利用导数求曲线地切线和公切线

1、利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2x【解答】解：(I)由 f (x) =2x3 - 3x 得 f( x) =6x2- 3,令 f，( x) =0 得, x= - -或 x= -, 2- f (-2) =- 10, f (-二)=,f ( = ) =- , f (1) =- 1, f (x)在区间-2, 1上的最大值为 二.(n)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y),则yo=2” -3x。，且切线斜率为k=6 ：匚-3,切线方程为 y-yo= (6：,二-3)(x -xo), t - y= (6 ：,二-3)( 1

2、 - xo),即卩 4- 6 . f +t+3=0，设 g (x) =4x? - 6x?+t+3 ,则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”.T g(x) =12x2- 12x=12x (x- 1), g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值. g (0) 0 且 g (1)v 0,即-3v t v- 1,当过点过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切；过点B (2, 1

3、0)存在2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.+1.(1) 求在点P( 1,0 )处的切线l i的方程； 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【例2】.(2014?北京)已知函数f (x) =2x3 - 3x.(I)求f (x)在区间-2, 1上的最大值；(n)若过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切，求t的取值范围；(川)问过点 A (- 1, 2), B (2, 10), C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f (x)相切？(只需

4、写出结论)【例3】.已知函数f (x) =lnax (a0, a R,吕(耳)二土L.x(I) 当a=3时，解关于x的不等式：1+ef (x) +g (x ) 0;(U)若f (x) g (x)(x 1)恒成立，求实数a的取值范围；(川)当a=1时，记h (x) =f (x)- g (x)，过点(1,- 1)是否存在函数 y=h (x)图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由.【作业 1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3 - 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y = 02 t fx) -a + cosdb题意存在xrx2 eR使即厂(舛)厂

5、(兀)= T* SP(i+cosXfl + cos)=_1即关p 的二次方稈卫$ + (cos+ cos&2)a + coscos02 +1 = 0 (*)有实根所以 A = (cos 6(十 cos ft)2 - 4 cos q cos 灵 _4 芒 0 n (cos - cos 4所以 cos-cos2| 2 f 又|co$欧一co$|w2* 所以|cos -0051 = 2所tlcos=l,cos =-1此时方程广)变为沪=0= = 0贝Ua、2b 息二宀池匕、3c，: b2+c2=1，设b=sin ：,a =cos：， &b、“3c 二,5sin( ： J，故 ab+V3c -晶晶，【

6、例5】.已知函数f (x) =lnx - a (x- 1)， g (x) =ex，其中e为自然对数的 底数.(I)设 丄呂仗)，工 (0, +8)，求函数 t (x )在m，m+1 (m 0) 上 的x最小值；(n)过原点分别作曲线y=f (x)与y=g (x)的切线丨1，丨2，已知两切线的斜 率互为倒数，求证：a=0 或7ee【解答】(I)解：,.：-U.-., 上.令 t (x) 0 得 x 1,令 t (x)v 0 得 XV 1 ,所以，函数t (X)在(0, 1)上是减函数，在(1, +X)上是增函数，血当1 时，t (x)在m, m+1 (m0)上是增函数，二,，-,-_ mm m当

7、0vmV 1时，函数t (x)在m，1上是减函数，在1，m+1上是增函数， t (x) min=t (1) =e.(U)设12的方程为y=k2X，切点为(X2, y2)，则二.厂，厂 X2=1, y2=e： k2=e.由题意知，切线1 1的斜率. 一 -，切线1 1的方程为1 k2 e又 y1=lnx 1 - a (X1 - 1)，消去 y1, a 后整理得一；-丨，1 x | e1 1 a=x e令I ：，：,则Ix e-,设 1 1 与曲线 y=f (x)的切点为(X1, y1) , - e丄 m(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +x)上单调递增,若 X1 ( 0, D,：|， 1

