2011年普通高等学校招生全国统一考试广东卷

1、2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答 题卡右上角条形码粘贴处”。2 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使

2、用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏涂，错涂、多涂。答案无效。5 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。1参考公式：锥体体积公式 V=-Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。3n_A A AA (x1-x)(y1-y) A _ A线性回归方程y=bx，a中系数计算公式b = Gn,a=y-bZ (x1-X)2样本数据 X1,X2, xa 的标准差， J1+(论x)2+(x2x)+ (xnx)V n其中x,y表示样本均值。N 是正整数，则 an -bn =(a -b)(an，- anb -

3、abn，- bn J)一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。1 .设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则A. -iB. iC. -1D. 12.已知集合A= (x, y) x, y为实数，且x2 y1, B= (x,y) x, y为实数，且x 1则AB的元素个数为A. 4B. 3C. 2D. 13 .已知向量a= (1,2), b= (1,0), c= (3,4)。若九为实数，(a + 丸b)/ c),则丸11A.B.C. 1D. 2424 函数f(X) lg(1 X)的定义域是1 XA. ( _：:, _1)C. (

4、-1 , 1)u( 1, +s)5 .不等式2x2-x-10的解集是A. (2,v)C. (-： , 1)u( 2, +：)B. (1, +：)D. (- ： , +：)B. (1,+：)1D. ( - - ,)_. (1,，：-)b兰x兰J26 .已知平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式 2给定，若M (x, y)为D上的x V2yA. 3B. 4D. 4 27.正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A. 20B. 158.设圆C与圆x2+ (y-3) 2=1外切，与直线C. 12D. 10y =0相切，则C的圆心轨迹为A

5、.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆9.如图1-3,某几何体的正视图 则该几何体体积为(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰三角形和菱形,A. 4 .3I 亠Wit HlB. 4侧视图图2C. 2 - 3D. 2动点，点A的坐标为G. 2,1)，则z=OM OA的最大值为(f Cg)(x)和(f *x)(x)；10 .设f (x), g (x), h ( x)是R上的任意实值函数，如下定义两个函数对任意x R , (f g) (x) = f (g(x) ； (f g) (x) = f (x)g(x).则下列恒等式成立的是A. (f (Jg) h)(x) =(f h)Q(g h)(x)B.

6、(f g)Ch)(x) =(f Jh) (gQh)(x)C. (f Qg)!h)(x) =(f Oh)：(gQh)(x)D. (f g) h)(x) =(f h) (g h)(x)、填空题：本大题共 5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。11.已知an是同等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=312. 设函数 f （x） =x cosx +1，若 f （a） =11,则 f （-a）=13. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间 x （单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率0.

7、40. 50. 60. 60. 4小李这5天的平均投篮命中率为 ;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为.（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）/ = J5cos日尺十14 .（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0兰日 0,讨论函数 f (x) =lnx+a (1-a) x -2 (1-a)的单调性。20. (本小题满分14分)设 b0，数列 n满足 a1=b,a =(n2)nan/n1(1) 求数列(an ?的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数 n , 2an乞bn ”+121 .(本小题满分14分)在平面直角坐标系 xOy中，直线l

8、:x = -2交x轴于点A,设P是I上一点，M 垂直平分线上一点，且满足/ MPO=Z AOP(1) 当点P在I上运动时，求点 M的轨迹E的方程；(2) 已知T (1 , -1)，设H是E上动点，求HO + HT的最小值，并给出此时点是线段OP的H的坐标；求直线|1的(3) 过点T (1, -1)且不平行与y轴的直线I1与轨迹E有且只有两个不同的交点， 斜率k的取值范围。故 sin（二sin ： cos ： cos： sin :13 513 56365参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分。A 卷：1 5DBCBA6 10CADCB二、填空题：本大

9、题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共5小题，每小题 5分，满分20分，其中14 15题是选做题，考生只能选做一题。f 2Q11. 2 12. -913. 0.5, 0.5314. 1,15. 7: 5I 5丿三、解答题：本大题共 6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16. （本小题满分12分）I n 解:（门 yji二-2sin1 ；6“101兀）.（1（兀）兀）.（2）（ = f I + 1= 2sin 汶 13。+ I = 2sin a,13I2丿 13I2丿6丿6 = f （3 ：2 二）=2sini1 （3 ：2二）2sin2cosl-,536.25 R 3

10、.sin ,cos ,135（石丿1317. （本小题满分13分）解:（1）：；6 Xn=756 n#1 6 s2L（XnX）2_5-X6=6x xn=6 75 -70 - 76 - 72 - 70 -72 =90,n d=丄（52 1232 52 32 152 ） =49 ,6（2）从5位同学中随机选取 2位同学，共有如下 10种不同的取法：1 , 2, 1 , 3, 1 , 4, 1 , 5, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68, 75）的取法共有如下 4种取法:1 , 2, 2, 3, 2, 4, 2,

