地下水向完整井的非稳定运动

1、第四章第四章 地下水向完整井的非稳定运动地下水向完整井的非稳定运动 1 MULTIPLE AQUIFERS Distorted scale! 肖 长 来 吉林大学环境与资源学院2006-3 4-1承压含水层中的完整井流承压含水层中的完整井流 当承压含水层侧向边界离井很远，边界对研究区的水头分布 没有明显影响时，可以把它看作是无外界补给的无限含水层。 1. 定流量抽水时的定流量抽水时的Theis公式公式 承压含水层中单井定流量抽水的数学模型是在下列假设条件 下建立的： (1) 含水层均质各向同性，等厚，侧向无限延伸，产状水平； (2) 抽水前天然状态下水力坡度为零； (3) 完整井定流量抽水，井

2、径无限小； (4) 含水层中水流服从Darcy定律； (5) 水头下降引起的地下水从贮存量中的释放是瞬时完成的。 The Theis solution assumes the following: The aquifer is confined and has an apparent infinite extent; The aquifer is homogeneous, isotropic, and of uniform thickness over the area influenced by pumping; The piezometric surface was horizontal

3、prior to pumping; The well is fully penetrating and pumped at a constant rate; Water removed from storage is discharged instantaneously with a decline in head; The well diameter is small, so well storage is negligible. Data requirements: Drawdown vs. time at an observation well Finite distance from

4、the pumping well to observation well Pumping rate (constant) 在上述假设条件下，抽水后将形成以井轴为对称轴的下 降漏斗，将坐标原点放在含水层底板抽水井的井轴处，井轴 为Z轴，如图4-1所示。 图图4-1 承压水完整井流承压水完整井流 此时，单井定流量的承压完整井流，可归纳为如下的数 学模型： 式中，s=H0-H。 下边研究如何求降深函数s (r, t)。为此， 利用Hankel变换，将方程式(4-1)两端同乘以rJ0(r)，并在 (0,)内对r积分。 2* 2 1ssus rrrTt t0，0 (4-1) （4-2） s(r，0)=0

5、 0r0 设导压系数 ，则有： 方程式右端 方程式左端，利用分部积分，同时注意到边界条件式 （4-3）与式(4-4)，有： 按Bessel函数的性质，有： * T a 00 00 1 ()() ss arrJr drrJr dr rrtt 00 00 ()() sd s rJr drsrJr dr ttdt 01 00 1 ()()() 2 saQ arrJr drasd rJr rrtT 10 00 ()()sdrJrsrJr d r 因此，有： 上述定解问题，经过Hankel变换，消去了变量r，转变为常 微分方程的初值问题，即： 其解为： 再通过Hankel逆变换由 求s，即： 2 0 0

6、 1 () 2 saQ arrJr dras rrrT 2 2 0 0 d sa Q as d tT s t 2 () 0 2 t at a Q sed T 2 0 0 () 0 00 () () 2 t at ssJr d aQ eJr dd T （4-5） s 先计算方括号内的积分，为此设： 将(4-6)式对r求导数，有： 根据（4-6）式，有： 2 () 0 0 ()() at FreJr d （4-6） 2 2 () 0 0 () 0 0 ( )() 1 () 2() at at FreJr d r eJr d a t ()() 2() () ()2() r FrFr at d Frr

7、 d r Frat 两边积分得： 令 ，则有： 故： 利用r=0时的F（r）值，由（4-6）可以确定C值： 但由(4-7)式，有： 把上式代入(4-5)式，有： 2 1 ln( ) 4 () r F rC a t 1 lnCC 2 ( ) ln 4 () F rr Ca t 2 4 () ( ) r a t F rCe （4-7） 2 () 0 0 1 (0)(0) 2 () at FeJd a t 1 (0), 2() FC C a t 2 4() 1 ( ) 2() r a t F re a t 2 4() 0 1 22() r t at aQ sed Ta t （4-8） 为计算方便，对

8、（4-8）式进行变量代换，令： 同时更换积分上下限，当=0 时， 当=t时， y= 于是， 其中， 22 2 , 4()4 rr ydd y a ta y at r y 4 2 2 2 22 4 444 4 yy r u at QerQe sdydy rTayTy ay （4-9） 22* 44 rr u a TT t （4-10） 在地下水动力学中，采用井函数W(u)代替(4-9)式中的指数 积分式： 则(4-9)式可改写成： 式中，s抽水影响范围内，任一点任一时刻的水位降深； Q抽水井的流量；T导水系数；t自抽水开始 到计算时刻的时间；r计算点到抽水井的距离；* 含水层的贮水系数。 (4-

9、9)式为无补给的承压水完整井定流量非稳定流计算公 式，也就是著名的Theis公式公式。 ( )() y i u e W uEudy y () 4 Q sWu T （4-11） 为了计算方便，通常将W(u)展开成级数形式： 并制成数值表（表4-1），只要求出u值，从表4-1中就可查 出相应的W（u）值；反之亦然。 2 1 ( )0.577216ln( 1) n yn u n u W uedyuu yn n 2. 流量变化时的计算公式流量变化时的计算公式 Theis公式是在假定流量固定不变的情况下导出的。这种 情况通常只有在抽水试验时才能做到。实际上，很多生产井 的流量是季节性变化的。如农用井在灌

