用轴对称知识求线段和的最小值教材

1、浅析用轴对称知识求线段和的最小值求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利 用轴对称知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典 型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸 L 的一侧有两个村庄 A 、B， 现要在河岸 L 上修建一个供水站， 问供水站应建在什么地方， 才能到 A ， B 两村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作 B 点关 于 L 的对称点 B1, 在直线 L 上任意定一点 M ，连接 B B1， BM ，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证 BM B1M， 所以，我们可以得出这样的性质： 成轴对称的两个对应 点到对称轴上任意一点的

2、距离相等。在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点 B 到河岸 L 上任意点 M 的距离等于对称 B1 到点 M 的距离。要使 AM+ B 1M 最小，必须使 A 、M 、 B1三点共线， 也就是说，必须使点 M ，与 A B1连线和 L 的交点 N 重合，所以，河岸上的 N 点为到 A、 B 的距离之和最小的点B证明： M 为 L 上的任意点因为 BM B1M所以， BM+AM B1M+AM ，而 B1M+AM 大于 B1A ， 所以，结论成立二、应用1 ：在图（ 1 ）中，若 A 到直线 L 的距离 AC 是 3 千米， B 到直线 L 的距离 BD 是 1 千米，并且 CD 的距离 4

3、千米， 在直线 L 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小。求这个最小值。解：作出 A1B（作法如上图）过 A1 点画直线 L 的平行线与 BD 的延长线交于 H ，在 Rt A1BH 中， A1H=4 千米， BH=4 千米， 用勾股定理求得 A1B 的长度为 4 2 千米， 即 PA+PB 的最小值为 4 2 千米。2、如图（ 1），在直角坐标系 XOY 中， X 轴上的动点 M （x，0）到定点 P（5，5）和到 Q（2，1）的距离分别为 MP 和 MQ ，那么当 MP+MQ 取最小值时，点 M 的横坐标 x= 。Y6P (5,5)P (5,5)542(2,1)O-1图（ 1）图（ 2）

4、(2,1) Q解：如图（2），只要画出点 Q 关于 x 轴的对称点 Q1（2， -1），连结 PQ1 交 x 轴于点 M ，则 M 点即为所求。点 M 的 横坐标只要先求出经过 PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5 ）， 令 y=0，求得 x=5/2 。（也可以用勾股定理或相似三角形求出 答案）。3、 求函数 y= x2 6x 10 + x2 6x 34 的最小值。 解：方法（）把原函数转化为 y= （ x 3）2 1 + （ x 3）2 52 ，因此可以理 解为在 X 轴上找一个点，使它到点（ 3， 1）和（ -3， 5）的 距离之和最小。 （解法同上一题） 。方法（）如图（9），分别以

5、 PM=（3-x）、AM=1 为边和以 PN=（x+3 ）、BN=5 为边构建使（ 3-x） 和（ x+3 ）在同一直线上的两个直 角PAM 、PNB ，两条斜边的长就是PA= （x 3） 1 和PB= （ x 3） 5 ，因此，求 y 的最小值就是求 PA+PB 的最 小值，只要利用轴对称性质求出 BA1 的长，就是 y 的最小值。 （6 2 ）。图（ 9）三、拓展（一）三条线段的和最小的问题：如图 3， 已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时,甲站在AOB 内的 P 点，乙站在 OA 边上，丙站在 OB 边上，游 戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点 P 处。如果三人速

6、度相同， 试作图求出乙丙站在何处， 他们比赛所用时间最短析解：三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需 三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P 关于OA、 OB的对称点 P 、P ，连接 PP ，交 OA于O ，交 OB 于 O ，则点 O 和点 O 应分别是乙、丙的位置。这样连接 PO 、 PO 则三人行的路程和为 PO OO PO PO OO P O PP 。规律总结： 轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证 长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的 应用。（二）利用菱形的对称性，求线段和的最小值1、如图（ 5），在菱形 ABCD 中， AB=4a,E 在 BC

