理论力学习题质点动力学基本方程

1、 104 理论力学第9章质点动力学基本方程一、是非题(正确的在括号内打“丁”、错误的打“x”)() (X ) (X )(J )(X )(X )1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。5. 凡运动的质点一定受力的作用。6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。二、填空题1. 质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。2. 质点动力学的基本方程是= * ,写成自然坐标投影形式为加2 吟=工&

2、 0 =工冷。 保持其原有运动状态不变的属性称为惯性,4.质量为加的质点沿直线运动，其运动规律为x = bln(l + ),其中为初速度，b 为常数。则作用于质点上的力尸=-一吵L0+V)-5飞机以匀速在铅直平面内沿半径为，的大圆弧飞行。飞行员体重为P,则飞行员 v2对座椅的最大压力为P(l + ) O 三、选择题1. 如图9.6所示，质量为加的物块A放在升降机上，当升降机以加速度d向上运动 时，物块对地板的压力等于(B)。(A) mg(B) ni(g + a)(C)- a)(D)02. 如图9.7所示一质量弹赞系统，己知物块的质量为?，弹赞的刚度系数为c,静伸 长量为原长为若以弹赞未伸长的下

3、端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成(B)o(A)Cnx + x = 0 tn(B)x + (x-Sj = 0 Hl(C)x + -(x-Ss)=g m(D)x+ (x +认)=0 tn3.在介质中上抛一质量为加的小球，已知小球所受阻力R = -kv 104 图9.6笫9章质点动力学基本方程 105 坐标选择如图9.8所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段(A),下降段(A )。(A) nix = -mg - kx(C) -nix = -mg - kx(B) mx = -mg + kx(D) -nvc = -mg + kx图9.7图9.8四、计算题9-1质量为加的物体放在匀速

4、转动的水平转台上，它与转轴的距离为I如图9.9所示。 设物体与转台表面的摩擦系数为/,求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。解：选物块为研究对象，受力分析如图所示。应用自然坐标形式的质点动力学微分方程, 有co WFN-mg=0 m rco1 = Fs 根据静滑动摩擦定律，有FsW/Fn，代入上式，有即物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速为max9-2如图9.10所示离心浇注装置中，电动机带动支撑轮A、3作同向转动，管模放在 两轮上靠摩擦传动而旋转。铁水浇入后，将均匀地紧贴管模的内壁而自动成型，从而可得 到质量密实的管形铸件。如己知管模内径P = 400nmi,求管模的最低

5、转速”。图9.9解：要使铁水浇入后能均匀地紧贴管模的内壁，管模转动时要有一定的转速。为求管 模的最低转速，可选管模内最上端的一微段铁水为研究对象。在临界转速下，铁水不受内 105 106 理论力学壁作用，其只受重力作用。受力分析如图所示。列质点动力学微分方程，有解得e = = 7(md/s)管模的最低转速舁为n = 了 3 = 67(r/mm)7t9-3物体自地球表面以速度儿铅直上抛。试求该物体返回地面时的速度岭。假定空气 阻力R = mkv2,其中R是比例常数，按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。m是 物体质量，是物体的速度，重力加速度认为不变。解：物块在上升的过程中，其运动过程如右

6、图(a)所示。应用质点运动微分方程，有 dv. 9m =-mg - mkrdt而纟=纟.尘=*,所以上式可以写成 dt dx dt dxv0vdv _ m7TI7=_ x图)物体自地球表面铅直上抛到最高点，其速度由岭变成o,而坐标由o变成/?。两边积分, 有这样有10(1+逼2kg物块在下落的过程中，其运动过程如右图(b)所示。应用质点运 微分方程，有上式可写成dv. 9m =mg - mkr atV1图(b)vdv .=ClX g-kv物体自最高点下落到地面，其速度由0变成内，而坐标由0变成/?。两边积分，有仝=血Jo g _ kv Jo解得 106 笫9章质点动力学基本方程107这样，有解

7、得扫（1+牛）十占9-4静止中心O以引力F = k2mr吸引质量是加的质点M，其中k是比例常数，r = OM是点M的矢径。运动开始时OM=b,初速度为勺并与OM。的夹角为a,如图9.11所示。求质点M的运动方程。解：应用直角形式的质点运动微分方程，有ClX?m = -FcosO = -kfcos。= -kmx dr=-F sin & = -k2m rsin 0 = -k2my上面两式可分别写为匚+心丫 = 0,匚+后=0drdt1其微分方程的通解可写为x= coskt + Bsmkt，y = A2coskt + B2smkt代入初始条件If dxi八 dy4=0 = b 9 37 =vocos

