随机变量及其分布

1、第二章随机变量及其分布基本要求】 1、了解随机变量的概念；2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质；3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质；4、理解分布函数的概念，并知道其性质；5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率；6、会求简单的随机变量函数的概率分布；本章重点】 随机变量的概念；连续型（离散型）随机变量的密度函数（分布律）的概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质；随机变量函数的概率分布 .本章难点】 随机变量的概念及性质；连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的性质与相关 计算。学时分配】 9 学时授课内容】 2.1 随机变量在第一章里，我

2、们主要研究了随机事件及其概率，同学们可能会注意到在随机现象中，有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系。例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期正在工作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。对于这类随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联24 系数值来描述。比如，在投硬币问题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系， 但我们可以通过指定数“ 1”代表正面，“0”代表反面，为了计算 n 次投掷中出现的正面就只须 计算其中“

3、1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。般地，如果 A 为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系：A发生A不发生这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个 样本空间 和实 数空间 的对应关系，使之与数值发生联系。为了全面的研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实 数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。引例：随机试验 E1：从一个装有编号为 0，1，2，, ， 9 的球的袋中任意摸一球。则其样本空 间S= e0，e1，,， e9 ，其中 ei “摸到编号为 i的球”， i =0,1,9

4、.定义函数 ：ei i，即 ( ei )= i ， i =0，1，, ， 9。这就是 S和整数集 0，1，2，,， 9的一个对应关系，此时 表示摸到球的号码。从上例中，我们不难体会到：对应关系 的取值是随机的，也就是说，在试验之前， 取什么值不能确定，而是由随机 试验的可能结果决定的，但 的所有可能取值是事先可以预言的。 是定义在 S 上而取值在 R上的函数。同时在上例中，我们可以用集合 ei： ( ei) 5表示“摸到球的号数不大于 5”这一随机事 件，因而可以计算其概率。习惯上我们称定义在样本空间 S 上的单值实函数 为随机变量。这就有了如下定义：定义：设随机试验 E的样本空间为 S e

5、， = (e) 是定义在 S 上的单值实函数，若对任意实 数x，集合e： ( e) x是随机事件，则称 = ( e )为随机变量( Random V ariable )。25定义表明随机变量 = ( e)是样本点 的函数，为方便起见，通常写为 ，而集合 e： ( e) x简记为 x如在上例中，摸到不大于 5 号球的事件可表示为 5 ，则其概率为 P 5=3/5随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研 究。正因为随机变量可以描述各种随机事件，使我们摆脱只是孤立的去研究一个随机事件，而通 过随机变量将各个事件联系起来， 进而去研究其全部。 今后，我们主要研究随

6、机变量和它的分布 随机变量的分类离散型 r.vr.v非离散型 r.v.连续型 r.v.其它的取值只有有限个或可 数个可以取某一区间的任一 数为值2.2 离散型随机变量的概率分布1. 定义：设 是 S 上的随机变量，若 的全部可能取值为有限个或可列无限个(即 的全部可能取值可一一列举出来) ，则称 为离散型随机变量。若 的 取 值 为 xi ,(i 1,2, ) ， 把 事 件 xi 的概 率 记 为 P xi pi,i 1,2, ，则 称 x1,x2, ,xi , 为 的分布律 。p1, p2, , pi , 【注】：由定义可知，若样本空间 S 是离散的，则定义在 S上的任何单值实函数都是离散

7、型随机变量。2. 离散型随机变量 的分布律满足下列 性质：(1) 非负性： pi 0(2) 规范性： pi 1i1分布律也可用表格形式表示出来26X1 2 kpkp1p2pk如抛硬币试验X0 1pk11221例 1 ：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1 的概率允许或禁2止汽车通过。以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数（设各信号灯的工作是相互独 立的），求 X 的分布律。解：以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，易知 X 的分布律为X01 2 34pkp2(1 p)p (1 p)2p(1 p)3 p(1 p)4或写成PX k (1kp)kp, k 0,

8、1, 2 3, P X4(1 p)41以 p 1 代入得2X01 2 34pk0.50.25 0.125 0.06250.0625面介绍三种重要的离散型随机变量的概率分布1. （01）分布设随机变量 X只可能取 0 和 1 两个值，它的分布律是P(X k) pk(1 p)1 k ,k 0, 1 (0 p 1)则称 X服从（ 01）分布 .2701)分布的分布律也可写成X0 1pk1 p p满足( 01)分布的试验应该只有两个结果。2. 二项分布：设试验 E 只有两个可能的结果：A及A，P(A) p, P(A) 1 p q(0 p 1).将 E独立地重复地进行 n 次，则称这一串重复的独立试验为