8、.,eee1 e2 而.，在I. I单调递减，二 eeee若 X1 ( 1, +),v m(x)在(1, +x)上单调递增，且 m( e) =0, ._ . 1 1 A-X1=e,-i-x e综上，a=0 或-.一.ee【作业2】.(2017?黄山二模)已知函数f (x) = (ax2+x- 1) ex+f (0).(1) 讨论函数f (x)的单调性；(2) 若 g (x) =exf (x) +lnx , h (x) =ex，过 O (0, 0)分别作曲线 y=g (x)与y=h(x)的切线l i, 12,且11与12关于x轴对称，求证：-1vav-二二.2/2四. 求公切线的方程2 o【例6

9、】.(2018?安阳一模)已知函数亠-,g (x) =3el nx，其中e xe为自然对数的底数.(I)讨论函数f (x)的单调性.(U)试判断曲线y=f (x)与y=g (x)是否存在公共点并且在公共点处有公切 线.若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由.【解答】解：(I)由： - ，得CX vi= v令 f (x) =0，得一.f (x)v0；当：:当二且XM 0时,f ( x)在(-X,时，f( x) 0.0) 上单调递减，在：门,上单调递减，在：一单调递增；(n)假设曲线y=f(x)与y=g (x)存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x 0,(x0)=g(z0)(孔

10、)二吕(X。)2爲+皂=3巳1门“ (1)x04乔 2貸，其中(2 )式即e x02 x0记 h (x) =4x3- 3e2x - e3, x ( 0,+x),贝q h (x) =3 (2x+e)(2x - e),得h (x)在.上单调递减，在二八上单调递增，又 h (0) = - e3, ：- 一:- - , h (e) =0,u故方程h (xo) =0在(0, +x)上有唯一实数根xo=e,经验证也满足(1)式. 于是，f (X。)=g (x) =3e, f(x) =g (X0) =3,曲线y=g (x)与y=g (x)的公切线I的方程为y- 3e=3 (x- e),即 y=3x.【作业3

11、】.已知函数f (x) =lnx , g (x) =2-Z (x0)x(1) 试判断当f (x)与g (x)的大小关系；(2) 试判断曲线y=f (x)和y=g (x)是否存在公切线，若存在，求出公切线 方程，若不存在，说明理由；(3) 试比较 (1+1X 2)(1+2X 3)( 1+2012X 2013)与 e 4021 的大小，并写 出判断过程.五. 与公切线有关的参数取值范围问题【例 7】.已知函数 f (x) =blnx , g (x) =ax2- x (a R).(I)若曲线f (x)与g (x)在公共点A (1, 0)处有相同的切线，求实数 a、 b的值；(U)当b=1时，若曲线f

12、 (x)与g (x)在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；(川)若a0, b=1，且曲线f (x)与g (x)总存在公切线，求正实数 a的最 小值.【解答】解：(I) f(x) = , g (x) =2ax- 1.x曲线f (x)与g (x)在公共点A (1, 0)处有相同的切线，rf(l)=blnl=O呂=旷1二0，解得a=b=1.Lb=2a-1(H)设 P (X0, y0 )，则由题设有 lnx 0=ax02 - x，又在点P有共同的切线，二f(x) =g( x ) , - .,x01+辺11二 a= ，代入得 lnx 0=X0,2 2设 h (x) =lnx 丄+x,贝U h(x)

13、=+丄(x0),贝U h( x) 0,2 2x 2 h (x)在(0, +x)上单调递增，所以h (x) =0最多只有1个实根， 从而，结合(1)可知，满足题设的点P只能是P (1，0).(川)当 a 0，b=1 时，f (x) =lnx，f( x)=丄xf (x)在点(t，lnt )处的切线方程为 y - lnt= (x t)，即 y= x+lnx 1. tt与 y=ax2 x，联立得 ax2 (1+ ) x lnt+1=0 .t曲线f (x)与g (x)总存在公切线，关于t (t 0)的方程I :+4a (l nt1) =0，I 丄=4a (1 lnt(* )总有解.若 t e，贝U 1

14、lnt v 0，而-0，显然(*)不成立，所以0 v t v e，从而，方程(*)可化为4a=(1+tF12(l-lnt)令 H (t) = J (0v t v e)，贝U H( t) =: 1 .t2(l-lm)t3(l-lnt)2当 0vt v 1 时，h (t )v 0；当 1 vt ve 时，h (t ) 0，即h (t )在(0，1) 上单调递减，在(1，e) 上单调递增. h (t )在(0，e) 上的最小值为h (1) =4，要使方程(*)有解，只须4a4,即a 1.正实数a的最小值为1.【例8】.(2017?韶关模拟).已知函数f (x) =aex (a 0), g (x) =

