高考真题——理科数学(全国大纲卷)精校版 Word版含答案

1、2014年高考真题理科数学(全国大纲卷)精校版 word版含答案 2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z=10i，则z的共轭复数为 3+i（ ）a-1+3i b-1-3i c1+3i d1-3i【答案】d2.设集合m=x|x2-3x-4bc bbca ccba dcab【答案】c4.若向量a,b满足：a=1,a+ba,2a+bb,则b= （ ）a2 bc1 d【答案】b5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）a6

2、0种 b70种 c75种 d150种【答案】c n= ()() 2 x2y26.已知椭圆c：2+2=1(ab0)的左、右焦点为f、，离心率为，过f2的f12ab3直线l交c于a、b两点，若daf1b的周长为c的方程为 （ ）x2y2x2x2y2x2y22+=1 b+y=1 c+=1 d+=1 a332128124【答案】a7.曲线y=xex-1在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ）a2e be c2 d1【答案】c8正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）a81p27p b16p c9p d 44【答案】a9.已知双曲线c的离心率为2，焦点为f1、

3、f2，点a在c上，若f1a=2f2a，则cosaf2f1=（ ）a11 b c d 4343【答案】a10.等比数列an中，a4=2,a5=5，则数列lgan的前8项和等于 （ ）a6 b5 c4 d3【答案】c11.已知二面角a-l-b为60，aba，abl，a为垂足，cdb，cl，acd=135，则异面直线ab与cd所成角的余弦值为 （ ） a11 b c d 4244【答案】b.12.函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称，则y=f(x)的反函数是（ ）ay=g(x) by=g(-x) cy=-g(x) dy=-g(-x)【答案】d. 第卷（共90分）二、填

4、空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中x2y2的系数为.（用数字作答） 【答案】70. 8x-y014.设x,y满足约束条件x+2y3，则z=x+4y的最大值为 .x-2y1【答案】5.15直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于 . 【答案】4 316.若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(【答案】(-,2 pp,)是减函数，则a的取值范围是 . 62三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）dabc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知3acosc

5、=2ccosa，tana=求b.解：由题设和正弦定理得1，3 3sinacosc=2sinccosa,3tanacosc=2sinc.tana=1,cosc=2sinc, 3tanc=0?1tana+tanc,tanb=tan轾180?a+c=-tana+c=-1,又()()臌2tanatanc-1135 b<180癨,?b18. （本小题满分12分）等差数列an的前n项和为sn，已知a1=10，a2为整数，且sns4. （i）求an的通项公式；（ii）设bn=1，求数列bn的前n项和tn. anan+1解：（i）由a1=10，a2为整数知，等差数列an的公差d为整数又sns4，故a40

6、,a50,于是10+3d0,10+4d0，解得-数列an的通项公式为an=13-3n（ii）10d3-5，因此d=-3，故2bn=111=-，于是13-3n10-3n310-3n13-3n11111+bn=-+-+3710471111n1+-=-=10-3n13-3n310-3n101010-3n1tn=b1+b2+19. （本小题满分12分）的df=平面角由ad=1得d为ac的中点，1acbc?2abtan?a1fda1d=df二面角a1-ab-c的大小为1 解法二：以c为坐标原点，射线ca为x轴的正半轴，以cb长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系c-xyz由题设知a1d与z轴平行，z轴

7、在平面aa1c1c内 （i）设a1(,a0),12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（i）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（ii）x表示同一工作日需使用设备的人数，求x的数学期望.解：记ai表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，i=0,1,2；b表示事件：甲需使用设备；c表示事件：丁需使用设备；d表示事件：同一工作日至少3人需使用设备 （i）d=a1bc+a2b+a2c，又ip(b)=0.6,p(c)=0.4,p(ai)=c20.52,i=0,1,2.p(d)=p(a1bc+a2b+a2c)=p

8、(a1bc)+p(a2b)+p(a2c)=p(a1)p(b)p(c)+p(a2)p(b)+p(a2)p()p(c)=0.31.（ii）x的可能取值为0，1，2，3，4p(x=0)=pba0c=pbp(a0)pc=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06，p(x=1)=pba0c+ba0c+ba1c=p(b)p(a0)pc+pbp(a0)p(c)+pbp(a1)pc=0.60.52()()()()()()()(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,p(x=4)=p(a2bc)= p(a2)p(b)p(c)=0.520.60.4=0.0

9、6,p(x=3)=p(d)-p(x=4)=0.25,p(x=2)=1-p(x=0-p(x=1)-p(x=3)-p(x=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38.数学期望ex=0?p(x0)+1?p(x1)+2?p(x2)+3?p(x3)+4?p(x4)=0.25+2?0.383?0.254?0.062.21. （本小题满分12分）已知抛物线c：y2=2px(p0)的焦点为f，直线y=4与y轴的交点为p，与c的交点为q，且|qf|=5|pq|. 4（i）求c的方程；（ii）过f的直线l与c相交于a，b两点，若ab的垂直平分线l与c相较于m，n两点，且a，m，b，n四点在同一圆上

10、，求l的方程.解：（i）设q(x0,4)，代入y2=2px，得x0=设得88pp8,pq=,qf=+x0=+.由题pp22pp858+= ，解得p=-2（舍去）或p=2，c的方程为y2=4x；（ii）由题设知l2p4p与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x=my+1(m 0)，代入y2=4x得y2-4my-4=0设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4故ab的中点为d(2m2+1,2m),ab=1-y2=4(m2+1)又l的斜率为-m,l的方程为x=-y2+1y+2m2+3将上式代入y2=4x，并整理得m44设m(x3y,3bx,yy-4(2m2+3)=0)(,4m

11、桫mm故mn,)则y3+y4=-4,y3y4=-4(2m2+3)m4(m2+1222的中点为e骣 +2m+3,-2,mn=3-y4=2m由于mn垂直平分线ab，故a,m,b,n四点在同一圆上等价于ae=be=1mn，从而2224(m2+1)(2m2+1)骣骣222即4(m+1)+珑，化简得2m+鼢+2=鼢+珑珑桫m鼢桫m2m42211222ab+de=mn,44m2-1=0，解得m=1或m=-1所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=022. （本小题满分12分） 函数f(x)=ln(x+1)-ax(a1). x+a（i）讨论f(x)的单调性；（ii）设a1=1,an+1=ln(an+1

12、)，证明：23an. n+2n+22xx-a-2a)(解：（i）f(x)的定义域为(-1,+),f(x)=(x+1)(x+a)222（i）当1a0,f(x)在-1,a-2a上是增函2,f(x)0,f(x)在(0,+)上是增函数 )则（ii）当a=2时,f(x)?0,f(x)0成立当且仅当x=0,f(x)在(-1,+ )上是增函数 （iii）当a>2时，若x?(1,0)，则f(x)0,f(x)在是(-1,0)上是增函数；若22x(0,a2-2a)，则f(x)0,f(x)在(a2-2a,+)上是增函数（ii）由（i）知，当a=2时，f(x)在(-1,+ )是增函数当x?(0,即ln(x+1)>2x(x>0)又由（i）知，当a=3时，fx+2 )时，f(x)>f(0)=0，(x)在0,3)上是减函数；当x(0,3)时，f(x)<f(0)=0，即ln<(x+)123 <an n+2n+23x3下面用数学归纳法证明(<0x<)x+32（i）当n=1时，由已知<a