生活中的优化问题举例学案

1、? 3.4 生活中的优化问题举例（学案） 本节目标：能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题 本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题 本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型背景知识：生活中经常遇到求面积体积最大、利润最大、用料最省、 效率最高等问题，这些问题通常称为问题 .通过前面的学习， 我们知道，导数是求函数最大 （小）值的有力工具， 本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题 .一、知识回顾 利用导数求函数最值的步骤？（ 1）先求 （2）再二、新课探究： 探究（一）：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动， 通常需要张贴海报进行宣传。 现让你设计一张 如图 1.4-1

2、所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2, 上、下 两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四 周空心面积最小？思考 1：设哪个量为 x，函数式子更简单？版心的高，宽，海报的高， 宽？思考 2：设版心的高为 x ，则版心的宽为，海报的高为， 海报的宽为 ?海报的面积为？海报四周空白的面积 思考 3：设海报四周空白的面积为 S（x），则 S（x）的最简表达式如何？ 其定义域是什么？思考 4：用什么方法求 S（x）的最大值？能想到几种方法？解法一：解法二：方法感悟解决面积、容积的最值问题，要合理选择自变量，结合图形，将面积 或容积表示为自变量的函数，并确定函数

3、定义域。探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要 贵些？（ 2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制 造成本是 0.8 r 2 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分 , 且制造商能制作的瓶子的最大 半径为 6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？思考 1：1mL 饮料所占的体积是多少 cm3 ？半径为 r 的瓶子最多能装 多少 mL 的饮料？出售每瓶饮料制造商可

4、获利多少？思考 2：每瓶满装的饮料的利润 （单位：分 ）是多少？思考 3：设每瓶满装饮料的利润为 f（r） ，则函数 f（r） 的定义域是什么？解： 方法感悟解决此类有关利润的实际应用题， 应灵活运用题设条件， 建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有（1）利润收入成本；（2）利润每件产品的利润销售件数三、课堂检测练习1：将一段长为 12cm 的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？分析：可设哪个量为 x？ 2：已知某商品生产成本 C与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q，价格p 与产量 q 的函数关系式为 p 25 1q 求产量 q 为何值时，利润8L 最大？ 分析：利润 L

5、=减去， 而收入 R=乘以 由 此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润3:在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形 ,再把它 的边沿虚线折起 （如图 ）,做成一个无盖的方底铁皮箱 .箱底边长为多少时,箱子容积最大 ?最大容积是多少 ?分析：设箱底边长为 x，则箱底面积为？箱子高为？箱子 容积=？4. 某工厂生产某种产品， 已知该产品的月产量 x（吨）与每吨产品的价格关的 6_0P（元 /吨）之间的 系为 P 24200 115x2，且生产 x 吨 成 本 为 R 50000 200x6_0 元问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是 多少？ （利润收入成本 ）分析 根据题意，月收入月产量单价 px，月利润月收入成本 px（50000200x）（x0），列出函数关系式建立数学模型后再 利用导数求最大值5统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升 ）1关于行驶速度 x（千米 /时 ）的函数解析式可以表示为 y1281 000x3 380x8（0x 120）已知甲、乙两地相距 100 千米，当汽车以多 大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 分析：甲地到乙地时间为？甲地到乙地耗油 =