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文档简介
1、付国教案2.4 函数的奇偶性 知识梳理1.奇函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x)或f(x)+ f(x)=0,则称f(x)为奇函数.2.偶函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x)或f(x)f(x)=0,则称f(x)为偶函数.3.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含数0,则f(0)=0.(4)奇函数的反函数也为奇函数.(5)定义在(,+)上的任意函数f(x)都可以唯一表
2、示成一个奇函数与一个偶函数之和.点击双基1.下面四个结论中,正确命题的个数是偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于y轴对称 既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xr)a.1 b.2 c.3 d.42.已知函数f(x)=ax2bxc(a0)是偶函数,那么g(x)=ax3bx2cx是a.奇函数 b.偶函数c.既奇且偶函数d.非奇非偶函数3.若偶函数f(x)在区间1,0上是减函数,、是锐角三角形的两个内角,且,则下列不等式中正确的是a.f(cos)f(cos)b.f(sin)f(cos)c.f(sin)f(sin)d.f(cos)f(sin)4.已知f(x
3、)ax2bx3ab是偶函数,且其定义域为a1,2a,则a_,b_.5.给定函数:y=(x0);y=x2+1;y=2x;y=log2x;y=log2(x+).在这五个函数中,奇函数是_,偶函数是_,非奇非偶函数是_.典例剖析【例1】 已知函数y=f(x)是偶函数,y=f(x2)在0,2上是单调减函数,则a.f(0)f(1)f(2)b.f(1)f(0)f(2)c.f(1)f(2)f(0)d.f(2)f(1)f(0)【例2】 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x+1|x1|;(2)f(x)=(x1);(3)f(x)=;(4)f(x)=【例3】 (北京东城区模拟题)函数f(x)的定义域为d=x|
4、x0,且满足对于任意x1、x2d,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x6)3,且f(x)在(0,+)上是增函数,求x的取值范围.深化拓展已知f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)0的解集是(a2,b),g(x)0的解集是(,),a2,那么f(x)g(x)0的解集是a.(,)b.(b,a2)c.(a2,)(,a2)d.(,b)(b2,a2)【例4】 (天津模拟题)已知函数f(x)=x+m(p0)是奇函数.(1)求m的值.(2)(理)当x1,2时,求f(x)的最大值和最小值.(文)若p1,
5、当x1,2时,求f(x)的最大值和最小值.深化拓展f(x)=x+的单调性也可根据导函数的符号来判断,本题如何用导数来解?闯关训练夯实基础1.定义在区间(,+)上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间0,+)上的图象与f(x)的图象重合,设ab0,给出下列不等式,其中成立的是f(b)f(a)g(a)g(b)f(b)f(a)g(a)g(b)f(a)f(b)g(b)g(a)f(a)f(b)g(b)g(a)a. b. c. d.2.(北京海淀区二模题)函数f(x)是定义域为r的偶函数,又是以2为周期的周期函数.若f(x)在1,0上是减函数,那么f(x)在2,3上是a.增函数b.减函数c.先增后
6、减的函数d.先减后增的函数3.已知f(x)是奇函数,当x(0,1)时,f(x)=lg,那么当x(1,0)时,f(x)的表达式是_.4.(北京)函数f(x)=lg(1+x2),g(x)=h(x)=tan2x中,_是偶函数.5.若f(x)=为奇函数,求实数a的值.6.(理)定义在2,2上的偶函数g(x),当x0时,g(x)单调递减,若g(1m)g(m),求m的取值范围.(文)(北京西城区模拟题)定义在r上的奇函数f(x)在(0,+)上是增函数,又f(3)=0,则不等式xf(x)0的解集为a.(3,0)(0,3)b.(,3)(3,+)c.(3,0)(3,+)d.(,3)(0,3)培养能力7.已知f(
7、x)x().(1)判断f(x)的奇偶性;(2)证明f(x)0.探究创新8.设f(x)=log()为奇函数,a为常数,(1)求a的值;(2)证明f(x)在(1,+)内单调递增;(3)若对于3,4上的每一个x的值,不等式f(x)()x+m恒成立,求实数m的取值范围.思悟小结1.函数的奇偶性是函数的整体性质,即自变量x在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.教师下载中心教学点睛1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质,如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此,在复习过程中应加强知识横向间的联系.2.数形结合,以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质,而单调性是其局部性质.拓展题例【例1】 已知函数f(x)=(a、b、cz)是奇函数,又f(1)=2,f(2)3,求a、b、c的值.【例2】 已知函数y=f(x)的定义域为r,对任意x、xr均有f(x+x)=f(x)+
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