几何证明——角平分线模型

1、几何证明一一角平分线模型（中级）【知识要点】1、角平分线：（1 ）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）；（2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用：证明两角相等或一 条射线是一个角的角平分线）。2、角平分线常见用法（或辅助线作法）：垂两边：如图1，已知BP平分.ABC，过点P作PA _ AB , PC _ BC，则PA = PC。PA/AC，则AB = AP ；如图3,已知BP平分.ABC ,截两边：如图2，已知BP平分.MBN，点A BM上，在BN上截取BC二BA，则.：ABP ；CBP 。+平行线t等腰三角形:

2、角平分线三线合一（利用角平分线 +垂线t等腰三角形）ABDC如图 5，已知 AD 平分 BAC，且 AD _ BC，则 AB = AC , BD =CD。C(5)3、角平分线比例定理如图6, AD为 ABC的角平分线，则或二 丛AC CD BD CD【经典例题】例 1、已知如图，：ABC 中，BC =AC , AD 平分.CAB，若.C =90 ，求证：AB = AC CD ；C例 2、如图，在 Rt ABC 中，.ACB =90 , CD _ AB 于 D , AF 平分.CAB 交 CD 于 E，交 CB 于 F ,且EG / AB交CB于G。试求：CF与GB的大小关系如何？B例 3、已知

3、如图，AABC 中，BC=AC，AD 平分.CAB，若.C = 108 ，求证：A AC BD ；例4、如图：已知I是. ABC的内心，DI/AB交BC于点D， EI/AC交BC于E。求证：；DIE的周长等于BC。例5、如图：已知在.ABC中，.ABC的平分线与 ACB的外角平分线交于点 D , DE / BC，交AB于点E，交AC于点F，求证：EF二BE - FC 。M例6、如图，已知 ABC中.BAC = 90 , AB二AC,CD垂直于.ABC的平分线BD于D , BD交AC于E ,求证：BE =2CD。【提升训练】1、如图，已知 ABC的周长是21,OB,OC分别平分 ABC和 ACB

4、，OD _ BC于D，且OD =3，求ABC的面积.C2如图， ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则Sa ABO : SA BCO :Sa cao=3.如图，/ AOB=30 , OP 平分/ AOB , PC/ OB , PD 丄 OB，如果 PC=6，那么4 .如图，AD是厶ABC的角平分线，DF丄AB，垂足为F, DE=DG， ADG和厶AED的面积分别为 50和39,求 EDF的面积.5.已知如图在 ABC中，/ ACB=90 , CD丄AB于D，/ A的平分线交 CD于F, BC于E,过点E作EH丄AB 于 H .求证：EC=CF=EH .

5、6已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E, F, G, H，求证：四边形 EFGH是矩形.BE 求证： ACD BCE ;延长BE至Q , P为BQ上一点，连接 CP、8如图，已知在 ABC中, 个距离是多少？7如图，等边 ABC中，AO是/ BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在 CD下方作等边 CDE , 连接(1)(2)Q/ B=90，两直角边 AB=7，BC=24，在三角形内有一点 P到各边的距离都相等，则这9.已知：如图在 ABC 中，/ C=90，AD 平分/ BAC，交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD : CD=9 : 7,求：D 到AB边的

6、距离.C10 如图， ABC中，点D在BC上，记 ABD的面积为Si， ACD的面积为S2，若Si:S2=AB : AC ,贝UAD是厶ABC的角平分线.请说明理由.11、如图，已知在AABC中，分别以AC, BC为边向外作正 厶BCE、正 ACD , BD与AE交于M，求证:(1) AE = BD。( 2) MC 平分 DME。E12、已知：如图， AP、CP分别是；ABC外角.MAC和.NCA的平分线，它们交于点 P，求证：BP为 MBN的平分线。13、如图， AB =2AC,. BAD =/DAC, DA = DB，求证：DC _ AC。C14、如图，已知 AC / BD、EA、EB分别

7、平分.CAB和 DBA,CD过点E，求证：A AC BD 。15、如图，ABC中，AD是.A的平分线，E,F分别为AB, AC上一点，且 EDF， BAF =180 ,求证：DE =DF。A16、已知：AC 平分.BAD , CE _ AB, /B ED =180，求证：AE 二 AD BE 。17、已知，在.IABC中，BP、CP为角平分线，过P点作EF / BC交AB于E，交AC于F。求证：EF = BE CF。18、已知如图， AD 平分.BAC，AC 二 AB BD，求证：.B = 2. C。119、如图，在四边形 ABCD中，AC平分.BAD，过C作CE _ AB于E ,并且AE (

8、AB AD)，求 2证： ABC ADC =180。DA20、已知 ABC中，AB二AC , GE过A且GE / BC , . B的平分线与 AC和GE分别交于D、E , . C的平分线与 AB和GE分别交于F、G。求证DE二FG 。121、如图，已知线段 AB / CD , AD与BC相交于点F , BE平分.ABC , AE = 1 AD，猜想线段 AB、2BC、CD三者之间有怎样的等量关系 ？请写出你的结论并予以证明。22、如图，已知 ABC 中，CE 平分.ACB，且 AE _ CE , . AED CAE=180，求证：DE / BC。23 .如图所示，在四边形 ABCD中，/ A=

9、90 AD=4，连接 BD , BD丄CD，/ ADB= / C.若P是BC边上一动 点，贝U DP长的最小值为 .24 如图所示，过线段 AB的两个端点作射线 AM、BN，使AM II BN，/ MAB和/ NBA的平分线交于点 E，过 点E作一直线垂直于 AM，垂足为点 D，交BN于点C (1)观察DE、EC,你有什么发现？请证明你的结论；(2)请你再研究 AD+BC与AB的关系，并给予证明.25 .已知:如图所示，AQ，BM，CN是厶ABC的三条角平分线试说明AQ，BM，CN交于一点.26 .如图， ABC 中，/ C=90，AD 是角平分线， AC=8，AD= ，求/ B、BC、AB

10、.27 如图，已知/ BAC=90，AD 丄 BC 于点 D，/ 1 = / 2，EF II BC 交 AC 于点 F.试说明 AE=CF .28 .如图，已知点 B，C分别在射线 AN，AM 上，/ MCB与/ NBC的平分线交于点 P.(1)求证：AP 平分/ BAC ;(2)若/ ACB=90 ，PC=4 迈，PB=5，AB=7，求 AP 的长.29 .如图， ABC 中，AC=BC , AD 平分/ BAC，若 AC+CD=AB，求/ C 的度数.30 .如图，在 ABC中，/ C=90，M为AB的中点，DM丄AB，CD平分/ ACB，求证：MD=AM31 如图， ABC中，D为BC的

11、中点,DE丄BC交/ BAC的平分线于E，EF丄 AB，交 AB 于 F，EG 丄 AC，交AC的延长线于 G,试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.32 已知：点 P为/ EAF平分线上一点， PB丄AE于B，PC丄AF于C,点M、N分别是射线 AE、AF上的点，且 PM=PN .(1) 当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时(如图1)，求证：BM=CN ;(2) 在(1)的条件下， AM+AN= AC ;(3) 当点M在线段AB的延长线上时(如图 2),若AC : PC=2 : 1，PC=4，求四边形 ANPM的面积.33 .已知：/ DAB=120 , AC 平分/ DAB，/ B+ / D=180 .(1) 如图 1,当/ B= / D 时，求证： AB+AD=AC ;(2) 如图2,当/ BZ D时，猜想(1)中的结论是否发生改变并说明理由.34、如图，已知