连续梁按弹性理论五跨梁内力系数及弯矩分配法

1、附表25 :等截面等跨连续梁在常用荷载作用下按弹性分析的内力系数（五跨梁）k1AttnAfi跨内發大仍MifttMjMb5MrMrMKVA斗Vb叫VfeVp一0. 0530.0260.034-0.0660.0490.049-0. 060. 1840. 2660.250-0. 2S00. 234一 0 2660.3160. 184F -A0.067a 059-0. 033一0 025-0. 0250. 0330. 2170. 283 一0 0080. 0080.250一 0 250_0 008一0 0080.2830.217厶虫沁仪%厶0.055-0. 033-0.025-0.025-0.033

2、0. 033-0. 0330. 258-0. 242 上0. 242-0. 2580.0330. 0330.0490QU0.053一0 075一 0.014一0. 028-0.0320. 1750. 32S0. 3110. 189 -0.0140.0140. 246一 0.2550.032 0. 032厶昭Xg他归0.0660.0390.0440.022-0.070-0.013-0.036-0.022一0 0220.202-0. 2980.307-0. 193I -0. 023-0.0230. 2860.214厶且且0.0630.0420. 011一 0.0030. 0010. 208一 0.

3、 2920.0530.053-0.014- 0 0140.0040.004-0.001_0 0014厶0.051一 0.031-0.0340. 009一 0. 002一 0.031一 0.0310. 247- 0.2530.0430.043-0.011-0.0110. 0020.002d 厶 4 %d a0.0500. 008一 0. 033-0. 0330. 0080. 0080. 0080.041-0.0410. 250-0. 25(0.0410.0410. 0015-0. 0730.0730.493-0. 5070.1020.102- 0.027-0.0270.0050.005力屮:厂Q

4、 a q厶d厶0.1710.020一0 079一 0.0790.0200.0200.020-0.099一0 0990.500-0. 5000.0990.099-0.02C-0.020弯矩分配法（弯矩分配法计算连续梁和刚架及举例）一、名词解释弯矩分配法在数学上属于逐次逼近法， 但在力学上属于精确法的范畴， 主 要适用于连续梁和刚架的计算。 在弯矩分配法中不需要解联立方程， 而且是直 接得出杆端弯矩。 由于计算简便， 弯矩分配法在建筑结构设计计算中应用很广。（一）线刚度 i 杆件横截面的抗弯刚度 EI 被杆件的长度去除就是杆件的线刚度i ：EI（a）当远端 B 为固定支座时，对于 A 点处， AB

5、 杆的转动刚度 SAB 4i ；（b）当远端 B 为铰支座时，对于 A 点处， AB 杆的转动刚度 SAB 3i ；（c）当远端 B 为滑动支座时，对于 A 点处， AB 杆的转动刚度 SAB i ；（d）当远端 B 为自由端时，对于 A 点处， AB 杆的转动刚度 SAB 0 。 连续梁和刚架的所有中间支座在计算转动刚度时均视为固定支座。（二）转动刚度 S 转动刚度表示靠近节点的杆件端部对该节点转动的反抗能力。 杆端的转动刚度 以 S 表示，等于杆端产生单位转角需要施加的力矩， S M / 。施力端只能发 生转角，不能发生线位移。 SAB 中的第一个角标 A 是表示 A 端，第二个角标 B

6、是表示杆的远端是 B 端。 SAB 表示 AB 杆在 A 端的转动刚度。（三）分配系数 MABSABA4iABAMACSACAi ACAMADSADA3i ADAMSAB ASACASAD AM ABM AC M ADMMASABSACSADSM ABABM ACM ADSACAD各杆 A 端所承担的弯矩与各杆 A 端的转动刚度成正比。M Aj Aj MAjSAjSAj 1Aj 称为分配系数，如 AB表示杆 AB 在 A 端的分配系数。 它表示 AB 杆的 A 端在节点诸杆中，承担反抗外力矩的百分比，等于杆 AB 的转动刚度与交于 A 点各杆的转动刚度之和的比值。总之，加于节点 A 的外力矩，