9、 n 重贝努利试验 ，简称 贝努利试验 例：用X表示n次试验中 A发生的次数，用 Ai表示A在第i 次试验中发生X k A1A2 AkAk1 AnA1A2 Ak Ak 1Ak 2AnA1A2 A3 Ak 2Ak 3 Annn应共有 种，它们是两两不相容的，故在 n次试验中 A发生 k次的概率为pk(1 p)n k，即kkP X k n pkqn k k 0,1,2, nk显然PX k 0 k 0, 1, 2, nn n k nkpkqn k (p q) 1k 0 kn注意到 n pkqn k刚好是二项式 (p q) n的展开式中出现 pk 的一项。故我们称随机变量 X服从参数 k为 n， p

10、的二项分布，记为 X b(n, p)特别，当 n 1 时二项分布化为P X k pkq1 k k 0, 1 这就是( 0 1)分布例2 某人进行射击，设每次射击的命中律为 0.02 ，独立射击 400次，试求至少击中两次的28概率。解：将每次射击看成一次试验。射击中的次数为 X，则 X b（400,0.02） .X 的分布律为P X k400 (0.02)k(0.98)400 k k 0,1, 2, 400. k于是所求概率为P X 2 1 P X 0 PX 11 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399直接计算上式是麻烦的。下面给出一个定理3. 泊松定理 设0是一常数，n是任

11、意正整数， 设 npn ，则对于任一固定的非负整数k，有 limnk n k pn (1 pn)kek!显然，定理的条件 npn （常数）意味着当 n很大时 pn必定很小. 因此，上述定理表明当很大时 p 很小时有以下近似式k n k pk (1p)n kk!其中 np .泊松分布：随 机 变 量 X 所 有 可 能 取 值 为 0, 1, 2, 而 取 各 个 值 的 概 率keP X k e k 0,1,2 其中 0是常数，则称 X服从参数为 的泊松分布， k!记为 X ( )显然P X k 0 k 0,1,2 kkPX k e e e e 1 k 0 k 0 k! k 0 k!例 3 为

12、了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人（工人配备多了就浪费，配备少了有又要影响生产），现有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01 ，在通29常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ，问至少需配备多少工人，q=0.99才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01 ？ 解：设X=在300台设备中故障发生的次数 A= 故障需配备 N个工人 p=0.01300 k 300 kPX k(0.01)k(0.99)300 k k 0,1, 2, 300k由泊松定理P X N 0.01P X N 1 0.01 ( 3)查表可知P X 9

13、 0.0038 0.01N+1=9 N=8课后作业： 1、仔细阅读 P34-45；2、作业： P62 1, 3, 6, 73 、预习 P45-4930 2.3 随机变量的分布函数离散型随机变量的取值是有限个或无限可列多个， 而对于非离散型随机变量它则不能像离散 型随机变量那样一一列举出来并用分布律来描述它。 在实际中我们有时研究的不是某一个确定的 值的概率，而是研究在某一范围内的概率。如：当实数 x1 x2时，有： P x1 X x2 =P X x2- P X x1我们要求 P x1 X x2 ，只需求 P X x2及 PX x1 即可。下面引入随机变量分布函数的概 念。1. 定义：设 X是一

14、个随机变量，对 x R，函数F(x)= PX x称为 X的分布函数。对于任意实数 x1.x2 ( x1 x2)，有 P x1 X x2 =P X x2- P X x1=F(x2 ) F(x1)因此，若已知 X的分布函数，我们就知道 X落在任一区间 (x1, x2 上的概率。这时概率与函数联系 起来了，我们就可以通过函数来全面研究随机变量的统计规律性。如果将 X看成是数轴上的随机点的坐标， 那么，分布函数 F(x) 在x 处的函数值就表示 X落在 区间 ( , x上的概率。2. 性质：分布函数 F (x)具有如下性质： F ( x)是不减函数，即对 x1 x2 R， F(x1) F(x2 )Pr

15、oof ：对x1x2，有 F(x2)F(x1)Px1Xx20。因此， F(x1)F(x2)规范性： 0 F(x) 1且F( ) xlim F(x) 0,F( ) xlim F(x) 131右连续性：对 x0 R,有 lim F(x) F(x0)x x0定是某随机变量的性质，的证明可参考其它有关的资料)注：反之可证明： 对于任意一个函数，若满足上述三条性质的话，则它 分布函数3. 运算：若a b R， F(x) 则有：Pa b F(b) F(a)P a ? lim F(x) F(a 0) xaP a P a P a F(a) F(a 0)Pa1F(a)Pa1F(a0)PabF(b)F(a 0)P

16、abF(b0)F(a 0)PabF(b0)F(a)例 1： 设随机变量 X 的分布律为X-1 2 3pk1 1 14 2 4求X的分布函数，并求 PX 21, P23 X 52 ，P2 X 3解：由概率的有限可加性，得所求分布函数为32F(x)1142111424x11x22x3x3x11x243即 F(x) 2 x 341 x 31 1 1P X 21 =F(12) 143553311P X F( ) F( )222244231P2 X 3 F(3) F(2) P(X 2) 142般，设离散型随机变量 X的分布律为 PX xk pk, k 1,2,由概率的可列可加性得 X 的分布函数为F(x