15、x2(I)若曲线c仁y=f (x)与曲线C2： y=g (x)存在公切线，求a最大值.(U)当 a=1 时，F (x) =f (x) bg (x) cx 1,且 F (2) =0,若 F (x)在(0, 2)内有零点，求实数 b的取值范围. 【解答】解：(I)设公切线l与C1切于点(X1, a)与C2切于点(X2,：)， f(x) =aex, g(x) =2x,由知ae 1 2x of，由知X2工0,代入: 也2a=，设 g (x)=；：,gX.Xe 1e2童少垃*?:=2x2,即卩 X2=2xi - 2,X ! X1 2(X)(x) =0,得 x=2;当 xV2 时 g(x) 当 x2 时，

16、g( x)v 0, g (x) x=2 时，g (x) ma=g (2)= ,e(x) =f (x)- bg (x)-令g 0,g (x)递增.(n) f递减. amaF .2ecx - 1=ex -bx - cx - 1,（0, 2）内有零点,=0=F （0）,又 F （x ）在 在（0, 2）至少有两个极值点,即F（x） =ex- 2bx- c在（0, 2）内至少有两个零点. F（ x） =ex - 2b, F （2） =e2- 4b- 2c-仁0, c=,2 当 bWy；时，在（0, 2） 上, exe=12b, F（ x）0,2 F（ x）在（0, 2） 上单调增，F（x）没有两个零点

17、.2 当时，在（0, 2） 上, exVe2ln2b 时，F（ x） 0, xV ln2b 时，F（x） V 0, F(x)在(0, In2b )递减，(ln2b , 2)递增,/ 1 所以 x=ln2b 时， F( x)最小=F( In2b ) =4b-2bln2b - ,we2 I设 G(b) =F( In2b ) =4b- 2bln2b - +.,令 G(b) =2 - 2ln2b=0 ,得 2b=e，即 b=，当 bv时 G ( b)0;当 b 时，G ( b)V 0, 1 2当 b=时，G (b)最大=G () =e+- V 0,fad匕因F(x) =ex- 2bx-c在(0, 2)

18、内有两个零点，旷(0)21亠畀e2_4k_i/盯(2)二巳5-严 02 2 解得：_ v bv-442 2 综上所述，b的取值范围(_ ,).44【作业 4】.已知函数 f (x) =a (x - )- blnx (a, b RR, g (x) =x2.(1) 若a=1，曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线与y轴垂直，求b的 值；(2) 若b=2,试探究函数f (x)与g (x)在其公共点处是否有公切线，若存在， 研究a的个数；若不存在，请说明理由.六. 公切线的条数问题【例9】.已知函数f (x) =lnx , g (x) =ex.(1)确定方程f (x)丄丄实数根的个数；(2)

19、我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=f(x), y=g (x)公切线的条数，并证明你的结论.方程f (x) =，有两个实根；x-1(2)解：曲线y=f (x) , y=g (x)公切线的条数是2,证明如下：设公切线与 f (x) =lnx , g (x) =ex的切点分别为(m lnm),(n, en), mn, f(X) = , g(x) =ex,x(1 n=e * * ，化简得(m- 1) Inm=m+1,lnm- eR = l.idf in当 m=1 时，(m- 1) Inm=m+1 不成立；当 m 1 时，(m 1) Inm=m+1 化为 Inm =,ir

20、l由(1)可知，方程lnm=有两个实根，m-1曲线y=f (x) ，y=g(x)公切线的条数是2条.【作业 5】.已知函数 f (x) =x2+2 (1 - a) x- 4a, g (x) =一 -(a+1) 2,则 fx(x)和g (X)图象的公切线条数的可能值是 .【作业 1 解答】解：(1) f(X) = (2x+1)(x- 1) 2=0, x= -或 1 , x=2-丄是h ( x )的零点；2x ) =k-,xkv0, g (x)v 0, g (x)在1 , +)上单调递减，g (x)的最大值为g (1)=k+1.k v- 1, g (1)v 0, g ( x)在1 , +*)上无零