7、按各杆的分配系数分配于各杆的 A 端四）传递系数 CM AB 4iAB AM BA2iABAM AC i AC A M CA i AC AM AD 3iAD AM DA 0M jiM ijCijCij称为传递系数。传递系数表示当近端有转角（即近端产生弯矩）时，远端 弯矩与近端弯矩的比值。因此一般可由近端弯矩乘以传递系数 C 得出远端弯 矩。当远端为固定的边支座或为非边支座 C 12 ； 当远端为滑动边支座 C 1； 当远端为铰支边支座 C 0 。 M AB CAB M AB系数 C AB称为由 A端至 B端的传递系数 节点 A 作用的外力矩 M ，按各杆的分配系数 分配给各杆的近端；远端弯矩

8、等于近端弯矩乘以传递系数。（五）杆端弯矩 弯矩分配法解题过程中所指的杆端弯矩是所有作用于杆端的中间计算过程的 最后总的效果。计算杆端弯矩的目的，是因为杆端弯矩一旦求出，则每相邻节点之间的“单跨 梁”将可以作为一根静定的脱离体取出来进行该杆的内力分析。 其上作用的荷 载有外荷载， 每一杆端截面上一般有一个剪力和一个弯矩， 两端共有二个剪力 和二个弯矩。这两个弯矩就是两端的杆端弯矩，既然它们已经求出，那么余下 的两个剪力可由两个静力平衡方程解出。（六）近端弯矩和远端弯矩二、弯矩分配法的思路 在求杆端弯矩时，其主要的目标是：（1）由于节点上有两根或多根杆件汇集，因此需确定每一根杆在维持节点不 转动平

9、衡过程中所作出的贡献。 这需要用到分配系数 以及与分配系数 有关 的转动刚度 S、线刚度 i 、截面刚度 EI 等值。（2）影响节点产生转动的力矩大小及方向。这需要涉及到单跨梁的固端弯矩M ，它的含义是： 将每相邻节点之间的杆件视为一根两端支座为固定支座或一 端固定一端铰支的单跨梁， 这样的梁在各种外荷载作用下的杆端弯矩叫做固端 弯矩。两端铰支的单跨梁无固端弯矩， 即两端铰支的单跨梁的两铰支端的固端弯矩为 零。只有固定端才有固端弯矩，铰支端的固端弯矩为零（单跨梁 ）。固定端不允许转动所以产生固端弯矩，而铰支端允许转动不产生固端弯矩。三、弯矩分配法的运算步骤 连续梁或刚架弯矩分配法运算过程： （

10、1）求各杆件（梁或柱）的线刚度 i、杆端（梁端或柱端）转动刚度 S 和分配 系数 （对于刚架，参加分配系数计算的不仅有梁，还有柱）。（2）根据各个“单跨”梁或柱的荷载情况和支座特征查表求出各“单跨”杆 件在杆端的固端弯矩 M 。这里需注意的是固端弯矩是带符号的，可以用“左负 右正”四个字来帮助记忆。即对每一“单跨”梁而言，左端的 M 取负值或零， 右端的 M 取正值或零。当“单跨”的边支座为铰支座时，它不能抵抗杆件的转 动， 所以边支座为铰支座时的 M =0；但对于所有非边支座， 则一律视为固定端 支座。（3）将与同一支座相连接的各杆的固端弯矩M 取代数和后反号按分配系数分配到与支座相连的各杆