7、 上， EC=2a， BAD=1200, 点 P在 BD 上，则 PE+PC 的最小值是 （）A)6a , (B) 5aAC图（ 5）(C) 4a(D) 2 3aAC图（6）解：如图（ 6），因为菱形是轴对称图形，所以 BC 中点 E 关于对角线 BD 的对称点 E 一定落在 AB 的中点 E1，只要 连结 CE1 ，CE1 即为 PC+PE 的最小值。这时三角形 CBE1 是含有 300 角的直角三角形， PC+PE=CE1=2 3a 。所以选 （D）。2、已知在菱形 ABCD 中， A=600，AD=8，M、N 分别 是 AB ，BC 边上的中点， P 是对角线 AC 上一动点，求 PM

8、PN 的最小值。分析：因为动点 P在菱形 ABCD 的对角线 AC 上，而 CD 边的中点 G ，是 N 关于对称轴 AC 的对应点所以， PG PN，因此求 PMPN 的最小值就转化为求 PM PG的最小值， 连接 MG ，在 PMG 中，PMPG的最小值就是 MG，即 PM PGMG （仅当 M、P、G 三点共线时取得最小值） 。DGMA解：取 CD 的中点 G，连接 PG AC 是菱形 ABCD 的对角线 PCG PCN又 CB CD，N 是 BC 边的中点 CNCG又 PCPC， PCG PCN PGPN连接 MG 。四边形 AMGD 为平行四边形MGAD 8在PMG 中，（仅当 P、

9、M 、G 三点共线时取等号）即，故 PM PN 的最小值为 8。（三）利用正方形的对称性，求线段和的最小值 已知如图：正方形 ABCD的边长是 3,E 点分边 BC为 2:1,P为对角线 BD上一点 , 求 PE+PC的最小值 .AD分析: 要想求 PE+PC的最小值 , 关键是确定点 P的位置 , 根据 对称的知识我们知道点 P 的位置应是，点 C关于直线 BD的 对称点和点 E连线与 BD的交点 .解: 因为四边形 ABCD为正方形 , 所以点 C关于 BD的对称点 为 A,连接 AE交 BD于 P点, 则此时 PE+PC的最小值最小 , 最 小值为 :PE+PC=AE= 13（四）利用等

10、腰梯形的对称性，求线段和的最小值 如图，在梯形 ABCD中，ADBC， ABCD AD1， B 60，直线 MN为梯形 ABCD的对称轴， P 为 MN上一点，那么 PC PD的最小值为 。分析：在梯形 ABCD中，因为 AB CDAD，易知梯形 ABCD 是等腰梯形， 又直线 MN是梯形 ABCD的对称轴， 所以直线 MN 是底边 AD、BC的垂直平分线，连接 PA，由线段垂直平分线 上任一点，到已知线段两端的距离相等知，PA PD，所以求PCPD的最小值就转化为求 PCPA的最小值， 即求 AC的长 度即可。解：连接 PAAB CDAD 1，梯形 ABCD是等腰梯形 又直线 MN是梯形 A

11、BCD的对称轴PA PD过点 A作 AEBC，过点 D作 DFBC， E、 F为垂足，易证 ABEDCF， BE CF在 RtABE中， B60， AB 1在 Rt ABC中，由勾股定理，得即 PAPC的最小值为（当 A、P、C 三点共线时取得最小 值）也可这样求 AC的值：过 A 点作 CD的平行线， 交 BC于 G，则 BGAB1,GCAD 1BC2而角 BCADACDCA，角 BCA 30, 角 BAC90 度在三角形 ABC中，可求得 AC（五）利用圆的对称性，求线段和的最小值已知如图 ,AB 是的直径 ,AB=2cm,OCAB,点 D 是弧 AC的三等分点 ,P 是 OC上一动点 ,

12、 求 PA+PD的最小值 .AB图（ 16）AB分析： 圆是一个轴对称图形， 任意一条直径所在的直线都 是它的对称轴，圆上任意一点的关于直径所在直线的对称点 都在圆上。解: 作点 D关于 OC的对称点 F, 连接 AF,此时 PA+PD的最小 值为 AF.因为 AB是圆 O的直径,OCAB， 则弧 AC的度数为 900，因 为 D 是弧 AC 的三等分点，所以弧 AD 的度数是 600 ，弧 DC的 度数是 300，因为点 D与点 F 关于 OC的对称，所以且弧 DC 与弧 CF相等 , 都为 300， AOF=1200，作 OEAF，则AOE=600。在 RtAOE中， AO= 1cm， A