10、溉季节抽水量大，非 灌溉季节抽水量小。工业用水也有类似情况，常随需水量而 变化。在这种情况下，怎样应用Theis公式? 首先需要绘出生产井的Q=f（t）关系曲线，即流量过程线。 然后将流量过程线概化，用阶梯形折线代替原曲线，坐标 选择如图4-2所示。概化原则是矩形面积等于曲线于横坐标 所围成的面积。其中，每一个阶梯都可视为定流量，应用 Theis公式。把各阶梯流量产生的降深，按叠加原理叠加起 来，即得流量变化时水位降深的计算公式。 当0tt1时，水位降深为： 2 1 44 Qr u sW TTt 当 时，水位降深为： 图图4-2 流量概化呈阶梯状变化图流量概化呈阶梯状变化图 1ii ttt 2

11、22 1121 11 4444 ()44 () ii i Q QQQQrrr sWWW TTtTT t tTT t t t时刻经历若干个阶梯流量后所产生的总水位降深为： 式中，设t0=0，相应的Q0=0。 (4-12)式为流量变化时，经概化呈阶梯状变化后的计算公 式。 3 . Theis公式的近似表达式 如前述，Theis公式中的井函数，可以展开成无穷级数形 式，即： 2 1 1 1 1 () 44 () n ii i i r sQQW TT tt 1ii ttt （4-12） 2 1 ( )0.577216ln( 1) ! n yn u n u W ue dyuu yn n 前三项之后的级数

12、是一个交错级数。根据交错级数的性 质可知，这个级数之和不超过u。也就是说，当u很小，井 函数W(u)用级数前两项(-0.577216-lnu)代替时，其舍掉部分 不超过2u。因此， 当u 0.01(即 )井函数用级数前两项代替时， 其相对误差不超过0.25%； 当u0.05时(即 )，相对误差不超过2%； 当u 0.1时（即 ），相对误差不超过5%。 一般生产上允许相对误差在2%左右。因此，当u0.01或 u 0.05时，井函数可用级数的前两项代替，即： 2 2 5 r u t T 2 5 ru t T 2 2.5 r u t T 2 2.25 ( )0.577216lnln Tt W uu

13、r 于是，Theis公式可以近似地表示为下列形式： (4-13)式称为Jacob公式(1946)。 流量阶梯状变化时，当ui0.01时，即 (4-12)式可近似地表示为： 2*2 2.250.1832.25 lnlg 4 QTtQTt s TrTr u (4-13) 1 1 2 1 2.25 ()0.183 ()lg n i ii i T tt sQQ Tr (4-14) 2 ()2 5(1 , 2) i r ttin T 4 .对对Theis公式和与之有关的几个问题的讨论公式和与之有关的几个问题的讨论 1) Theis公式反映的降深变化规律公式反映的降深变化规律 将（将（4-11）式改写成无

14、量纲降深形式，即）式改写成无量纲降深形式，即 ， 并给出并给出 曲线曲线图图4-3(a)。曲线表明，同一时。曲线表明，同一时 刻随径向距离刻随径向距离r增大，降深增大，降深s变小，当变小，当r时，时，s0，这一，这一 点符合假设条件。同一断面点符合假设条件。同一断面(即即r固定固定)，s随随t的增大而增大，的增大而增大， 当当t=0时，时，s=0，符合实际情况。当，符合实际情况。当t时，实际上时，实际上s不能趋不能趋 向无穷大。因此，降落漏斗随时间的延长，逐渐向远处扩展。向无穷大。因此，降落漏斗随时间的延长，逐渐向远处扩展。 这种永不稳定的规律是符和实际的，恰好反映了抽水时在没这种永不稳定的规

15、律是符和实际的，恰好反映了抽水时在没 有外界补给而完全消耗贮存量时的典型动态有外界补给而完全消耗贮存量时的典型动态.图图4-3反映了上反映了上 述结论。述结论。 () / 4 s Wu QT 1 ()Wu u 从（4-11）或（4-13）式还可以看出：同一时刻 的径向距离r相同的地点，降深相同。这说明抽水后 形成的等水头线(s=常数)是一些同心圆，圆心在井 轴。当u0.05时,可直接由(4-13)式导出描述它们的 方程式为： 4 22 2 .2 5 T s Q T t xye (4-15) 2) Theis公式反映的水头下降速度的变化规律 将(4-9)式对t求导数，得： 式(4-16)表明，抽

16、水初期随着r的增大， 值减小。因此， 近处水头下降速度大，远处下降速度小。当r一定时，(4-16) 式又表明，不同时刻的水头下降速度 ，由于 和 两个因素起着增、减两个方向相反的作用，所以 不是t 的单调函数； s-t曲线(图4-3b)不能沿着同一斜率变 化，存在着拐点。可以利用 ，找出拐点的位置。为 此有： 2 4 0 1 44 ru Tt sQeuQ due tuTutT t (4-16) 2 4 r u Tt e s t 1 t 2 4 r u Tt e t s 2 2 0 s t 2 22 4 22 1 10 44 r Tt sQr e tT tTt 所以 拐点出现的时间(此时u=1)

