2017-2018年九年级数学 第11讲 几何问题探究—相似与比例相关问题教案

1、学必求其心得，业必贵于专精几何问题探究-相似与比例相关问题知识点相似三角形的性质与判定;相似三角形的综合；教学目标熟练掌握图形相似的证明方法；教学重点能够灵活的运用图形的性质去证明图形中线段的关系；教学难点灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究图形的线段问题;知识讲解考点1 两条线段之间的数量关系在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多,有时也出现证明两条线段的倍数关系，如ab=2cd或ab=cd等。在证明两条线短相等的过程中,可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时,利用构造基本图形模型证明，具体情

2、况如下：1。利用三角形的中位线或直角三角形证明a=b；2。利用等腰三角形证明a=b；3.利用含30角的直角三角形证明a=b等；考点2 两条线段之间的位置关系在位置关系猜想中,两条线段是垂直关系还是平行关系一目了然,关键是如何证明，方法如下:1。在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90,一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；2.在证明两条线段平行时,大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；总之证明位置关系，需要根据图形的性质,利用三角形全等进行证明，有时利用相似。在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明.考点3 相似三角形的判定定义法：三

3、个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为:两角对应相等，两三角形相似判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例,两三角形相似考点4 证明题常用方法归纳（1)总体思路：“等积”变“比例”，“比例”

4、找“相似”（2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.（3）找中间比： 若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移（或“替换),常用的“替换”方法有这样的三种:等线段代换、等比代换、等积代换。即：找相似找不到,找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。（4） 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线

5、)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段.（5）比例问题：常用处理方法是将“一份看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比为k.(6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形(或基本图形）“分离”出来的办法处理。例题精析例1 已知:如图,若以abc边ab、ac为边向外作矩形abde和矩形acgf，ac=k af,ab=k ae ，m、n分别为bc和dg的中点。试探究线段mn、bc之间的关系，并证明你的结论。例2如图11,在oab和ocd中,a

6、90,ob = k od（k 1)，aob =cod，oab与ocd互补试探索线段ab与cd的数量关系,并证明你的结论说明:如果你反复探索没有解决问题，可以选取中的一个条件k = 1(如图12)；点c在oa上，点d与点b重合(如图13）例3已知点e在abc内，abcebd，acbedb60，aeb150，bec90（1)当60时(如图17），判断abc的形状,并说明理由;求证：bdae；（2）当90时（如图18）,求的值例4已知abc是等边三角形,cdac，aecd，且eaed，be与ad相交于点f（1)若caddae(如图14）,试判断bf与fe的数量关系，并说明理由；（2）若cad2dae

7、（如图15），求的值例5在abc中，a90，点d在线段bc上，edbc，bede，垂足为e，de与ab相交于点f（1）当abac时,（如图13）， ebf_； 探究线段be与fd的数量关系,并加以证明;（2）当abkac时（如图14），求的值（用含k的式子表示）课程小结本节课主要研究了相似与比例相关问题，抓住题干所提供的信息,利用证明所缺条件构造出全等形或是相似形是本节课的重点，几何问题的探究,是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。例1【规范解答】证明：延长bn使得bn=nh，连接hg、hc、nc，又 nd=ng ， dnb=gnh dnbgnh bd=hg延长b

8、a交hg于q点 bdhg aqg=acg=90在四边形acgq中，aqg+acg=180，则 hgc+qac=180又bac+qac=180, hgc=bac又ac=kaf，ab=kae , bachgc, bc=khcm、n分别为bc和dg的中点mnhc, mnbc， hc=2mnbc=2kmn【总结与反思】延长bn，构造八字形全等，得到与bd相等的边hg,构造bachgc，从而可以得到hc与bc的关系，进而得到bc与mn的关系。例2【规范解答】结论:ab =kcd证明：（方法一）在oa上取一点e，使oe=k oc，连接eb， ob= k od,aob=cod， oebocd，即eb=kcd

