2020-2021学年数学第四册教案：第11章11.1.1　空间几何体与斜二测画法含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学新教材人教b版必修第四册教案：第11章 11.1.1空间几何体与斜二测画法含解析11.1空间几何体11。1.1空间几何体与斜二测画法学 习 目 标核 心 素 养1。利用实物、计算机软件等观察空间图形，进一步认识空间几何体，培养空间想象能力2了解斜二测画法的概念及步骤，能用斜二测画法画出简单几何体(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等及其简单组合体）的直观图（重点）3逆用斜二测画法，找出直观图的原图(易错点）1.通过学习斜二测画法的步骤,培养直观想象的数学核心素养2借助斜二测画法，画出直观图，培养数学抽象的核心素养.我们日常所见的物体都占据着空间的一

2、部分我们不考虑其他因素，只考虑一个物体占有的空间形状和大小，这个空间部分可抽象为一个几何体思考：如图所示的几何体,你能画出来吗？1空间几何体如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体拓展数学上的几何体是一个抽象的概念,不考虑它的物理性质和化学成分，而只考虑它的形状和大小如:一个墨水盒占有的空间部分是一个长方体,一本书占有的空间部分也是一个长方体几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部的部分,如正方体形盒子的外表面不是正方体，而外表面加上它占据的空间才是正方体2直观图立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图为了

3、使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图3用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤（1）在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x轴和y轴,使得它们正方向的夹角为45(或135）(2）平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x轴平行(或重合）的线段，且长度不变平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半(3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线4用斜二测画法作立体图形直观图的步骤(1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图（保留x轴与y轴)（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z

4、轴，并使z轴垂直于x轴与y轴过x轴与y轴的交点作z轴对应的z轴,且z轴垂直于x轴图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z轴平行(或重合）的线段，且长度不变连接有关线段(3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)5水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆拓展正等测画法(1）正等测画法一般用于画圆柱、圆锥、圆台、球等（2)正等测画法的规则如下：在已知图形中取相互垂直的轴ox，oy，画直观图时，把它们画成对应的轴ox，oy，使xoy120(或60），它们确定的平面表示水平面已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x轴或y轴的线段平行于x轴或y轴的线段，在

5、直观图中长度都不变1思考辨析（正确的打“”，错误的打“”）（1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行（)（2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴()（3)斜二测画法中，平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变（)(4)斜二测坐标系取的角可能是135。()提示斜二测画法中，平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故（3)错误；由斜二测画法的基本要求可知（1)(2）(4）正确答案(1)（2)（3）（4）2用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（）a原来相交的仍相交 b原来垂直的仍垂直c原来平行的仍平行 d原来共点的仍共点b根据斜二测画法，原来垂直

6、的未必垂直3利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(）c正方形的直观图是平行四边形,且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y轴的边长为1.5 cm.4。水平放置的abc,有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形abc，则abc是（）a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d任意三角形c如图所示,斜二测直观图还原为平面图形，故abc是钝角三角形画平面图形的直观图【例1】用斜二测画法画出图中等腰梯形abcd的直观图(其中o，e分别为线段ab，dc的中点）解（1)画对应的坐标系xoy，使xoy45。（2)以o为中点在x轴上取abab,在y轴上取oeoe，以e为中点画cdx

7、轴，并使cdcd(3)连接bc,da，所得的四边形abcd就是水平放置的等腰梯形abcd的直观图，如图(变条件）若将本例中的等腰梯形abcd改为正五边形abcde，如图所示，那么其直观图如何画出？解画法：（1）在图中作agx轴于点g，作dhx轴于点h.（2)在图中画相应的x轴与y轴,两轴相交于点o,使xoy45。（3）在图中的x轴上取obob，ogog，ococ，ohoh，y轴上取oeoe，分别过g和h作y轴的平行线，并在相应的平行线上取gaga，hdhd(4）连接ab,ae，ed,dc,并擦去辅助线ga，hd,x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形abcde的直观图abcde(如图）画平面图形

8、的直观图的技巧（1)在已知图形中建立直角坐标系时，要尽量利用图形中原有的垂直关系和对称性（2）在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中也与x轴或y轴平行(3）若原图形中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，则必须经过这些点作其中一坐标轴的平行线段，使之与另一坐标轴相交，然后确定原图形中点的对应点的位置(4)原图形中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出画空间几何体的直观图【例2】用斜二测画法画正六棱柱（底面是正六边形,侧棱垂直于底面）的直观图思路探究解（1）画轴：画x轴、y轴、z轴，使xoy45（或135)，xoz90.(2)画底面：在面xoy内