17、为： 图4-3的曲线也反映了上述结论，即每个断面的水头下降 速度初期由小逐渐增大，当 =1时达到最大；而后下降速度 由大变小，最后趋近于等速下降。 式(4-17)还表明不同断面拐点出现的时间ti不同。将 (4-17)式代入(4-11)式，得拐点处降深si为： 2 1 4 r T t 2 4 i r t T （4-17） 1 u 2 0.0175 44 i i QrQ sW TTtT （4-18） 式(4-18)还反映出拐点处降深与r无关。说明任一断面都 经历着一个相同的过程，当s=si时，出现最大下降速度,即： 当抽水时间足够长时， (4-16)式变为： 上式意味着：t足够大时，在抽水井一定范

18、围内，下降基本 上是相同的，与r无关。换言之，经过一定时间抽水后，下降 速度变慢，在一定范围内产生大致等幅的下降。 2 4 2 10 .1 1 7 4 i r T t ii sQQ e tTtr 2* 2*2 4 25(0.01,0.991) 4 r Tt rr tue TTt 即 1 4 sQ tTt （4-19） 3) Theis公式反映出的流量和渗流速度变化规律 将(4-9)式对r求导数，得： 又根据Darcy定律，可些导出r处过水断面的流量为： 将(4-20)式代入上式，得： 2 4 4 2 u u r T t sQeu d u tuTur sQ re rT （4-20） 2 r s

19、QK M r r 2 4 r T t r QQ e （4-21） 因为 恒取正值，所以， ，因而Qrtp）的剩余降深s(原 始水位与停抽后某时刻水位之差)，可理解为流量Q继续抽水 一直延续到t时刻的降深和从停抽时刻起以流量Q 注水t-tp时 间的水位抬升的叠加：两者均可用Theis公式计算。故有： 式中， 22 444 Qrr sWW TTtTt （4-23） p ttt 2 0.01423 4 r Tt 当时，（）式可化简为 22 52.3 lglglg 44 QTtTtQt s TrrTtt （4-24） 式(4-24)表明， 呈线性关系， 为直线斜率。 利用水位恢复资

20、料绘出 曲线，求得其直线段斜率i， 由此可以计算参数T： 如已知停抽时刻的水位降深sp，则停抽后任一时刻的水位上 升值s*可写成： 式（4- 25）表明，s*与 呈线性关系，斜率为 。 如根据水位恢复试验资料绘出 曲线，求出其直线段 斜率，也可计算T值。两者所求T值应基本一致。 lg t s t 2 .3 4 Q i T lg t s t 2.3 0.183 4 QQ T ii 2 2.25 lglglg 444 p p at QtQQt sss TtTrTt 或（4-25） lg t t 2.3 2 Q T *lg t s t 又根据 将求出的 代入，可得： 利用式(4-

21、26)可求出导压系数a和贮水系数 6. 定降深井流的计算定降深井流的计算 在侧向无限延伸的承压含水层中抽水，如果在整个抽水 期间保持井中水头hw或降深sw不变，那么抽水量Q将随着 抽水时间的延续而逐渐减少；除了抽水井本身以外，含水 层中任一点的水头H也将随着时间的延续而逐渐降低。当t 时，Q0，s(r)sw。一口顶盖密封住的自流井，会 保持原来水头。在打开井盖的瞬间，水从井中溢出，水位 迅速降低到井口附近。在一定时间内，自流井保持一定的 水位，流量则逐渐减少。 2 2.25 2.3 lg 4 p p at Q s Tr 2.3 2 Q i 2 0.4410 p s i p r a t （4-2

22、6） 对自流井放水来说，基本上属于这种定降深变流量问题(图4- 8)。坑道放水钻孔也类似于这种情况。如果其他条件同推导 Theis公式时的假设一样，则该定解问题的数学模型为： 图图4-8承压含水层中定降深抽承压含水层中定降深抽(放放)水试验水试验 这个数学模型通过Laplace变换求得其解为： 式中，sw为井中降深; 为以为变量的函数，称为无越 流补给承压含水层定降深井流的降深函数，其值列于表4-3 中； 为无量纲径向距离； 无量纲时间。 表4-3函数A(，r)数值表(略) 1ss r rrrTt ,00s r ,0st 0, w sts t0 0r 0r0 t0 , w ss Ar （4-2

23、7） ,Ar w r r r 2 w Tt r 将（4-27）式对r求导数并代入Darcy定律，得： 式中，Q为随时间变化的流量; G ()为无越流补给承压含水层定 降深井流的流量函数(表4-4)。 2 w QTs G (4-28) 表4-4G ()数值表（据Jacob和Lohman） 如果在双对数坐标纸上绘制 曲线（图4- 9），由此曲线可以看出，随时间的增加，增大，G ()减小，流量Q也随着减小。 是一个小于1的函数。由（4-27）式可以 看出，各点降深等于自流井或放水井的降深乘以一个 小于1的函数。这个函数在同一时刻随着 的增加而 减小；在同一断面上随着t增加，增大而逐渐增加。 因此，各