11、杆端。这一步的注意点是将 固端弯矩代数和反号再分 配。（4）将分配得到的弯矩视该节点各杆远端支座特征决定是否向远端传递。这 种分配、传递将可能进行多次。这种次数只要进行的足够，从理论上讲将可以 达到任意要求的精确度。 但是工程实践上则只要进行 23 个循环即可满足正式 结构设计的要求。（5）将上面四步运算之后的与同一节点相连的每根杆件杆端的固端弯矩、分 配弯矩、传递弯矩分别求代数和，即为各杆的杆端弯矩。这一步的注意点是与 同一支座相连的各杆的杆端弯矩代数和必定为零， 否则说明计算上有错， 或尚 需进一步分配、传递。静定结构的内力只按静力平衡条件即可确定， 其值与结构的材料性质和截 面尺寸无关。

12、超静定结构的全部反力和内力如只按静力平衡条件则无法确定， 还必须同时考虑变形协调条件 （即各部分的变形必须符合原结构的联接条件和 支承条件） 才能得出确定的解答， 故超静定结构的内力状态与结构的材料性质 和截面尺寸有关。 在荷载作用下， 超静定结构的内力只与各杆刚度的相对比值 有关，而与其绝对值无关；在温度改变、支座移动等因素影响下，超静定结构 的内力则与各杆刚度的绝对值有关，并且一般是与各杆刚度的绝对值成正比 的。对非结构专业来说， 特别是对建筑学专业， 不可能花大量的精力去从事对 超静定结构的矩阵分析， 因此弯矩分配法这样简明适用的方法就更有它的实际 意义。一方面，弯矩分配法可以满足对一般

13、正式结构设计的要求；另一方面， 可以使建筑师加强对结构的概念设计。所以其优越性是显而易见的。例 8-1 图示一连续梁，用弯矩分配法作弯矩图解：（ 1）求分配系数a. 杆 AB 和杆 BC 的线刚度 i ElI 相等b. 转动刚度：SBA4iSBC3ic. 分配系数：BC 4i 3i 3i 0.429d. 校核：BA+ BC =1，分配系数写在节点 B 上面的方框内。2）求固端弯矩 M ，把梁看成两根独立的单跨梁。查表： AB 跨属表编号，而 BC 跨属表编号。Pab220 332M ABl26215kN mPa2b20 323M BA2215kN ml262ql22 62M BC9kN m88

14、M CB0将结果写在相应杆端的下方。在节点B， BA 梁与 BC 梁在 B 端的固端弯矩代数和为M B M BA M BC 15 9 6kN m（）分配并传递，将节点 B 的固端弯矩代数和反号得被分配的弯矩为 kNm ，此弯矩按分配系数分配于两杆的 B 端；并由于 A 端为固端边支座，所 以由 BA 杆的 B 端向 A 端传递去 B 端弯矩的一半； C 端由于是铰支边支座，故传递系数为零，即不向C 端传递。a. 分配弯矩：MBA 0.571( 6)3.43kN mMBC 0.429( 6)2.57kN mb. 传递力矩：1.72kN m11M AB M BA ( 3.43)22M CB 0用箭

15、头表示弯矩传递的方向。（4）将以上结果竖向叠加，即得到最后的杆端弯矩。可列表进行，最下面一 行表示最后结果。注意 B 节点应满足平衡条件：M 11.57 11.57 0注意 A 端是固定边支座，只有一根杆 AB ，其分配系数为 1，故它虽有固端弯 矩 M AB 15kN m ，但不存在分配或向 B 端传递的问题，可 A 端却可以接受从 B 端传递过来的弯矩。（5）计算跨中弯矩a. 将 AB 梁按简支梁画出计算简图， 其上的荷载有两种， 一是本来存在的集中 荷载， 二是在它两端按弯矩分配法算出的杆端弯矩，以集中力偶的形式作用于A、 B 两杆端处。见图 8-10（a）。b. 将 AB 梁按两端简支