13、OE=600，则 AE=， AF= 3 。（六）利用坐标系的对称性，求线段和的最小值如图, 在直角坐标系中 , 有四个点 A（ -8 ，3）、B（-4 ，5）、 C（0，n）、 D（m，0），求四边形 ABCD周长最短时的值。分析：因为 A、 B 是定点且长度不变，四边形 ABCD的周 长最短，需使 AD+CD+BC 的值最小，由于 C、 D两点未知， 所以本题关键是找 C、D两点，可考虑用轴对称的方法将 BC 、 CD 、AD 这三条折线拉直。解：分别作 A点关于 x 轴、 B点关于 y 轴的对称点A/ （-8 ，-3 ）、 B/（ 4，5），连接 A/B/分别交 x 轴、 y 轴于D、C点

14、。设直线 A/ B/的解析式为 y=kx+b ，把 x=-8 ，y=-3 ； x=4， y=5 分别代入得：-8k+b=-34k+b =5解得 k 和 b 值，得到 A/ B/的解析式为 :3y=2x+7令 x=0，求得 y ，得到 C 点令 y0，求得 x，得到 D 点由以上几例可以看出， 当求线段和的最小值时， 常常借助 轴对称将两条线段转化到一条直线上，再利用“两点之间线 段最短”进行求解。四、链接看这样一题： 要在一条河上架一座桥 （桥须与河岸垂直， 两河岸平行） ，请提供一种设计方案，使从 A 地到 B 地的路 径最短，请说明理由。请思考： 1、这题为什么不能用轴对称知识解决？（认真

15、理解我推导出的性质就可明白 ）2、如何用平移知识解决此题？3、类似我推导出的轴对称性质，平移的知识能否推导 出类似的性质？五、练习1、（ 2002 湖北黄岗竞赛题）如图（ 10），AOB=450，角 内有一点 P，PO=10，在角两边上有两点 Q、R（均不同于点 O），则 PQR的周长最小值是 。当 PQR周长最小时， QPR 的度数 =。图（ 10 ）P1提示 ：画点 P 关于 OA 的对称点 P1，点 P 关于 OB 的对 称点 P2， AOB=45 0， P1OP2 是等腰直角三角形， P1P2=10 2 。又问 : 当 PQR周长最小时， QPR 的度数 =。（答案： 900）2、已知

16、点 A （-2，1），点 B（3，4）。在 X 轴上求一点 P， 使得 PA+PB 的值最小。这个最小值是 。（同例 2 ）3、（北京市竞赛题）如图（ 11），在矩形 ABCD 中， AB=20 ，BC=10 ，若在 AC、AB 上各取一点 M 、N，使 BM+MN 的值最小，求这个最小值。MN图（ 11）提示 ：要使 BM+MN 的值最小，应设法把折线 BM+MN 拉直， 从而想到用轴对称性质来做。 画出点 B 关于直线 AC 的对称点 B1，则 B1N 的长就是最小值；又因为 N 也是动点，所以，当 B1N AB 时这个值最 小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为 16。初三

17、的同学也可以用射影定理和面积公式求解。4、如图（ 12）在菱形 ABCD 中， DAB=120 0，点 E 平分 BC，点 P 在 BD 上，且 PE+PC=1，那么边长 AB 的最大值AC提示：因为当 PE+PC最小时， AB=CD 达到最大，这个 最大值是 2 3 。35、如图（ 15），在河湾处 M 点有一个观察站，观察员要 从 M 点出发，先到 AB 岸，再到 CD 岸然后返回 M 点，则 该船应该走的最短路线是 （先画图， 再用字母表 示）。D图6、求代数式 x2 4x 13 + x2 4x 61 的最小值。（ 答案： 145 ）求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学

18、校 左进祥在近几年的中考中，经常遇到求 PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问 题有一个比较全面的认识和了解， 我们特此编写了 “求两线段长度值和最小” 问 题全解析，希望对同学们有所帮助、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例 1 如图 1，在锐角三角形 ABC中，AB=4 , BAC=45， BAC的平分线 交 BC于点 D，M,N分别是 AD和 AB上的动点，则 BM+MN的最小值 为分析：在这里，有两个动点，所以在解答时， 就不能用我们常用对称点法 我 们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决解：如图 1，在 AC上截取 AE=AN，连接