24、点降深在同一时刻随远离自流(放水)井而逐 渐减小；在同一断面上随着时间增加而增大。这是符 合实际情况的。 利用自流井做放水试验可以确定水文地质参数， 这是一种既简单又经济的办法。确定参数方法的原理 和定流量抽水试验相似。兹介绍如下： G ,Ar r r 1）配线法 对（4-28）式和 式两侧取对数，有： 在双对数坐标纸上，Q-t曲线与G ()-曲线形状相同，可以 利用匹配点坐标G ()，Q和t来确定参数。 2）直线图解法 根据(4-28)式，当 时，有下列近似关 系： 2 Tt r 2 lglglg 2 lglglg w QGTs r t T 2 5000 Tt r 2 2 2.25 ln w

25、 G Tt r 于是有： 2 4 2.25 ln w w Ts G Tt r 或： 由上式可以看出， 与lgt为线性 关系（图4-10）。利用斜率i得： 将直线延长，交t轴于一点to，利 用to点的 =0，可计算 。 2 12.32.25 lg 4 w w Tt QTsr 2 0.1832.250.183 lglg www Tt t TsrTs 1 Q 0.183 w T s i 1 Q 图图4-10定降深放水试验应用直线图定降深放水试验应用直线图 解法确定水文地质参数解法确定水文地质参数 思考题： 1.Theis公式的假设条件是什么?它的应用有没有局限性? 2.有人说降深和时间关系为一对数曲

26、线s=a +blgt，您认为有 根据吗? 3单对数纸上的水位恢复直线s=f(1+ )是否应该通过坐标原 点，为什么? p t t 4-2有越流补给的完整井流有越流补给的完整井流 1 基本方程基本方程 在第1章中，我们曾谈到在越流含水层中抽水时会发生越 流。有时，人们把这种系统，包括越流含水层、弱透水层和 相邻的含水层(如果有的话)称为越流系统越流系统(图1-30)。 越流系统通常可以划分为三种类型: 第一越流系统是不考虑弱透水层弹性释放、忽略补给层水 位变化的越流系统； 第二越流系统是考虑弱透水层弹性释放、不考虑补给层水 位变化的越流系统； 第三越流系统是不考虑弱透水层弹性释放、考虑补给层水

27、位变化的越流系统。 第3章探讨了这种情况下的稳定运动(图3-9)。 现在进而探讨这种情况下的非稳定运动。研究时采用了和 研究稳定运动时相同的地质模型(图3-9)和假设，即： (1)越流系统中每一层都是均质各向同性，无限延伸的第一 类越流系统，含水层底部水平，含水层和弱透水层都是等 厚的； (2)含水层中水流服从Darcy定律； (3)虽然发生越流，但相邻含水层在抽水过程中水头保持不 变(这在径流条件比较好的含水层中不难达到)； (4)弱透水层本身的弹性释水可以忽略，通过弱透水层的水 流可视为垂向一维流； (5)抽水含水层天然水力坡度为零，抽水后为平面径向流； (6)抽水井为完整井，井径无限小，

28、定流量抽水。 The Hantush-Jacob solution has the following assumptions: The aquifer is leaky and has an apparent infinite extent The aquifer and the confining layer are homogeneous, isotropic, and of uniform thickness over the area influenced by pumping The piezometric surface was horizontal prior to pumpi

29、ng The well is pumped at a constant rate The well is fully penetrating Water removed from storage is discharged instantaneously with decline in head The well diameter is small, so well storage is negligible Leakage through the confining layer is vertical and proportional to the drawdown The head in

30、any un-pumped aquifer(s) remains constant Storage in the confining layer is negligible Flow is unsteady. 在上述假设条件下，根据微分方程(1-83)，把水头化 为以降深表示，并改用柱坐标，于是有越流补给 的抽水含水层中地下水运动的基本方程为： 相应的定解条件为： 对方程（4-29）施行Hankel变换，于是原定解问题 变为常微分方程的初值问题，可以很容易地求得 它的特解。 0 00 t sr 00 r st 0 lim0 2 r sQ rt rT (4-30) (4-31) (4-32) 2

31、 22 1ssss rrrBTt (4-29) 再施行逆变换可求得其解为： 其中， 有关推导过程请参阅文献2。(4-33)式为Hantush和 Jacob于1955年建立的有越流补给的承压水完整井公式。其 中 ，为不考虑相邻弱透水层弹性释水时越流系统的 井函数，其值列于表4-5中。(课件中无此表内容 ) , 4 Qr sWu TB (4-33) 2 2 4 2 1 , 4 r y B y u r Wuedy By r u Tt (4-34) , r Wu B 2 公式讨论 1) 降深-时间曲线的形状 将（4-33）式写成无量纲降深形式： 根据表4-5的井函数表，绘制 曲线（图4-11).曲线反

32、映 出，有越流补给的s-t关系大致可分为三个阶段： , 4 sr Wu Q B T t 1 , r Wu Bu 图图4-11越流潜水含水层的标准曲线越流潜水含水层的标准曲线 （1）抽水早期，降深曲线同Theis曲线一致。这表明越流尚 未进入主含水层，抽水量几乎全部来自主含水层的弹性释 水。在理论上，相当于 =0或B， W（u）此 时和Theis曲线一致。 标准曲线组中又反映出， 不同时，与Theis曲线吻合的 时间也不一样。在其他条件一定时，如果越流系数 越小 （即 越小），同Theis曲线一致的过程就越长。这说明， 弱透层透水性越小，厚度越犬，阻力越大，越流进入抽水层 的时间越晚。当弱透水层