17、) PX x P X xk, xk xF(x)pkxk x例 2：一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面 积成正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量 X的分布函数解：设 X=弹着点与圆心的距离 02 2x F(x) P(X x) k x24x00x2x221其中 F(2) k 22 1 k )4例 3：设某随机变量的分布函数为 F(x) A B arctan x ，试确定 A，B的值F()lim F(x)lim (AB arctanx)A/2B 0解：由 x xF()lim F(x)lim (AB arctanx)A/2B

18、1得 A 1/2,B 1/A 1/ ,B 1/233课后作业：1、仔细阅读 P45-49；2、作业： P64 16, 17 ；、预习 P49-5734其中函数 f(x) 称为 X的概率密度 2.4 连续性随机变量的概率密度1.定义 ：对于随机变量 X 的分布函数 F(x)，存在非负函数 f (x) 使得对任意的实数xx ( , )，有F(x) f(t)dt，则称 X为连续型随机变量函数，简称 概率密度由定义显然可知， F(x)连续。2. F (x)的几何意义： f ( x)在几何上表示一条曲线称为分 布密度曲线，则 F ( x)的几何意义是：以分布曲线 f (x)为顶， 以 X 轴为底，从到

19、x 的一块变面积。3. 密度函数具有如下 性质：(1) 非负性： f(x) 0，x R(2) 规范性： f (x)dx 1Proof ：由分布函数的性质有： 1 lim F(x) f(t)dt注：任意一个满足以上二性质的函数，都可以作为某连续型随机变量的密度函数(3) 若 f(x)在 x处是连续的，则 F(x) f(x)注：由该性质，在连续点处有 f (x)F(x x) F(x) lxim0xPx X x xx，从这里我们看到概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似，这就是为什么称之为概率密度的缘 故。x2(4) P x1 X x2= F(x2) F(x1) 2 f (x)dx(x1 x2

20、)- P X x1x1(5) 若 X是连续型随机变量，则 a R, PX a 0a事实上， x 0,有0 PX a Pa x X a f(x)dxaxa而 lim f (x)dx 0 PX a 0从此可知： 概率为 0 的事件不一定是不可能事件， 称为几乎不可能事件；同样概率为 1 的事35件也不一定是必然事件。这样，对连续性随机变量 X 有：x2Px1Xx2Px1Xx2Px1Xx2Px1Xx2f (x)dx，x1P X x PX xf (x)dx注：连续型随机变量的密度函数与其分布函数之间是一一对应的。下面介绍几种重要的连续型随机变量 .ke 3x x 0(一)例 1：设随机变量 X 具有概

21、率密度 f(x) ke x 0 ，试确定常数 k 的值, 并求概率0 x 03xdx k/3 k 3PX 0.1 。解：由1 f(x)dx 0 ke3xdx k 0 e于是 k 的概率密度为 f(x)3x3e ， x 00 x 03xP X 0.1f (x)dx3e 3xdx 0.7408般, 若随机变量 X具有概率密度 f(x)ex0x0x0( . 0), 则称 X服从参数为 的指数分布.( 二 ) 均匀分布设连续型随机变量 X具有概率密度 f (x) baxb其它则称 X在区间 (a, b)上服从均, 而只与小区间的长度有关匀分布 . 记为 X U(a, b).特性:X 在(a, b) 内

22、任意小区间内的概率与小区间所在的位置无关Proof ： (c, d) (a, b)dd 1d clP(c X d) f (x)dx dxcc b ab a b a均匀分布的分布函数360xxF(x)f (t)dta f(t)dtba f(t)dtx a 0 xa axb bax b 1xa axb xb图 均匀分布密度和分布函数图是均匀分布密度 f (x)和分布函数 F (x)的图形例2：设电阻值 R是一个随机变量 ,均匀分布在 900欧1100欧.求R的概率密度及 R落在 950欧 1050 欧的概率 .解: 按题意,R 的概率密度900 r 1100其它1f (r) 1100 9000故有

23、(三)正态分布P950 R 10501050 1950 200dr 0.5x , 其中 , ( 0) 为37f(x) 的图象如图 , 它具有以下的性质 .1. 曲线 f(x) 关于 x 对称 (由性质 3 的几何意义 ), 那么对于任意 h0,有P( h X ) P( X h)12. 当x时, f ( ) 1 为最大值.2从图中可看到 , x离 越远, f ( x)的值越小 .表明对于相同长度的区间 ,离 越远 X 落在该区间上的概率越小 .(1) 若 不变,改变 的值,图形的形状不发生改变 ,只是图形沿 Ox 轴平移,可见 f (x)的位置完全由参数 所确定 , 称 为位置参数 .(2) 若