19、BE因为 BAC的平分线交 BC于点 D， 所以 EAM=NAM，又因为 AM=A，M 所以 AME AMN，所以 ME=MN所以 BM+MN=BM+MBEE因为 BM+MN有最小值当 BE是点 B 到直线 AC的距离时， BE 取最小值为 4，以 BM+M的N 最小值是 4故填 41.2 在等边三角形中探求线段和的最小值例 2（2010 山东滨州）如图 4所示，等边 ABC的边长为 6,AD是 BC边上的 中线,M是 AD上的动点,E 是AC边上一点.若 AE=2,EM+CM的最小值 为 .分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段， 后应用所学的知识求出这条线段的长度

20、即可解：因为等边 ABC的边长为 6,AD是BC边上的中线 ,所以点 C与点 B关于 AD对称，连接 BE交 AD于点 M，这就是 EM+CM最小时的位置，如图 5 所示，因为 CM=B，M所以 EM+CM=B，E过点 E 作 EF BC，垂足为 F，因为 AE=2，AC=6，所以 EC=4，在直角三角形 EFC中，因为 EC=4, ECF=60， FEC=30，所以FC=2,EF= =2 因为 BC=6， FC=2，所以 BF=4在直角三角形 BEF中，BE=.、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1 在直角梯形中探求线段和的最小值例 3（2010 江苏扬州）如图 3，在直角梯形 ABCD中

21、， ABC90，AD BC， AD4，AB5，BC6，点 P是AB上一个动点，当 PCPD的和最小时， PB的长 为分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所 以解答时可以用对称法解：如图 3 所示，作点 D关于直线 AB的对称点 E，连接 CE，交 AB于点 P， 此时 PCPD和最小，为线段 CE因为 AD4，所以 AE=4因为 ABC90， ADBC，所以 EAP 90因为 APE BPC,所以 APEBPC，所以. 因为 AE=4，BC6，所以 ，所以，所以, 因为 AB 5，所以PB=3.2.2 在等腰梯形中探求线段和的最小值例 4 如图 4，等腰梯形 ABC

22、D中，AB=AD=CD=，1ABC=60， P是上底，下 底中点 EF直线上的一点，则 PA+PB的最小值为分析 ：根据等腰梯形的性质知道，点 A的对称点是点 D，这是解题的一个关 键点其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键解：如图 4所示，因为点 D关于直线 EF的对称点为 A，连接 BD，交 EF于点 P，此时 PAPB和最小，为线段 BD过点 D作 DGBC，垂足为 G，因为四边形 ABCD是等腰梯形，且 AB=AD=CD=，1 ABC=60，所以 C=60， GDC=30 ，所以 GC= ,DG= 因为 ABC60，ADBC，所以 BAD 120因为 AB=AD，所以 ABD=A

23、DB=30，所以 ADBC=30 ，所以BD=2DG=2 = 所以 PA+PB的最小值为 2.3 在菱形中探求线段和的最小值例 5 如图 5 菱形 ABCD中，AB=2，BAD=60，E是 AB的中点， P 是对角线 AC上的一个动点，则 PE+PB的最小值为分析 ：根据菱形的性质知道， 点 B的对称点是点 D，这是解题的一个关键点解：如图 5 所示，因为点 B 关于直线 AC的对称点为 D，连接 DE，交 AC于点 P，此时 PEPB和最小，为线段 ED因为四边形 ABCD是菱形，且 BAD=60， 所以三角形 ABD是等边三角形因为 E是 AB的中点，AB=2，所以 AE=1，DEAB，

24、所以 ED= 所以 PE PB的最小值为 2.4 在正方形中探求线段和的最小值例 6 如图 6 所示，已知正方形 ABCD的边长为 8 ，点 M 在 DC上，且 DM=2，N 是 AC 上的一个动点，则 DN+MN的最小值为分析 ：根据正方形的性质知道，点 B的对称点是点 D，这是解题的一个关键 点解：如图 6所示，因为点 D关于直线 AC的对称点为 B，连接 BM，交AC于点 N，此时 DNMN和最小，为线段 BM因为四边形 ABCD是正方形，所以 BC=CD=8因 为 DM=2，所以 MC=，6 所以 BM=10. 所以 DN+MN的最小值为 10.例 7（ 2009?达州）如图 7，在边