11、5,故所求概率为-.518. （本小题满分13分）证明：（1） ： A,A分别为CD,CD冲点，.O1 A /O1A连接BO2T直线BO2是由直线AO1平移得到.AO1 /BO2.O1 A /BO2-0 , A ,O2,B 共面。(2 )将AO1延长至H使得O1 H=O1A ,连接 HO1 ,HB,H H.由平移性质得O1O2，=hb.bo2 /HO/；AG 二 H o , H H 二 AH , O1 H H GAH = QjHH.H O1 H GH A J2.0 H _ H G.BO2 _ H G(Or O2 一 B O2 , Or O2 - O2 O2, B O2 O2 O2 = O2O1

12、O2 平面 B BO2O2Oi O2 BO2BO2 - H B:H B - H G = HBO2 平面H BG.19.(本小题满分14分)解：函数f (x)的定义域为(0, ：)2f (x) _2a(1-a)x -2(1-a)x 1当a =1时，方程2a(1-a)x 2 -2(1 -a)x T = 0的判别式.: =12(a -1) a -11当0 ： a 时，.0,f (x)有两个零点,3x1 J(a _1)(3a，0 x _ 1 + J(a _1)(3a -1)x1 - 0 , x? 2a 2a(1-a)2a 2a(1-a)且当0 . x 禺或x - x2时，f (x)0, f (x)在(

13、0, x )与(x2, ：)内为增函数;当x : x ： X2时,f (x) : 0, f (x)在(捲兀)内为减函数;当1a ：1 时,：0, f (x) 0,所以f (x)在(0,：)内为增函数;3当当1a =1时,f (x)0(x 0), f (x)在(0,内为增函数;x冲.c 1.(a-1)(3a-1) ca 1 时，0,%0,2a 2a(1a)x21 丄 1(3a_ : 0,所以f (x)在定义域内有唯一零点x1，2a 2a(1-a)且当0沐：人时,f (x)0, f (x)在(0, xj内为增函数；xx-i时f ( x)：0f在xi ) x内为减函数。)f(x)的单调区间如下表:(

14、0, xj(xz)、(X2,(0,(0,xj(为，二). (a -1)(3a -1)(其中x2a 2a(1a)E百)2a 2a(1-a)20.（本小题满分14分）解:(1)由 ab . 0,知ann banj0and n -1anb an令An二丄，Aan- 2时,An1b1b1b山bn1 1 AAn J b b 击A1 丄 bn .当1 1一丄b bn1bbn -1bn(b -1)当b =1 时，An = n.Inbn(b -1),. n ,b=1 an 二 bn -11,b =1（2）当b =1时,（欲证2an2n(b1)兰 bn+bn -1Lb -1只需2nbn ” J芦)n 1b _

15、1 2n 2n 4n 1 nn -2Ab 1)b bb b bb 1IA=bn bn 丄 bn4 n bbn(22 |l(2)= 2nbn,-2an2nbn(b 1)bn -1n -11 +bn _1综上所述2an _ b 1.(本小题满分14分)解：(1)如图1,设MQ为线段0P的垂直平分线，交 0P于点Q,V MPQ r/AOP,. MP _ 丨,且 I MO 冃 MP |.因此. x2 y2 =|x 2|,即2y =4(x 1)(x _ -1).另一种情况，见图 2 (即点M和A位于直线0P的同侧)。v MQ为线段OP的垂直平分线,. MPQ = MOQ.又 T MPQ 二 AOP, M

16、OQ 二 AOP.因此M在x轴上，此时，记 M的坐标为(x,0).为分析M(x,0)中x的变化范围，设 P(-2,a)为I上任意点(a- R).由 |MO FI MP I(即 |x (x 2)2 a2 )得，x = _1 a2 乞-1.4故M (x,0)的轨迹方程为综合和得，点 M轨迹E的方程为4(x 1),x 一 -1,0, x ： -1.（2）由（1 ）知，轨迹E的方程由下面Ei和E2两部分组成（见图 3）:1-2蹈32日：y = 4(X 1)(X _ -1);E2 : y = 0,x ： -1.当H Ei时，过T作垂直于l的直线，垂足为T ,交 E 于 D -1I 4再过H作垂直于|的直线，交I于H . 因此，| HO |=|HH | （抛物线的性质）.| HO | |HT HI HH | HT | |TT 3 （该等号仅当H与重合（或H与D重合）时 取得)。当 H E2 时，则 | HO | | HT | | BO | | BT | 153.综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3,且此时点H的坐标为 -？，-1V 4（3）由图3知，直线