33、透水性无限小时，在有限的抽水时 间内，可能没有明显的越流反映，而同Theis曲线相一致。 （2）抽水中期，因水位下降变缓而开始偏Theis离曲线，说 明越流已经开始进入抽水含水层。这时，抽水量由两部分组 1 1 K m , r Wu B r B 1 1 K m r B 成：一是抽水含水层的弹性释水，二是越流补给， 值由 零进入有限值，即： 因此，越流含水层的降深小于无越流含水层的降深，而且随 增大(即 越大)，越流含水层的降深比无越流含水层的 降深小得越多。 (3)抽水后期，曲线趋于水平直线，抽水量与越流补给量平 衡，表示非稳定流已转化为稳定流。此时方程（4-33），当 t时，u0，可简化成（

34、3-33）式，即： 式中， 为虚宗量第二类Bessel函数（表4-16）。 2 2 4 r yB 2 2 4 11 , r y yB y uu r WuedyedyW u Byy 1 1 K m r B 0 2 Qr sK TB 0 r K B 2）水头下降速度 与(4-16)式比较可以看出，越流含水层水位下降速度比无 越流含水层慢。另外，与无越流含水层一样，当t足够大时， 在一定的范围内，水位下降速度是相同的。 2 2 2 2 4 4 1 4 1 4 r y By rTt Tt B sQu edy tTuyt Q e Tt t (4-36) 3 利用抽水试验资料确定越流系统的参数利用抽水试验

35、资料确定越流系统的参数 1）配线法 用定流量抽水试验实测的lgs-lgt曲线与标准曲线lg -lgu 的形状是相同的，只是其纵、横坐标彼此平移了lg 和 而已。下面仅简单地写出其步骤： （1）在双对数坐标纸上绘制 标准曲线； （2）在另一同模数的透明双对数坐标纸上，投上s-t实测数 据； （3）在保持对应坐标轴彼此平行的前提下，相对移动两坐 标纸；在一组 标准曲线中找出最优重合曲线(图4-12)； （4）两曲线重合以后，任选一匹配点，记下对应的四个坐 标值 ， ，t，s。将它们分别代入（4-33）和（4-35） 式，可以计算含水层的参数T和， , r Wu B 4 Q T 2 lg 4 r T

36、 1 , r W u Bu r B 1 u , r W u B 即： （5）已知 和r，可计算出B值和 值： , 4 Qr TWr sB 2 4 1 Tt r u r B 1 1 K m 图图4-12越流含水层的配线法越流含水层的配线法 2) 拐点法 （1）原理 （a）取(4-33)对lgt的导数，由（4-36）式有 故有： 从(4-37)可看出，同一观测孔的s-lgt曲线的斜率变化规律是 由小到大，又由大变到小，存在着拐点。可以通过s对lgt的 二阶导数等于零来确定其位置。设拐点为P，则： 2 2 4 lg1 lg4 rTt Tt B ssdtQ e ttdtT t 2 2 4 2 .3 l

37、g4 rT t T t B sQ e tT (4-37) 2 2 2 22 4 22 2.3 0 44 lg rTt pTt B p TtQ sr e TTtB t 故在拐点有： 解得拐点处的时间tp为： 相应的u值为： 将(4-39)式代回（4-37）式，得拐点处切线的斜率为： 2 2 0 4 p p T t r T tB 2 p B r t T (4-38) 2 42 p p rr u T tB (4-39) 2.3 4 r B p Q ie T (4-40) （b）求拐点处降深：把(4-39)式代入（4-33）式，得： 进行变量代换：设， 当y=0， 当 则 2 2 4 2 1 4 r

38、y By r p B Q sedy Ty (4-41) 222 2222 , 444 rrr ydyd B yBB p yu 2 2 42 p rr B uB 2 2 4 0 2 1 24 r B r p B QrQ sKed TBT (4-42) 将（4-41）式和（4-42）式相加，得： （4-43）式表明，拐点处降深等于最大降深的一半 （图4-13）。 0max 1 42 p Qr sKs TB (4-43) 图图4-13 s-lgt曲线曲线 （c）建立拐点P处降深sp与斜率ip之间的关系。用（4-40） 式除（4-43）式得： （4-44）式右端的值已列成表4-7 表4-7 的数值表（

39、略） 应用上述原理，根据某一观测孔的观测资料绘出s-lgt曲线， 就可计算有关参数。 （2）步骤： （a）单孔拐点法，有一个观测孔时： 在单对数坐标纸上绘制s-lgt曲线，用外推法确定最大降 深Smax(图4-13)，并用（4-43）式计算拐点处降深Sp 0 2.3 r p B p s r Ke iB (4-44) , xxx ii e K x e K xExEx e和 根据Sp确定拐点位置，并从图上读出拐点出现的时间tp。 做拐点P处曲线的切线，并从图上确定拐点P处的斜率ip。 根据（4-44），求出有关数值后，查表4-7确定 和 值 根据 值求B值： 按（4-40）式和（4-38）式分别计

