课程设计 培训 六年级 数学讲解杂题

1、第六讲 杂题真题模考1 有块岩石标本，它们的重量分别是千克、千克、千克、千克、千克、 千克，要把它们分别装在个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些，请写出最重的背包里装的岩石标本是多少千克? 【分析】 最重的一个背包尽可能轻一些，所以，最重的背包里装的岩石标本是，千克,千克,千克,千克,千克,千克。个背包的重量： 、。2 下图为某邮递员负责的邮区街道图，图中交叉点为邮户，每个小长方形的长为米、宽为米。如果邮递员每分钟行米，在每个邮户停留半分钟，从邮局出发走遍所有邮户，再回到邮局，最少要用多少分钟？ 【分析】 从左下角出发，要回到原点，那么它向右走多少路，必须向左走多少路，向上走多少路，必须向

2、下走多少路。因此为了到达最右边的邮户，走个向右的米再回走个向左的米是必不可少的。在这种情况下消灭奇点的任务就必须全部落到米长的短线上，因此通过如图粗线设计的方案可用最少的时间走遍所有的邮户，当然也可把图翻过来看，换种走法，答案是一样的。共走分钟。3 把填入下面算式的方格内，使得运算结果最大：口+口-口口口那么这个最大结果是 。 【分析】 。4 在图中的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已经填好两个数，那么 。【分析】 如图，余下的四个圆圈分别用四个字母来表示，由每一条直线上三个数的关系可知：，,从式中知，比大，那么式可写成：，故，所以，于是，。

3、5 下面竖式中的每个“奇”字代表，中的一个，每个“偶”字代表中的一个，如果竖式成立，那么它们的积是 。【分析】 =偶偶偶， =偶偶，不是，或不等于。6 将分别填入图中的个圆圈中，使其中一条边长的四个数之和与另一条边上的四个数之和的比值最大，那么，这个比值是 。 【分析】 要使比值最大，应使一条边最大，另一条边最小。但关键是这两条边有一个公共的数。，得。7 用这九个数字每个数字各一次，组成三个能被整除的三位数，要求这三个数的和尽可能大，那么，这个和是 。 【分析】 因为，要使这三个数都能被整除，且它们的和尽可能大，这三个三位数的各个数位的数字之和只能分别为，它们的和是。先求各个数位数字之和是的最

4、大的三位数为，还剩这六个数字，分别组成两个最大的三位数，且能被整除， 各数位的数字之和是，可以得出这两个三位数分别为。所以所求数为。8 在右图的算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字。如果。巧+解+数+字+谜=。那么。“数字谜所代表的三位数是 ：【分析】 五个“谜”字的和的末位还是“谜”，只有谜或，如果谜，那么四个“字”的和的末位仍为“字”，则字。两个不同的汉字不能取同一数字，所以谜，向十位进、四个“字”的和加上的末位是“字”，只有“字”，向百位进。满足百位条件的“数”可取或。如果“数”，向千位进，则“解”，此时，解数字谜，巧，与“字”取了相同的数，不符题意，如果“数”，向

5、千位进，则“解”，此时有解数字谜，巧，符合题意，所以“数字谜”所代表的三位数是。9 将至这六个数字填入图中的六个圆圈中(不能重复使用同一数字)，使每条边上的数字和相等。那么，每条边上的数字和是 。 【分析】 （如图）。10 + + + + + + + + + 【分析】原式=+ + + + +(+)+()+()+()+()=考点拓展【例1】 求证：任意互异的个整数中，一定存在个整数使得恰是的倍数。【分析】 ，而两两互质，所以只要能找到两个数，比如，使得是的倍数，同理是的倍数，是的倍数，题目即得证。根据抽屉原理（一），在任意个整数中，必有两个整数被除同余，那么，它们的差一定是的倍数。假设这两个数为

6、，使得。在余下的个数中，必有两个数被除同余，这两个数的差一定是的倍数，假设两数为，则有，在余下的个数中，必有两个整数被除所得余数相同，那么它们的差一定是的倍数，假设两数为，则有，所以，从任意个互异的整数中，一定可以找到个数，使得是的倍数。【例2】 已知四个自然数，求证：以下六个差数的乘积一定可以被整除。【分析】 把这个差数的乘积记为，我们必须且只须证明：与都可以整除，以下分两步进行。第一步，把按以为除数的余数来分类，这样的类只有三个，故知中至少有个除以的余数相同，例如，不妨设为，这时可整除，从而可整除。第二步，再把按以为除数的余数来分类，这种类至多只有四个，如果中有二数除以的余数相同，那么与第

7、一步类似，我们立即可作出可整除的结论。设四数除以的余数不同，由此推知，之中必有二个奇数（不妨设为），也必有二个偶数（设为），这时为偶数，也是偶数，故可整除，自然也可得出可整除。如果能进一步灵活运用原则，不仅制造抽屉，还根据问题的特征，制造出放进抽屉的物体，则更可收到意想不到的效果。【例3】 证明：在自然数至中任取个数，其中一定有两个数的差小于。【分析】 由最后一句话“两个数的差小于”可以知道我们要造的抽屉应满足：“抽屉中已有数，且任意两数之差小于”。由“取个数就可保证有个数是在一个抽屉中取出的” 由此可知我们应造出个抽屉。解：将1100按如下分组，构成个抽屉：。从这个数中任取个数即为：从这个抽

8、屉中任取个数，由抽屉原理知至少有两个数是在同一个抽屉中取出的，那么这两个数的差必小于（得证）。【例4】 九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点。 【分析】 如图，设是一条这样的直线，作这两个梯形的中位线这两个梯形的高相等它们的面积之比等于中位线长的比，即点有确定的位置（它在正方形一对对边中点的连线上，并且）。由几何上的对称性，这种点共有四个，即，图中的。已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过这四点中的一点。把看成四个抽屉，九条直线当成个苹果，即可得出必定有条分割线经过同一点。【例5】 把的自然数摆成一个圆圈，证明一定存在个相邻的数，它

9、们的和数大于。【分析】 设十个数按顺序为，设相邻三个数的和, , 则则必存在某一个，该不小于，如果每个都不大于，他们的和就不会是了,又因为是整数，所以这个不小于。【例6】 有人问赵、钱、孙三人的年龄。赵说：“我岁，比钱小岁。比孙大岁”。 钱说：“我不是年龄最小的，孙和我差岁，孙岁。” 孙说：“我比赵年岁小，赵岁，钱比赵大岁。”以上每人所说的三句话中，都有一句是故意说错的，那么。孙的真实年龄是 岁。 【分析】 由于每人所说的三句话中，有一句是假的，因此从条件中看出，赵说“我岁”与孙说“赵岁”矛盾，所以至少有一个是假的。假设孙说“赵岁”为假，则孙说“我比赵年岁小，钱比赵大岁”为真，由此推出赵说“我比钱小岁”为假，而另两句“我岁，比孙大岁”为真，由此推出钱岁，孙岁，这样，钱所说的“孙和我差岁，孙岁”都不成立，所以假设错误。因此，孙说“赵岁”为真，而赵说“我岁”为假，另两句“比钱小岁，比孙大岁“为真，由此可知：钱岁，孙岁。课后练习1 现在要用米长的铁条若干根来截出米长的铁条根和米长的铁条根，那么最少要米的铁条多少根?【分析】 ，。2 有一长方体，为中点。一只蚂蚁要从出发沿表面爬到处找食物，问：怎样爬才能使路程最短?【分析】3 甲地有吨货物要运到乙地，大货车的载重量是吨，小货车的载重