16、梁情况下，仅作用有集中荷载时求出在中点的弯矩，见图 8-10（b）。 M中 荷载 10 3 30kN mc. 将 AB 梁按两端简支梁情况下， 仅在两端分别有杆端弯矩作用下求出中点的弯矩，实际上是一个几何梯形的中位线长度纵坐标，见图8-10（ c）M 中 杆端16.72 11.5714.15kN m2d. 跨中点弯矩的最终结果为b 、c 两步纵坐标的代数和。梁段上的其它任一点的弯矩也可以参照以上方法求出。中点弯矩为M 跨中 M 简支 M 杆端 30 - 14.15 15.85kN m（6）在计算有多个节点的连续梁或刚架时，若将两个节点同时分配和传递， 这两个节点既可相邻也可是被一个节点在当中隔

17、开的形式。若从不平衡力矩 （即节点四周各杆的杆端弯矩的代数和）较大的节点开始，可使收敛较快。（7）作弯矩图a. 用弯矩分配法列表计算出的都是各杆带正号或负号的杆端弯矩。 正顺负逆（顺正逆负）b. 带 +号（正号一般省略不写）的杆端弯矩使杆端作顺时针旋转，此时想象杆 端往远端方向稍远一些的横截面固定不动。 比如图 8-9 中 AB 杆在 B 端的杆端 弯矩MBA 11.57kN m，想象离 B端稍往左处的杆截面（图 8-9中的 D-D 截面） 固定不动，由于正号杆端弯矩 +11.57kN m，所以它使 B 端绕这个想象中被固 定的横截面作顺时针旋转。显然这个 +11.57kN m的杆端弯矩使 A

18、B 上这小段 杆件 BD 的上部纤维受拉，下部纤维受压。我们总是把弯矩图画在杆件的受拉 纤维一侧。因此 AB 杆在 B 端的杆端弯矩 11.57kN m应画在杆的横线的上方。c. 带负号的杆端弯矩使杆端作逆时针旋转，此时也同样想象离杆端往远端方 向稍远一些的横截面固定不动。比如图8-9中 AB 杆在 A端的杆端弯矩MAB 16.72kN m，想象离 A 端稍往右处的杆截面（图 8-9 中的 E-E 截面）固定 不动，由于是负号杆端弯矩 -16.72kN m，所以它使 A 端绕这个想象中被固定 的横截面作逆时针旋转。 显然这个 -16.72kN m 的杆端弯矩使 AB 上的这一 “小 段”杆件

19、AE 的上部纤维受拉，下部纤维受压。根据弯矩图总是画在杆件的受 拉纤维一侧的规定，因此 AB 杆在 A 端的杆端弯矩 -16.72kN m 也应画在代表 杆的横线的上方。d. 至于每一单跨上的跨中弯矩，只需凭弯矩图总是画在受拉纤维一侧这个规 定和跨中弯矩的计算过程就可以正确的决定它是画在代表杆的横线上方还是 下方。（8）计算剪力a. 按每一单跨杆件分别取脱离体求剪力。把每一单跨梁看成简支梁，它的荷 载有三种： 第一种是原来就作用在单跨上的荷载。 第二种是用弯矩分配法算出 来的杆端弯矩。第三种是简支梁的两端两个支座反力，它们是未知的，由于脱 离体可列出两个静力平衡方程，而支座反力也恰好为两个，故

20、可顺利求出。而 这两个支座反力，就是我们要求的剪力。杆端剪力在这里起了“支座反力”的作用。因此将“支座反力”用箭头表示， 方向和大小假定，先不考虑它的真实指向和大小。b. 按简支梁求支座反力的方法列出平衡方程可求出箭头所示力的大小和正负 号。剪力大小即等于支座反力，从解方程直接得出，剪力的方向视箭头所示力 的正负号而定。如果是正号，说明箭头指向就是真正的指向；如果是负号，说 明与原假定的指向相反。画出剪力图。例 8-2 试计算图 8-11 连续梁的杆端弯矩和跨中弯矩。并作弯矩图解：1）求固端弯矩：M BA80 3 3 (6 3) 90.0kN mM BC2 6230 102-250.0kN m