40、算T和 值： 验证，因为图解出的Smax和Sp常有较大的随意性而引起 误差，所以进行验证是必要的。将所求得的参数代入（4- 33）式，并给出不同的t值，计算理论深降。然后把它同实 测降深比较，如果不吻合，则应重新图解计算。 r B r B e r B r B r B 1 2 1 2 2.3 , 4 r p B p Tt KQT Te iBrmB （b）多孔拐点法，有多个观测孔时： 当抽水时间不长，观测孔降深未趋于稳定，不知道或不可 能外推求出Sm时，不能用上面介绍的方法。此时可利用下述 方法求参数。 根据（4-40）式有： 两边同时取对数： 2.3 4 r B p Q ie T 2 .3 ln

41、ln 4 p Qr i TB 2.3 2.3 lg2.3 lg 4 p Q rBBi T (4-45) 式（4-45）表明，r与 呈线性关系。如有三个以上的观测 孔资料能绘制出r-lgip曲线时，可以用它来计算参数。具体步 骤如下： 绘每个观测孔的s-lgt曲线（图4-140，并从图上确定每条 曲线直线段的斜率近似地代替拐点处的斜率。 lg p i 图4-15 r- 曲线 图图4-15 r- 曲线曲线 lg p i 图图4-14各观测孔的各观测孔的s-lgt曲线曲线 根据各孔的斜率作r- 曲线（图4-15），应为一条直 线。取该直线的斜率，得： 将r-lgip直线段延长交横轴于一点，读得r=0

42、时的（ ）。 把它代入（4-45）式，得： 将所求得的B、T代入(4-43)式，计算出不同观测孔的拐点 处降深： lg p i 2.3 , lg2.3lg pp rr B B ii p i 0 2.3 0,lglg 4 p Q ri T 1 2 1 0 2.3 4 p KQT T mBi 0 4 p Qr sK TB 利用从s-lgt曲线上读得tp值，然后按（4-38）式算出各孔的 值： 最后取其平均值。 思考题： 式（4-33）的假设条件是什么?有何局限性? 2 p Tt Br 4-3有弱透水层弹性释水补给和越流补有弱透水层弹性释水补给和越流补 给的完整井流给的完整井流 在层状含水层分布区一

43、个含水层常被弱透水层覆盖或下伏 有弱透水层，形成双层或多层结构的含水层组。从含水层中 抽水时，会引起弱透水层弹性释水补给抽水含水层。当弱透 水层厚度较大时这种补给相当大，不能忽略不计。1960年 M.s.Hantush研究了这个课题。 1 基本方程基本方程 下面讨论考虑弱透水层弹性释水，而相邻含水层（如果有下面讨论考虑弱透水层弹性释水，而相邻含水层（如果有 的话）水头保持不变的越流系统的基本方程。其他假设条件的话）水头保持不变的越流系统的基本方程。其他假设条件 如下：如下： (1)含水层和弱透水层是均质各向同性和等厚的，产状水 平，分布无限.天然水力坡度为零。单井定流量抽水。 (2)含水层抽水

44、时，能得到弱透水层弹性释水的补给。弱透 水层渗透系数与含水层渗透系数相比，要小的多(差两个数量 级以上)。因此可以认为，通过弱透水层中的水流是垂向运 动，而抽水含水层中则为水平径向运动，服从Darcy定律。 在上述假设条件下，含水层中地下水的运动应遵循(1-83) 式，相应地在弱透水层中地下水的运动服从(1-71)式。如果 越流强度改用降深表示，则由（1-82）式有： 式中， 分别为上、下弱透水层垂直方向的渗透系 数和水头。如整个方程组也改用降深表示，则有： 1122 111222 , HsHs vKKvKK zzzt 1122 ,K H K H 式中， 分别为抽水含水层、 上弱透水层下弱透水

45、层的贮水系数、导水系数和水位降深。 根据连续性原理，在抽水含水层的底板(即 z =m2处)和顶板 (即z =m2+M处)(图1-30)分别有： 常见的考虑含水层弹性释水补给而相邻含水层(如果有的话) 的水头保持不变的越流系统，主要有下列三种情况 （图4-16）： 2 12 12 2 1sHsss TKK rrrzzt 111222 , , , , ,T s r tT s r z tT sr z t 22 ,sr mts r t 22 ,sr mM ts r t 第一种情况，与上、下弱透水层相邻的是两个定水头的含 水层； 第二种情况，与上、下弱透水层相邻的是两个隔水层； 第三种情况，与第一个弱含

46、水层相邻的是定水头含水层，与 另一个弱含水层相邻的是隔水层。 对于这三种情况，可以分别写出它们的微分方程和定解条 件。先看第一种情况： 图图4-16 弱透水层弹性释水的三种情况（据弱透水层弹性释水的三种情况（据Hantush） 上弱透水层： 抽水含水层： 2 11 11 1 1 121 12 (4 46) , ,00(4 47) ,0(4 48) ,(4 49) ss T st s r z s r mMm t s r mM ts r t 2 112222 2 1 1 0 1 ,(4 50) ,00(4 51) ,0(4 52) , lim(4 53) 2 r sss TKs r mM tKs