8、a, y|z=0 = 0 , =vosinaai r=0ai r=0可解得. 门 v0cosa . c v0 sin aA= b 9 B = 9 心=，B?=KK质点M的运动方程可写为. Vncoscr . .vosina .,x = bcoskt + sink/ , y = sink/k k9-5如图9.12所示，胶带运输机卸料时，物料以初速度心脱离胶带，设“与水平线的 夹角为求物体脫离胶带后，在重力作用下的运动方程。解：建立如图所示的坐标系。物料脱离胶带后只受重力作用，应用质点运动微分方程,dt2仝=0, dt2=g 107 108 理论力学其微分方程的通解可写为1 9x=At+By y

9、= -gr + Ct + D代入初始条件I c dxI c 心xl=o = 0 示 =vocosa, y|z=0 = 0 , =vosinaai r=0ai r=0可解得A = vQcosa , 3 = 0, C = vosina , ) = 0物料脱离胶带后的运动方程可写为dv 矿1=0 = =v09-6滑翔机受空气阻力R = -hvv作用，其中k为比例系数，加为滑翔机质量，为滑 翔机的速度。在20时，有八仏，试求滑翔机由瞬时20到任意时刻f所飞过的距离（假 设滑翔机是沿水平直线飞行的）。解：滑翔机可视为质点，不妨假设滑翔机由瞬时到任意时刻f所飞过的距离为几 应用质点的运动微分方程，有n =

10、 -k.nv dt2上式可写为上面微分方程的通解为即 = c严,解得dt代入初始条件可解得 108 笫9章质点动力学基本方程 109 滑翔机由瞬时t = 0到任意时刻t所飞过的距离为$=乎(1严)9-7 一物体质量m = l0kg ,在变力F = 100(1-/)牛顿作用下运动。设物体初速度 vo = O.2m/s,开始时力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前走 了多少路程？解：初始时力的方向与速度方向相同，而且以后变力只是大小改变而方向并未改变， 可见物体作变速直线运动。以开始运动时为坐标原点，沿运动方向取坐标轴。应用质点运 动微分方程，有/?/2 = ioo(i-odr

11、即与= 10(17),解得dr5t2-t3 + Ct + D3代入初始条件1=0 = /=v0解得C = Vq = 0.2 , ) = 0物体的运动方程可写为$ = 5/2八+ 02/3物体的运动速度为v = - = 10/-5/2 + 0.2dt令物体速度为零，即10f-5八+0.2 = 0,解得心2.0“，此时，物体的运动的路程为=1.01mr=2.02叫=2.025, 一？/3 + 02/39-8质量为2Rg的滑块M在力F作用下沿杆运动，杆初在铅直平面内绕4转动, 如图9.13所示。已知5 = 0.4/, 0=0.5/ (s的单位为m,卩的单位为iad, t的单位为s),滑 块与杆的摩擦

12、系数为/ = 0.1o试求/ = 2s时力的大小。(b)图 9.13 109 笫9章质点动力学基本方程 111 图 9.14解：(1)由于球和杆一起以匀角速度血绕铅垂轴佔转动，球具有向心加速度如图 Q)所示。该加速度大小为= rco1 = yl a2 co1(2) 选小球C为研究对象，受力分析如图(b)所示。(3) 应用质点运动微分方程，有Fca sm 0 一 Fcb sin 6 - mg = 0Fca cos 0 + Fcb cos & = fnac其中：sm = -, cose=4 ,代入上式，可得LL厂mL z 7、厂mL z ?、+ fcb = 2ala式中振幅B = 0.1cm，周9

13、-10如图9.15所示，电机4重量为0.6kN,通过连接弹赞放在重量为5kN的基础上, 弹赞的重量不计。电机沿铅垂线以规律y = Bcs争作简谐运动。期T = 0.1s，试求支撑面CD所受压力的最大值和最小值。图 9.159.16解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点运动微分方程，有F/v _ G _ G? = yg解得厂厂 Gi 4龙分2托Fn =z cos t g T2T其中：G、=0.6kN, G2 = 5kN , B = 0.001, 了 = 0.1。计算可得支撑面CD所受压力的最大 值和最小值分别为Y F/vmax = G + G2 + -j-= 5.84kNg 1Fn =

14、 G 严 G?-直兽= 5.36kNg 1 111 112 理论力学9-11如图9.16所示，在三棱体佔C的粗糙斜面上放有重为W的物体三棱体以匀 加速度4沿水平方向运动。为使物件M在三棱体上处于相对静止，试求a的最大值，以及 这时M对三棱体的压力。假设摩擦系数为/,并且ftgao解：(1)物件M在三棱体上处于相对静止，物件M加速度和三棱体的加速度a致如 图(a)所示。(2)选物件M为研究对象，受力分析如图(b)所示。应用质点运动微分方程，有Fn sm a + Fs cos a = aJgFn cos a sin a W = 0其中：Fs= g解得siii a + f cos aa =gcos a - f sin a 仏=cos a-j sm a9-12质量为加的质点受到己知力作用沿直线运动，该力按规律F = F0cosdX变化，其中你，Q为常数。当开始运动时，质点己具有初速度x0 =