21、M CB1230 102250.0kN m12M CD160 352 -187.5kN mM DC82160 3 5 112.5kN m82编号1编号7编号7编号5编号5（2）求分配系数：a. 对节点 B，相邻两杆 BA 、BC 的转动刚度SBASBC3i4i3 2 64 1 4所以BA 6640.6（无单位 ）BC 10.60.4（无单位）b. 同理，对节点 C 有：SCB4i4 1 4SCD4i414CB4440.5（无单位 ）CD 1-0.50.5（无单位）（3）分配结果见图8-11。（4）求跨中弯矩a. 对 AB 跨：80 6-0200.9M 跨中19.55kN m42b. 对 BC

22、跨：30102 -200.9 237.3M跨中155.9kN m8-2c. 对 CD 跨见图 8-12在集中力作用下， CD 跨的最大跨间弯矩发生在集中力 P=160kN 作用点。（ a）在集中力作用下，该点的简支梁弯矩（图8-12b ）160 3 5M1300kN m18（ b）在杆端弯矩作用下，该点的负弯矩为（图8-12c）5 （237.3 87.7）M 2 87.7 181.2kN m 28（c） 该点的弯矩为 M1和 M 2的代数和。M跨中 300 - 181.2 118.8kN m （5）作出连续梁的弯矩图。例 8-4 试用弯矩分配法计算图 8-14（ a）所示等截面连续梁（带悬臂梁

23、）的各 杆端弯矩。并作弯矩图。已知各杆 EI 值为： AB 为 6，BC 为 4，CD 为 4，DE 为6 。解：此梁的悬臂 EF 为一静定部分， 该部分的内力根据静力平衡条件便可求得： MEF 40kN m,VEF 20kN 。若将该悬臂部分去掉，而将 MEF和VEF 作为外力作用于节 点 E，图 8-14（ b）,节点 E 便化为铰支端，整个计算即可按此考虑。计算分配 系数时，其中DCDE61.534242iCB6342iDC6361.5342i ABi BCiCDi DE4iDCiBAiED4iDC3iDE3iDE4i DC3iDE423 320.3720.628计算固端弯矩时，对杆 D

24、E ，将相当于一端固定另一端铰支的单跨梁，除跨中 受集中力作用外，并在铰支端 E 处受一集中力和一集中力偶的作用。其中作 用在 E 端的集中力为支座直接承受， 在梁内不引起弯矩， 而 E 端的力偶 40kN m 将使杆 DE 引起固端弯矩，其值 MDE为 DE 跨在 D端的固端弯矩 M DE (编号 1) 与 EF 跨在 E 端的固端弯矩 M EF向远端 D 的传递弯矩 MDE之代数和，即1 60 2 2 (4 2) 1M DE M DE M DE M DEM EF2 40 25kN m8-14其余固端弯矩均可查表求得。分配及弯矩图见 例 8-5 求图 8-15 所示刚架的弯矩图。解：1）转动

25、刚度：i ABi BCiCDi BEiCF44554434361, SBA3iBA1iCB , SBC1, SCD3iCDSBE4i BE 42 , SCF4i CF4i BC 4122（2）分配系数： 节点 B ：节点C：3）SSBASBCSBEBA130 0.3,BC140 0.4,BE130 0.3SCB SCD40.445,9固端弯矩：由于只有梁有外荷载，2 4282 5212mM BAM BCCBM CB力矩分配：按ql28ql2124.17kNSCFCD3 0.333,9故也只有梁才有固端弯矩，它们为4kN m4.17kN mCF92 0.222编号 2反对称编号7编号7（4）序可以任取，并不影响最后的结果。但为了缩短计算过程，最好先放松不平衡C、 B 顺序分配两轮，计算见图8-16（a）,放松节点的次力矩较大的节点，在本例中，先放松节点 C 较好 （5）作弯矩图。图 8-16（ b）