24、 不变,改变 的值,由于最大值 f ( ) 1 , 越小,则 f ( )越大,图形越尖 ; 2则 f ( )越小.可见, f ( x)的形状由参数 所确定,称 为形状参数 .越大,(3) 曲线在 x 和x处各有一个拐点； 当x 时函数 (x)递增，当 x 时函数 (x)递减，在 x 处达到最大值 1 2 正态分布的函数(x a)222x 1 2 1F(x)21 e 2 dt 21(x a)2 x2 e 2 2 dt特别,当0,1时称 X服从标准正态分布 ,其概率密度和分布函数分别用(x), (x)表示,即有 (x) 1 e ， (x) 122x u2e 2 du 易知 ( x) 1 (x)人们

25、已编制了 (x)的函数表 ,可供查用 .般,若 X N( , 2 ) ,我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布 X2(x a)2 y 1 e (x2a2) dx 2引理 若X N( , 2),则Z X N(0,1).X证: FY (y) P(Y y) P( y) P(X y)382 2 212y221 y 2fY (y) FY(y)e 2 e 2Y Y 2 2X因此, Z X N(0,1).X若 X N( , 2) 则 X N(0,1). 这样正态分布与标准正态分布建立了联系可以通过标准正态分布来求正态分布的值 .Xx x1. F(x) P(X x) P(Xx ) (x) 可查表求值

26、 .x1X x2P(x1 X x2) P( 1 2 )2. 1 2(x2)(x1)例如.设 X N (1, 4) ,查表得1.6 1 0 1P(0 X 1.6) ( ) ( ) 22(0.3) ( 0.5)0.6179 1 (0.5)0.6179 1 0.6915 0.3094例 3：将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器整定在 d0C ,X(以0C计)是一个随机变量 ,且 X N(d, 0.52 ) ,(1) 若d 90,求 X小于 89的概率.(2)液体的温度若要求保持液体的温度至少为 80 的概率不低于 0.99, 问 d 至少为多少 ?解: (1)所求概率为X 90 89

27、90 89 90P(X 89) P( ) ( ) ( 2)0.5 0.5 0.51 (2) 1 0.9772 0.02282)按题意需求 d 满足X d 80 d0.99 P(X 80) P( ) 1 P(0.5 0.5 0.580 d1 ( )0.5X d 80 d)0.5(80 d) 1 0.99 0.0180 d 2.327d 81.16350.50.539为了便于今后应用 ,对于标准正态随机变量 ,我们引入了 分位点的定义 .设X N(0,1),若Z 满足条件 P(X Z ) , 0 1,则称点 Z 为标准正态分布的 上 分位点.如何求上 分位点 Z 呢 ?已知 P(X Z ) 0.0

28、5 求 ZP(X Z ) 1 ( Z ) 1先求 1 再查表 0.05 1 0.95则 Z =1.645 即 Z0.05 1.645课后作业： 1、仔细阅读 P49-57；2、作业： P64 18, 20, 21, 22 ；3 、预习 P57-62402.5 随机变量的函数的分布人们已经掌握数百种概率分布， 其中每一种概率分布都有各自的应用领域 在众多的分布中， 我们已经介绍了一些最基本和最常用的概率分布， 多数分布都是作为具有一定分布的随机变量的 函数的分布导出的这一节的内容是，根据随机自变量的概率分布求其函数的概率分布的方法 随机变量函数的分布的一般求法1 、离散型情形 设 X 是离散型随

29、机变量，其一切(有限或可数个)可能值为x1,x2 , 为求随机变量 Y g( X )的概率分布，首先由函数关系 y g( x)列出 Y的一切可能值 y1,y2, ，然后 分别求概率 PY yj ( j 1,2, )这时，(1) 已知 P X xi pi(i 1,2, )，若函数 y g(x) 的一切可能值两两不等，则P Y g(xi) pi (i 1,2, )就是 Y 的概率分布；(2) 若对于某些 X的可能值 xk1, ,xkr， y g(xkj )等于同一值 yk，则P Y yk P X xk1P X xkr pk1pkr 例 1：设随机变量 X具有以下的分布律 . 试求Y (X 1) 2的分布律。X-1 0 1 2pk0.2 0.3 0.10.4解： Y 所有可能取的值是 0，1，4 由2PY 0 P( X 1)2 0 P X 1 0.1PY 1 PX 0 PX 2 0.7PY 4 P X 1 0.2即得 Y 的分布律为41X0 1 4pk0.1 0.7 0.22、连续型情形 设 X 是连续型随机变量，则随机变量 Y g(X) 可能是连续型的，也可能是 离散型的(1) 若函数 y g(x) 只有有限