21、点；k=- 1, g (1) =0, g (x)在1 , +)上有 1 个零点；-1v kv 0, g (1) 0, g (e1 -k) =ke1-k+kv0, g (x)在1 , +*)上有 1 个零占；八、)综上所述，k v- 1时，h ( x)有1个零点；-K k v 0时，h ( x )有两个零点；(2)设切点(t , f (t), f( x ) =6x2- 6x,.切线斜率 f( t) =6t2- 6t ,切线方程为 y-f (t) = (6t2- 6t)(x - t),切线过 P (a,- 4), - 4-f (t ) = (6t2-6t)( a-t),322 4t - 3t -

22、6t a+6ta - 5=0由题意，方程有3个不同的解.令 H(t) =4t3- 3t2- 6t2a+6ta - 5,贝U H( t) =12t2 - 6t - 12at+6a=0 . t或二a.a=时H (12H(t)在定义域内单调递增H(t)不可能有两个零点，方程不可能有两个解，不满足题意；a.丄时，在(-.)，(a, +x)上, H (t) 0,函数单调递增，在J , 2 2 2a) 上, H(t )v 0，函数单调递减，H( t)的极大值为H()，极小值为H2(a);aJ丄时，在(-, a)， ( -，+x)上，H( t ) 0,函数单调递增，在(a， 2 2)上, H(t) 0, a

23、 1 或 av 1.2【作业2解答】解：由已知得f (x) =ax2+ (2a+1) xex, f (0) =0,所以f(x) = (ax2+x 1) ex.2xx(1) f (x) =ax + (2a+1) xe =x (ax+2a+1) e . 若 a0,当一- 或 x0 时，f (x)0;当时，f (x) vaa0,所以f (x)的单调递增区间为I -J l 巴；单调递减区间为a-.a 若 a=0, f (x) = (x 1) ex, f (x) =xex,当 x0 时，f (x) 0;当 xv0 时，f (x)v 0,所以f (x)的单调递增区间为(0, +x)；单调递减区间为(-x,

24、 0). 若当打-或 x v 0 时，f (x ) 0,所以f ( x )的单调递增区间为；单调递减区间为a 若?.I,故f (X)的单调递减区间为(-K, +X).2匚 若1 ,当-或 X 0 时，f (x)v 0；当.时，f (X)2aa 0,所以f ( X )的单调递增区间为：.-,!.；单调递减区间为aa当a0时，f (x)的单调递增区间为 -.-.单调递减区间a为-“.a当a=0时，f (x)的单调递增区间为(0,+k)；单调递减区间为(-K, 0).,当一 m时，f (x)的单调递增区间为II - ;单调递减区间为2aa当-一时，f (X)的单调递减区间为(-K,+K)；当-一时，

25、f(X)单调递增区间为. 亠.；单调递减区间为:-.-：-!2aa(0, +K)；(2) 证明：g (x) =e-xf (x) +lnx= - e-x (ax2+x - 1) ex+lnx=ax 2+x - 1+lnx ,设l 2的方程为y=k2X，切点为(X2, y2)，则- . ,，所以X2=1, y2=e, k2=e.u ( X)是单调递增函数,由题意知ki=- k2=- e,所以11的方程为y= - ex,设l 1与y=g (x)的切点为(Xi,则 , - 1-e+11C，2“2x |又 1 - 11 .11-,即-2_K+lnx 迈=0u(x)2 計 1皿: 11&)4, Xyi),

26、在定义域上,u(x) 0,所以(0, +K) 上,又-，所以.”0，令-亠，则3(t)二气 t ?+(巴+1)t故【作业3解答】解：（1）证明：设F （x）=f (X) - g (x),则 F：_，由 F (x) =0,得 x=3，当 Ov xv 3 时，F(X) v0,当x3时F （x） 0,可得F （x）在区间（0, 3）单调递减，在区间（3, +%）单调递增，所以F (x)取得最小值为F (3) =ln3 - 10, F (x) 0,即 f (x) g (x);(2)假设曲线f (x )与g (x)有公切线，切点分别为 P (xo, l nxo )和Q( xi, 2-丄). 因为 f (

