长方体和正方体,—能力培训剖析

1、长方体和正方体能力培训培训教师：刘新民一、能力指导例 1. 一个正方体的 6 个面上分别写着 A 、B、 C、D、E、F，根据下面的三种摆 放情况，判断每个字母对面的字母是什么？1）（2）（3）分析与解答： 直接判断一个字母的对面是什么字母比较难， 根据“相邻的字母不 可能相对” 这一规律，可以先看与这个字母相邻的字母是什么字母， 即这个字母 的对面不可能是什么字母，从而推出这个字母的对面一定是什么字母。从（1）和（2）可以看出 D 的对面不可能是 E、B、F、A，那么 D 的对面一定是 C；同 理根据（ 2）和（ 3）可以看出 A 的对面不可能是 B、C、D、F，那么 A 的对面 一定是 E

2、，再由（ 1）（3）可以看出 B 的对面不可能是 C、D、E、A，那么 B 的 对面一定是 F。例 2. 如下图，四个完全相同的正方体木块并排放在一起，木块的 6 个面上各涂 有不同的颜色，则与涂蓝色的面相对的那一面上是什么色？黑黄绿白绿黑蓝黄绿分析与解答：从左往右数，第一、四个正方体可以看出，绿色的相邻面是黑色， 那么黑色在第四个正方体的后面或下面， 又从第二、 四来看，黄色与黑色是相邻 面，所以黑色在第四个正方体的下面，再从第三、四个正方体来看，绿色和蓝色 是相邻的面， 那么蓝色在第四个正方体的后面， 所以与涂蓝色的面相对的那一面 上是黄色。例 3. 用两个相同的正方体木块拼成一个长方体，

3、 棱长之和是减少了 24 ，这两 个正方体木块原来的棱长总和是多少？ 分析与解答：两个相同的正方体木块拼成一个长方体后，减少了 2 个面， 8条棱 长，所以每条棱长是 24 8=3（），那么原来两个相同的正方体一共有 122=24 （条）棱长，则这两个正方体木块原来的棱长总和是 243=72（）。例 4. 一个机器零件的形状如右图所示，如果要在零件的表面涂上一层防锈剂。 涂防锈剂的面积是多少？（单位：）分析与解答：求涂防锈剂的面积实际就是求这个零件的表面积。从上面、左面、右面看到的形状如下：面4右面6从看到的形状来看， 这三个面其实就是这个零件的三个侧面， 所以涂防锈剂的面 积就是这 6 个面

4、的总面积，即（ 46+86+84）2=208（ 2）。 例 5. 一个长方体，表面积是 368 2，底面积是 40 2，底面周长是 36 ，求 这个长方体的体积。分析与解答：根据长方体或正方体的体积的统一计算公式 V=S 底面h可知，要求 长方体的体积， 只要求出长方体的高， 因为长方体的表面积等于侧面积加上两个 底面积，所以长方体的侧面积是 368- 402=288（2），又因为侧面积等于底面 周长乘高，所以长方体的高为 28836=（8 ），故这个长方体的体积为 408=320 （3）。例 6. 将一个长方体的高减少 5 ，就变成了正方体 （如下图），正方体的表面积 减少了 60 2。原长

5、方体的体积是多少立方厘米？分析与解答： 将一个长方体的高减少了 5 ，就变成了正方体， 说明原来长方体 的底面是正方形，从图上可以看出，减少的表面积就是截去部分 4 个侧面的面积， 又因为侧面积 =C 底面 h，所以正方形的周长是 605=12（），故正方形的边长 是 12 4=3（），那么原来长方体的高为 3+5=8（），所以原长方体的体积是 338=72（立方厘米）。例 7. 用 125 个棱长为 1 的正方体拼成一个棱长为 5 的正方体，要使正方体 的棱长变为 6 ，则需要增加棱长为 1 的正方体多少个？ 分析与解答：因为棱长为 6 的正方体的体积是 666=216（3），则需要 216