9、，画出正六边形的直观图abcdef.(3）画侧棱：过a，b，c，d，e,f分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取aa，bb，cc,dd，ee，ff都等于侧棱长（4)成图:顺次连线a，b，c，d，e，f，并加以整理(去掉辅助线将被遮挡的部分改为虚线）就得到正六棱柱的直观图，如图所示简单几何体直观图的画法步骤（1）画轴：通常以高所在直线为z轴建系(2）画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面(3）确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点(4）连线成图画出正四棱锥（底面是正方形，侧面是有一个公共顶点且全等的等腰三角形的棱锥)的直观图解(1)画轴画ox轴、oy轴、oz轴，xoy45（或

10、135),xoz90，如左图所示(2）画底面以o为中心在xoy平面内，画出正方形直观图abcd（3）画顶点在oz轴上截取op,使op的长度是原四棱锥的高(4)成图顺次连接pa，pb,pc，pd，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到此四棱锥的直观图直观图的还原和计算问题探究问题1如图，abc是水平放置的abc斜二测画法的直观图，能否判断abc的形状?提示根据斜二测画法规则知：acb90,故abc为直角三角形2若探究1中abc的ac6,bc4,则ab边的实际长度是多少？提示由已知得abc中，ac6，bc8，故ab10.3若已知一个三角形的面积为s,它的直观图面积是多少?提示原三角形面积为sa

11、h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，aa,hhsin 45h，sahahahs.【例3】如图所示，abc是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形思路探究由直观图还原平面图形的关键：(1)平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段扩大为原来的2倍（2）对于相邻两边不与x，y轴平行的顶点可通过作x轴，y轴平行线变换确定其在xoy中的位置解画出直角坐标系xoy，在x轴的正方向上取oaoa,即caca;过b作bdy轴，交x轴于点d,在oa上取odod，过d作dby轴，且使db2db;连接ab,bc，得abc则abc即为abc对应的平面图形，如图所示如图所示,矩形oabc是水

12、平放置的一个平面图形的直观图，其中oa6 cm，cd2 cm,则原图形的形状是_菱形如图所示，在原图形oabc中，应有oabc，od2od224（cm)，cdcd2(cm）,oc6(cm），oaoc,故四边形oabc是菱形1直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变,平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可2直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为s，其直观图的面积为s，则有ss或s2s.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积知识：1斜二测画

13、法中的“斜”和“二测”(1）“斜”是指在已知图形的xoy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45或135。（2）“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴或z轴的线段长度不变;平行于y轴的线段长度变为原来的一半2斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称轴所在直线为坐标轴、图形的对称中心为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等,即使尽量多的点或线落在坐标轴上3直观图中“变”与“不变”(1）平面图形用其直观图表示时,一般来说，平行关系不变(2)点的共线性不变，线的共点性不变，

14、但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)（3）有些线段的度量关系会发生变化这种变化，目的是使图形富有立体感方法:斜二测画法的规则可简记为“横不变，纵折半，平行关系不改变，九十度要画一半”1关于斜二测画法所得直观图的说法,正确的是()a直角三角形的直观图仍是直角三角形b梯形的直观图是平行四边形c正方形的直观图是菱形d平行四边形的直观图仍是平行四边形d由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项d正确2如图所示，四边形oabc是上底为1,下底为3,底角为45的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图oabc，则梯形oabc的高为()a b

15、c da因为四边形oabc是上底为1，下底为3,底角为45的等腰梯形，所以等腰梯形oabc的高为1,面积s(13)12,所以等腰梯形oabc的直观图的面积s2。设梯形oabc的高为h，则（13）h，解得h.故选a3如图,abc是abc的直观图，其中abac，那么abc是（)a等腰三角形 b直角三角形c等腰直角三角形 d钝角三角形b由斜二测画法的规则可知abc为直角三角形，且直角边的长度关系为ac2ab4如图所示为水平放置的正方形abco，它在直角坐标系xoy中，点b的坐标为（2,2），则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点b到x轴的距离为_画出直观图，bc对应bc,且bc1,bcx45，故顶点b到x轴