，且PQBCX,QR CDZ,PRBD Y.求证：X 、 Y、Z 三点共线 .例 3. 已知ABC 三边所在直线分别与平面交于P、Q 、R 三点，求证：P、Q、R

2、 三点共线。二、共面问题例 4. 直线 m、n 分别和平行直线 a、b、c 都相交，交点为 A、B 、C、D、E、F， 如图，求证：直线 a、b、c、m、n 共面 .例 5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内 已知：如图，直线 l1 ，l2，l3，l4 两两相交，且不共点 求证：直线 l1，l2，l3，l4 在同一平面内例 6. 已知：A1、B1、C1和 A2、B2、C2分别是两条异面直线 l1和 l 2上的任意三点， M、N、R、T 分别是 A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T 四点共 面.AMCN例 7.在空间四边形ABCD 中，M 、N、P、Q 分

3、别是四边上的点，且满足MB NB AQ QDCP k.PD(1)求证： M 、 N 、 P、Q 共面 .(2)当对角线 AC a,BD b，且 MNPQ 是正方形时， 求 AC 、BD 所成的角及 k 的值 (用 a,b 表示 )三、共点问题例 8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行1、(1)证明： AA1BB1O, AA1 、 BB 1 确定平面 BAO ，A、 A1、B、B 1都在平面 ABO 内，AB 平面 ABO ；A1B 1 平面 ABO.同理可证， BC 和 B1C1、AC 和 A1C1 分别在同一平面内 .(2)分析： 欲证两直线的交点在一条直线

4、上， 可根据公理 2，证明这两条直线分别在两 个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上 .2 证明 ：如图，设 AB A1B1 P；AC A1C1R ； 面 ABC 面 A1B 1C1PR. BC面 ABC ； B 1C1面 A1B 1C1，且 BCB1C1QQPR,即 P 、R、 Q 在同一直线上3 解析：A、B、C 是不在同一直线上的三点过 A 、B 、 C 有一个平面l,则p同理可证 :Q l,R lP,Q,R三点共线 .又 ABP, 且AB点P既在 内又在 内, 设 4 解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直 线在这个平面里；二是分别确定几

5、个平面，然后证明这些平面重合 . 证明 ab, 过 a、b 可以确定一个平面 . A a,a ， A , 同理 B a.又Am，Bm, m .同理可证 n .b c,过 b,c 可以确定平面，同理可证 m .平面、都经过相交直线 b、 m, 平面和平面重合，即直线 a、b、c、m 、n 共面.5 、解析：证明几条直线共面的依据是公理 3 及推论和公理 1. 先证某两线确定平面， 然后证其它直线也在内 .证明 ：图中， l1 l2P， l1,l2 确定平面 .又 l1l3A,l 2l3 C, C,A .故 l3 . 同理 l4 . l1,l2,l3,l4 共面 .图中， l1 ,l 2,l 3,

6、l 4的位置关系，同理可证 l1,l2,l3,l4 共面. 所以结论成立 .6、证明 如图，连结 MN 、NR，则 MNl1,NRl2，且 M 、N、R不在同一直线上 （否则，根据三线平行公理，知l1l2与条件矛盾 ）. MN、NR 可确定平面，连结B 1C 2，取其中点 S.连 RS 、ST ，则 RSl2，又 RN l2， N、R、S 三点共线 .即 有S，又STl1，MNl1，MNST，又 S， ST . M 、N、 R、 T 四点共面 .AMAQ7 解析：(1) kMBQDAM k MQ BD ，且AM MB k 1MQ AM kBD AB k 1 kMQ BDk1CNCP又 kNBP

7、D PN CN kBD ，且 CN NB k 1NP CN k 从而 NP k BDBDCB k 1 k 1MQNP，MQ，NP 共面，从而 M、N、P、Q四点共面 .BM 1 ， BN 1MA k ， NC kBM BN 1 BM 1MA NC k , BM MA k 1MN AC ，又 NP BD.MN 与 NP 所成的角等于 AC 与 BD 所成的角 .MNPQ 是正方形， MNP 90 AC 与 BD 所成的角为 90 ，又 AC a， BD b，MNACBM 1BA k 1又 MQk11b,且MQMN ，kk1bk1 1a，即1MN ak1说明：公理 4 是证明空间两直线平行的基本出发点 已知：平面 平面 a ，平面 平面 b，平面 平面 c. 求证： a、b、c 相交于同一点，或 abc.证明： a， ba、 b a、b 相交或 ab.(1)a、b 相交时，不妨设 a bP，即 P a，Pb而 a、b ， aP，P，故