47、r m t rr rzzt s r st s r tQ r rT 下弱透水层： 第二种情况和第一种情况基本相同，只是将（4-48）和 （4-56）式分别以下式代替： 2 22 22 2 1 1 12 (454) , ,00(455) ,0,0(456) ,(457) ss T st s r z s rt s r m ts r t 121 ,0 s sr mMmt z 2 , 0,0 s srt z 第三种情况也和第一种情况基本相同，只是将式（4-56）用 下式代替： 上述定解问题，对于足够短的时间和足够长的时间有近 似解。 (1) 抽水初期的解 当 和 时，三种情况有相同形式的近 似解： 2

48、, 0 ,0 s srt z 11 1 10 m t K 11 1 10 m t K , 4 Q sHu T 式中， 分别为上、下两个弱水层的越流因素。 考虑弱透水层弹性释水时，越流系统的井函数 的值 列于表4-8中。 , y u eu Huerfcdy y yyu 2 4 r u Tt 12 12 44 rr BB 1 1 1 Tm B K 2 2 2 Tm B K ,H u 2006-5-16起讲 （2）抽水时间较久时的解： 第一种情况：当 ，同时 时，其解为： 式中， 为不考虑弱透水层弹性释水的越流系统的井 函数（表4-5） 第二种情况：当 ，同时 时，其解为： 11 1 5 m t K

49、 22 2 5 m t K 1 , 4 Q sWua T （4-62） 1, Wua 2 12 1 33 4 r u Tt 11 1 10 m t K 22 2 10 m t K 2 4 Q sWu T 式中， 为无越流含水层的井函数（表4-1）； 第三种情况：当 ，同时 时，其解为： 式中， 为不考虑弱透水层弹性释水的越流系统的井函 数(表4-5)； 2 Wu 2 12 2 4 r u Tt 11 1 5 m t K 22 2 10 m t K 3 1 , 4 Qr sWu TB 3 1 , r Wu B 2 2 1 3 3 4 r u Tt 2 公式讨论公式讨论 1）上面列举的是在一般情况

50、下的解。如果在上述三种情况 的任何一个解中，令 就成了无越流补给的承压含水层的Theis公式。 在第一、第三种情况中，如果取 ，此 时(4-62)式和(4-64)式转化为(4-33)式，即不考虑弱透水层弹 性释水的越流系统。 2）在双对数坐标纸上绘制 - 标准曲线(图4-17)。由 （4-60）式有： 1212 ,0001BBerfc 时， 212 0,0K ,H u 1 u , 4 s Hu Q T t 可知，曲线反映出s与t的关系，也反映出s与的关系。 总的说来，s随着的增大而减小。当=0时，曲线和Theis 曲线一致。这意味着：随着 和 的增大，s会减小。因 此，弱透水层的贮水系数增大，

51、可以释放出更多的水，抽水 含水层的降深就会相应地减小；随着r的增大，s会减小； 随着越流因素B的减小，s也会减小。 3 利用抽水试验资料确定水文地质参数利用抽水试验资料确定水文地质参数 根据抽水初期或短时间抽水的资料，利用配线法求参数的 原理同前。利用观测孔的全部观测资料，在双对数透明纸上 绘出s-t曲线，把抽水初期的曲线（或短时间抽水的曲线）同 标准曲线 - （图4-17）重合，记下匹配点的坐 标， ， ， 代入公式（4-60），求出含水层的参数T 和 。 1 2 ,H u 1 u ,H u 1 u , , s t 图4-17考虑弱透水层弹性释水，越流系统短期抽水时的标准曲线 （据Walto

52、n） , 4 Q TH u s 2 4 1 Tt r u 对于长时间抽水，第一种情况(4-62)式和第三种情况 利用配线法确定参数的原理和方法同有越流补给的相同，标准 曲线都是用(图4-11)所示的曲线。 根据长期解的第二种情况（4-63）式，利用配线法确 定参数和利用Theis公式的配线法相同。 4-4潜水完整井流潜水完整井流 潜水井流与承压水井流不同，它的上界面是一个随时间 而变化的浸润曲面(自由面)。 其运动与承压含水层中的情况不同, 体现在下列几点： (1)潜水井流的导水系数T= Kh随距离r和时间t而变化，承压 水井流T=KM，和r，t无关； (2)当潜水井流降深较大时，垂向分速度不

53、可忽略，在井附 近为三维流。水平含水层中的承压水井流垂向分速度可忽 略，一般为二维流或可近似地当二维流来处理； (3)从潜水井抽出的水主要来自含水层的重力疏干。重力疏 干不能瞬时完成，而是逐渐被排放出来，因而出现明显地迟 后于水位下降的现象。潜水面虽然下降了，但潜水面以上的 非饱和带内的水继续向下不断地补给潜水。因此，测出的给 水度在抽水期间是以一个递减的速率逐渐增大的。只有抽水 时间足够长时，给水度才实际上趋于一个常数值。承压水井 流则不同，抽出的水来自含水层贮存量的释放，接近于瞬时 完成，贮水系数是常数。 到目前为止，还没有同时考虑上述三种情况的潜水井流公 式。 一般对潜水井流的处理方法:

54、 (1)在一定条件下，也可将承压水完整井流公式应用于潜水完 整井流的近似计算。如果满足4-1前面的四个假设条件， 条件(5)虽然不同，但当抽水相当长时间以后，迟后排水现象 已不明显，可近似地认为已满足条件(5)。因此，潜水完整井 在降深不大的情况下，即s0.1Ho，H。为抽水前潜水流的 厚度，可用承压水井流公式作近似计算。此时，潜水流厚度 可近似地用 ，来代替。于是承压水井公式中 的2Ms用 代替，则有： (2)可采用修正降深值，直接利用Theis公式： 式中， 为修正降深；S为实际观测降深；H。为潜水流初始 厚度。 0 1 () 2 m HHH 22 0 HH 2 22 0 ( ),() 2

55、4 m Qr HHW uuTKH KT t 22 0 0 ( ),() 244 sQr ssW uuTKH HTTt s 有关计算潜水完整井流的方法主要有： 考虑井附近流速垂直分量的Boulton第一潜水井流模型； 考虑迟后排水的Boulton第二潜水井流模型； 既考虑流速的垂直分量又考虑潜水含水层弹性释水的 Neuman模型。这里简单地介绍后两种模型。 1 考虑迟后疏干的Boulton模型 1) 假设条件及井流状态分析 Boulton模型建立的水文地质概念模型： （1）均质各向同性、隔水底板水平的无限延伸的含水层； （2）初始自由水面水平； （3）完整井，井径无限小，降深s ）排出的重力水量

56、假设为： 式中，为给水度，为一经验系数。 () 1 t se （a）迟后疏干排水量 与t-的关系如图 4-18所示，符合一般经验。 （b）在时刻以后，单位水平面积含水层内降深为一个单 位时，迟后重力排水的总体积为： 它等于含水层的给水度。因此，在水量均衡上没有矛盾，符 合实际，假设是合理的。 （c）在和t区间迟后排水总量为： () 1 t se ()t edt ()() 1 ttt sedtse 由上式可了解的意义。 若大，则到t时间内排出的水量大，即迟后性小；或者说， 1/小，迟后性小。因此，称1/为延迟指数。 2）数学模型及其解 如果只考虑贮存水的释放，不考虑迟后重力排水，并假设 降深很小

57、（s H。）值保持不变，则潜水非稳定径向运动的 偏微分方程可写为： 如果考虑迟后重力排水，则方程式的右边还要加上一项， 即在t时刻单位水平面积含水层中单位时间内迟后重力排水的 体积。 2 2 1 () sss T rrrt 这个值可以这样来求得： 将0到t这一时间段分成n个时间小段 每一小段 对应的降深为 。 由上述假设知，在t时刻由 引起的排水量为 显然，由于迟后排水，t时刻以前的每一个 都会排水到达t 时刻的潜水面。在t时刻单位水平面积的潜水面上，单位时间 接受的迟后排水总量为： 当n， 0时， ，则有： 1( 1 ,2, 1 , , iii inn 而 0 0 ） i (1,2,1, )

58、 i s inn i s () i t i se i s () 1 i n t i i se () 1 i n t i i i i s e i i i ss () 0 tt s ed 因此，考虑迟后重力排水时，流向潜水完整井非稳定运动的 偏微分方程为： 相应的定解条件为： Boulton求得上述定解问题的解为： 2 () 0 2 1 () tt ssss Ted rr rt sf (r，0)=0 sf (，t)=0 t 0 0 lim() 2 r sQ r rT t 0 1 2 0220 2 2(1) 1() 42 u Qx tr sechushuJx dx txuD 式中：s定流量抽水、距抽

59、水井为r处t时刻的降深； D= 疏干因素（量纲为L）； 贮水系数； 给水度； 延迟指数； x积分变量； Jo（x）第一类零阶Bessel函数。 2 1 (1) 2 tx u 2222 2 (1)4 2 atxx u 1 ; T 1 当时，即给水度比贮水系数大得多时，（4-71）式可 简化为： 式中， F= 。 （4-72）式的积分部分可W（ ， ）来表示，称为无压 含水层中完整井的井函数（表4-9）。其中的 ，在抽水 早期取 值，抽水后期取 。它所描述的曲线形状，也 就是理论上降深一时间曲线的形状。据此，可将上述解分 为三部分： 抽水早期 ： 2 2 1 00 2 1 2()1 41 tx x

60、 Qrdx sJxeF tDxx 2 2 (1) 2 1 t x x e x ,a y u r D , a y u a u y u (,) 4 a Qr sWu TD 抽水中期 ： 抽水晚期 ： 式中 无压含水层中完整井流A组井函数； 无压含水层中完整井流B组井函数； 虚宗量第二类Bessel函数。 3）讨论 在t相当小时（相当于抽水的初期），(4-72)式中的 0 () 2 Qr sK TD (,) 4 y Qr sWu TD (,) a r W u D (,) y r W u D 2 4 a r u Tt 2 4 y r u T t 0 () r K D 2 2 1 2 1 1 tx x