9、，oeb=ocdoab+ocd=180 ，oab+oeb=180 ，aeb+oeb=180 ，oab=aebeb =ab, ab =kcd （方法二）延长oc到点e，使oe=oa，连接de证明doeboa，再证明dce是等腰三角形，进而证出结论(方法三）作deoc交oc的延长线于e,作bfoa于f，证明doebof，再证明dcebaf，进而证出结论（评分标准参照证法一）选择（1）结论：ab =cd证明:（方法一)在oa上取一点e，使oe= oc,连接ebob=od，aob=cod，oebocdeb=cd,oeb=ocd，oab+ocd=1800，oab+oeb=1800aeb+oeb=1800

10、,oab=aeb，eb =abab =cd(方法二）延长oc到点e，使oe=oa，连接de证明doeboa，再证明dce是等腰三角形,进而证出结论.（方法三）作deoc交oc的延长线于e,作bfoa于f，证明doebof，再证明dcebaf，进而证出结论。(评分标准参照证法一)选择(2）结论：ab =cd证明：oab+ocb=1800，acb+ocb=1800，oab=acb，cb =ab即ab =cd【总结与反思】abdce图17方法一是截取图形构造相似形，方法二是补出图形构造相似形,方法三是作垂创造条件构造相似形。我们介绍的这三种证明方法,同时也适用于后面附加条件的证明。本题如若选择条件证

11、明会相应的减掉一些分值。例3【规范解答】（1）判断：abc是等边三角形 证明:abc是等边三角形同理ebd也是等边三角形连接dc，则ab=bc，be=bd，图18ceabdabe cbd，ae=cd，在rtedc中 ,（2）连接dc，,abc ebd ， ，又，abe cbd ，设bd=x 在rtebd中，de=2x，be=在rtedc中，cd=,即【总结与反思】（1)题中给出了特殊角60，我们通过导角便可以得出abc是等边三角形，同理ebd也是等边三角形。由图形全等可以得到一个特殊三角形rtedc，从而得到bd=ae.（2)补全图形，仿照(1），证明相似,通过边之间的关系便可以确定bd与ae

12、的比值了。例4【规范解答】解(1) 判断:bf=fe证明：作bqac，交ac于点p ，交ad于点q cdac,acd =90，aecd ，eac= 90,cad=dae,cad =30，dae=60ea=ed，ead是等边三角形,ea=ad=2 cd，又abc是等边三角形ap=pc，apb=90=eac=acd,aebqcd， 即q是ad中点eaf=bqf,aef=qbf，pq=cd，ac=cd在rtabp中，bp=ap=ac=cd,bq= bp+ pq=2cd=eaafe qfb，bf=fe（2）作bqac，交ac于点p ，交ad于点q ,连接eq同理p、q为ac、ad的中点，eaf=bqf

13、,aef=qbfafeqfb,eac= 90,cad=2dae,cad =60,dae=30pq=cd, ac=cd， ad=cd,bq= bp+ pq= ac+cd=cd+cd=cdaq=ad=cd ,又ea=ed，eqadea= aq=cd= cd【总结与反思】（1)作垂线，通过题干所提供的信息得到bq与ae的关系，从而构造全等afe qfb，去证明bf=fe.（2)作垂线,过题干所提供的信息，从而构造全等afeqfb，去证明bf与ef的比值是3:2.例5【规范解答】解：（1)22.5 结论：befd证明：如图1，过点d作dgca，与be的延长线相交于点g，与ab相交于点h则gdbc bh

14、da90ghb，edbcgdbedg又dede，debdeg90，debdeg，begegb,abac a90，abccgdb，hbhddebbhd90 bfedfh，ebfhdf，gbhfdh，gbfd，befd（2）如图1，过点d作dgca，与be的延长线相交于点g，与ab相交于点h同理可证：debdeg，begb，bhdghb90，ebfhdf，gbhfdh 即，又dgca，bhdbac, 即k第二种解法:解:(1）abaca90，abcc45，edb c，edb22.5bede，ebd67。5，ebf67。54522。5在bef和deb中,ee90,ebfedb22。5，befdeb如图：bg平分abc，bggdbeg是等腰直角三角形,设efx,bey，则：bggd y,fd yyxbefdeb, ，即： ，得：x（ 1）y，fd yy（ 1)y2yfd2be（2）如图：作acb的平分线cg