25、长为 2cm的正方形 ABCD中，点 Q 为 BC边的 中点，点 P为对角线 AC上一动点，连接 PB、PQ，则 PBQ周长的最小值为cm（结果不取近似值）分析 ：在这里 PBQ周长等于 PB+PQ+B，Q而 BQ是正方形边长的一 半，是一 个定值 1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得 PB+PQ的和最小 问题因为题目中有一个动点 P，两个定点 B,Q 符合对称点法求线段和最小的思 路，所以解答时可以用对称法解: 如图 7所示，根据正方形的性质知道点 B与点 D关于 AC对称，连接 DQ， 交 AC于点 P，连接 PB所以 BP=DP，所以 BP+PQ=DP+PQ=D在Q Rt

26、CDQ中，DQ= =，所以 PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1故答案为+1、在圆背景下探求线段和的最小值例 8(2010 年荆门)如图 8，MN是半径为 1的 O的直径，点 A在O上， AMN30， B为AN弧的中点， P是直径 MN上一动点，则 PAPB的最小值为 ( )(A)2 (B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点 A 的对称点 D，连接 DB，则线段和的最小值 就是线段 DB的长度解：如图 8，作出点 A的对称点 D，连接 DB，OB,OD因为 AMN30，B 为 AN 弧的中点，所以弧 AB的度数为 30，弧 AB的度数为 30，弧 AN的度

27、数为 60根据 圆心角与圆周角的关系定理得到： BON30由垂径定理得： 弧 DN的度数为 60所以 BOD BON +DON= 30+60 =90.所以DB= = . 所以选择 B四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例 9（ 2010 山东济宁）如图 9，正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 y=（ k 0）在第一象限的图象交于 A 点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知三 角形 OAM的面积为 1.1）求反比例函数的解析式；2）如果 B为反比例函数在第一象限图象上的点（点 B 与点 A不重合），且 B 点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB最小 .分

28、析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点 A 的坐标是解题的第 一个关键要想确定出 PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证 PA+PB的和最小，同 学们可以联想我们以前学过的对称作图问题， 明白了最小的内涵， 解题的过程就 迎刃而解了解： （ 1）设点 A的坐标为（ x，y），且点 A在第一象限，所以 OM=x,AM=y因为三角形 OAM的面积为 1，所以所以 xy=2，所以反比例函数的解析式为 y= 2）因为 y= x 与 y= 相交于点 A，所以 = x，解得 x=2，或 x=-2. 因为x0，所以 x=2，所以 y=1，即点 A的坐标为（ 2，1）因为点 B的横坐标为 1， 且

29、点 B 在反比例函数的图像上， 所以点 B 的纵坐标为 2，所点 B的坐标为（1，2）， 所以点 B关于 x 轴的对称点 D的坐标为（1，-2 ）设直线 AD的解析式为 y=kx+b，所以 ，解得 k=3，b=-5，所以函数的解析式为 y=3x-5 ，当 y=0 时，x= ，所以当点P在（ ，0）时， PA+PB的值最小五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例 10（ 2010年玉溪改编）如图 10，在平面直角坐标系中， 点 A的坐标为（ 1，） ， AOB的面积是 .1）求点 B的坐标；（ 2）求过点 A、 O、 B的抛物线的解析式；3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使 AOC

30、的周长最小？若存在，求出点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由；分析 ：在这里 AOC周长等于 AC+CO+A，O而 A,O是定点，所以 AO是一个定 长，所以要想使得三角形的周长最小， 问题就转化成使得 AC+CO的和最小问题因 为题目中有一个动点 C，两个定点 A,O 符合对称点法求线段和最小的思路，所以 解答时可以用对称法解：（1）由题意得:所以OB=2因为点 B在x轴的负半轴上，所以点 B的坐标为（ -2，）；（2）因为 B（-2,0）,O（0,0）, 所以设抛物线的解析式为： y=ax（x+2），将点A 的坐标为（ 1， ）代入解析式得： 3a= ，所以 a= ，所以函数的解析式 为 y= +x （3）存在点 C. 如图 10，根据抛物线的性质知道点 B 与点 O是对称点，所 以连接 AB与抛物线的对称轴 x=