6、 个棱长为 1 的正方体，所以增加了 216-125=91（个）例 8. 有甲、乙两个水箱，甲水箱长 12dm，宽 8dm，高 5dm；乙水箱长 8dm，宽 8dm，高 6dm。甲水箱装满水，乙水箱空着。现将甲水箱里的一部分水抽到乙水 箱中，使两个水箱的高度一样。现在两个水箱的水面高多少分米？ 分析与解答： 可以把两个水箱并列放在一起看成一个水面高度相等的大水箱， 大 水箱里面水的体积应该和甲水箱里面水的体积是相等的， 大水箱的底面积等于两 个水箱底面积的和，甲水箱的体积是 12 8 5=480（dm3），大水箱的底面积是 128+88=160（ dm2），则大水箱水面的高度为 480160=

7、3（dm），即现在两个 水箱的水面高 3 分米。例 9. 一块长方形纸板，长 30 ，宽 20 ，在这张纸板的四个角上分别去掉边 长为 5 的小正方形，然后拼成一个无盖的纸盒。这个纸盒的容积是多少？ 分析与解答：要求长方体纸盒的容积，关键要求出该纸盒的长 宽、高。由图形可知这个纸盒的长是 30-5 2=30（），同样 宽为 20-5 2=10（），高是 5 ，所以这个纸盒的容积是 30105=150（ 3）。例 10. 一个长方体鱼缸，从里面量长是 40 ，宽是 25 ，高是 15 。把一个 棱长为 8 的正方体花岗石放入鱼缸内， 花岗石完全浸入水中 （水未溢出） 鱼缸 内水面升高多少？ 分析

8、与解答：花岗石完全浸入水中，水面上升的那部分体积就可以看作一个长 40，宽 25 的长方体，它的面积就是花岗石的体积，即 888=512（ 3）， 那么鱼缸内水面升高 5124025=0.512 （） 二、能力训练。1. 一个长方体木块被截成两个完全相同的正方体。两个正方体的棱长之和比原 来长方体的棱长之和增加了 16 .求原来长方体的长是多少厘米。2. 李叔叔做了一个木制框架，他想给木制框架涂红、绿两种颜色，使这个正方体每个面有且只有一条绿棱，李叔叔应该涂几条绿棱？几条红棱？3. 一个正方体木块，把它分成 3 个大小相同的长方体后，变面积增加了 36 2， 这个木块原来的表面积是多少平方厘米

9、？4. 把 4本同样长 10、宽 7、高 5 的长方体词典摆放成一个大长方体， 要使其变面积最小，应该怎样摆？最小表面积是多少平方厘米？9 个棱长为5. 如右图所示的立体图形是由 这个立体图形的表面积是多少？6. 某果汁饮料厂原来用棱长是 10 的正方体包装果汁，改进生产工艺后，把原 来包装改成了棱长是 5 的正方体，请你帮忙算一算，原来装 200盒果汁饮料， 现在要装多少盒？（包装盒厚度忽略不计）7. 一个长方体的高如果增加 2 ，就成为一个正方体（如下图） ，这时的表面积 比原来增加了 48 2。这个长方体的体积是多少？8. 一个长方体木料，从上部和下部分别截去高为 3 和 2 的长方体。

10、剩下的 部分便成为一个正方体 （如下图），表面积减少了 120 2。原长方体的底面积是 多少？9. 一个长方体，如果长增加 3 ，宽、高不变；或者宽增加 4 ，长、高不变； 或者高增加 5 ，长、宽不变，它们的体积都增加 60 3。这个长方体原来的表 面积是多少平方厘米？10. 一个长为 9 的正方体木块，在它的前、后两个面的中心挖去一个相同的正 方体，截口是边长为 2 的正方形。剩余木料的表面积是多少平方厘米？10. 一个长方体木块，长、宽、高分别是 9dm、4dm 和 6dm，把它锯成若干个小 正方体，再拼成一个大正方体。这个大正方体的表面积是多少？11. 有一张长为 24 的正方形纸，如果在它四个角上分别剪去一个边唱为整厘 米数的小正方形，就可以做一个无盖的纸盒。现在要使做成的纸盒的容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？12. 一个长方体，如果长缩小 2 ，宽和高不变，则体积缩小 48 3；如果宽增 加 3 ，长和高不变，则体积增加 99 3；如果高增加 4 ，长和宽不变，则体 积增加 352 3，那么原来长方体的表面积是多少平方厘米？13. 一个长方体容器，从里面量底面长 60，宽 35，高 10 ，原来里面水 高 8 ，里面放一个长方体钢块并完全浸没在水中， 当钢块取出时， 容器里面的 水溢出 600 毫升，如果钢