27、x) = , g( x)-所以分别以P （xo,lnx 0）和Q（xi, 2-亠）为切线的切线方程为y= +lnx- 1,s03疋 c 6尸+2-1 二 3E0 ij21门叶1二2十令 h (x) =2lnx 1+-( 3+ln3 ).xi所以由 h( x) =0,得 xi=3.,即 2lnx 1+ -(3+ln3 ) =0.显然，当 OvxiV3 时，h (x)v 0,当 xi3 时，h (x)0,所以 h ( x) min=l n3 1 0,所以方程2lnx 1+ ( 3+ln3 ) =0无解， 故二者没有公切线.所以曲线y=f (x)和y=g(x)不存在公切线；4021(3) ( 1+1

28、X 2)( 1+2X 3) ?(1+2012X 2013) e .n(n+l)理由：由(1)可得lnx 2-上(x0)， 可令 x=1+ n (n+1)，可得 ln (1+n (n+1) 2 =2-3(i)，n n+1则 ln (1+1X 2) +ln (1+2X 3) + +ln (1+2012X 2013)2X 2012 3 (1-丄 +丄-丄+ ) =4024- 3 4021. 2 232012201320134021即有(1+1X 2)( 1+2X 3)-( 1+2012X 2013) e .【作业4解答】解:f (x) =x - - blnx，-( x) =1+，J K由于曲线y=f

29、 (x)在点(1, f (1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f( 1) =0，即1+1-b=0， b=2;(2)假设f (x)，g (x)的图象在其公共点(X。，y)处存在公切线，由 f (x) =a (x- 1 )- 2lnx，得 f(x)=丄一 -，g (x) =2x，由 f (X。)=g(X。)，得 =2x0，即卩 2x03 - ax02+2x0 - a=0, 即(x2+1)( 2x0 - a) =0,则 x=：,又函数的定义域为(0, +x),当a0 时，令 f （二）=g （二），-21 n 二-2=222242o即二二=8：ln 丄，2令 h (x)2 ow=：-In 鶯

30、(x 0)，82h( x)=x - 4xUlt+oo）|（ （一 OG 一 1）则 h (x)在（0, 2）递减，（2，+x）递增.且 h （2）=-丄V0，2且当 x0 时，h (x) +x；当 x+x时，h (x) +x, h （x）在（0，+x）有两个零点，2_n方程七一=ln子在（0，+x）解的个数为2.综上：当a0时，函数f （x）与g （x）的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2个.在导数的练习中，常见这一类题型：已知含有的一个不等式，以及的一些其他性质，让解不等式或者比较大小。这类题型的常用思路是emph构造函数，下面举例说明ib）是定义在农上的奇函数，当o时，（异十I） f

31、（丁） + 2叮& V 且 ： - 1!，则不等式的解集是（）4/1 lL+oo）D（-oo-l）1）分析：观察条件给的不等式，它的左边是= （j2 +1） K巧的导函数。 故构造 曲, 并把题中 沧） 的其他性质转化成（工）的性质，把要求解的不等式也转化成关于的不等式。解答：令/工）=（#+1）心，当三卫时， ；+八 + 5 叮.“ o由门卫是奇函数得 強）也是奇函数，由= I）得记一 1）=（。可得邛）的“草图”如下:而不等式I； 等价于匕曲 * 。由“草图”易知解集为，*1 ：: 1 1: :，选拓展：怎样构造出合适的函数呢？一般考虑一下三个模型：（1）o特别地，当口 = 1时，有（町（）=*）J I;（子（工）丫 =（工）一 /（工）当J 一时，有L巴2 f(富) =(/() + 尸3)特别地，当口 = 1时，有 几匕）=匚工（fk） +门工）；当-、时，有丄 3丿/（） =/（x） + bxf（i ） +x/7r）我们可以对比这三个模型求导后的形式与题中给出不等式的形式，确定区或者订下面再举几个例子：f （r） 2.r + 4的解集是（）分析：观察条