数形结合在中学数学中的运用毕业论文

1、数形结合在中学数学中的运用 内容摘要数学教学内容贯穿着两条主线:即数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文字形式写在教材里,反映着知识间的纵向联系.数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的纵向联系。常常隐藏在基础知识的背后。需要人们加以分析，提炼才能使之显露出来。 数学思想方法能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值，学会数学地思维，能把知识的学习、培养能力和发展智力有机地统一起来。因而研究数学思想方法在数学教学中的作用有着重大的意义。正如f克莱恩呼吁:“要让学生看到数学建造过程的脚手架，而不是简单的现品。”数学是研究空间形式和数量关系的科学，因此数形结合思想是重要的数学思想

2、方法之一，从数的概念的形成和发展，到微积分的产生及现代数学各分支学科的形成，都是与数形的完美结合分不开的。“数”与“形”也是贯穿整个中学数学教材的两条主线，“数”与“形”的相互转化、结合更是解题的重要方法。本文主要从以下几个方面进行阐述: (1)数形结合思想方法概述，简要介绍数形结合思想的历史演进;(2)数形结合思想方法在中学数学教学中的地位; (3)数形结合思想方法在中学教学中的应用; (4)分析数形结合思想方法教学对学生的培养功能; (5)数形结合思想方法的教学实施。关键词:数形结合思想方法 中学数学教学 数形结合思想方法教学 教学途径 1the apply of numbershape

3、combination in the middle school math teachingabstractmathematics teaching content link the two strands: namely mathematics elementary knowledge and the mathematical way of thinking. mathematics elementary knowledge is a open wire ,use direct text written in the teaching form, reflecting the longitu

4、dinal contact between knowledge. mathematical way of thinking is a wiring, reflecting the longitudinal contact between knowledge. often hidden in the basic knowledge of behind. people need to analyze and refining to enable them to reveal. mathematical way of thinking can make students understand the

5、 essence of mathematics, know the value of mathematics, to learn mathematics thought, can put the knowledge learning and cultivating ability and developing intelligence organically combine. therefore, the study of mathematical way of thinking in the teaching of mathematics action is of great signifi

6、cance. as f klein appeal: let the student saw mathematical building process of scaffolding, rather than simply now goods.mathematics is the study of the form of the space and the quantitative relationship between science, so few form combining thought is one of the important mathematical way of thin

7、king from several concepts, the formation and development, to calculus the generation and modern mathematics all branches of the formation, with several shape is the perfect combination of inseparable. the number and shape also throughout the middle school mathematics teaching material of the two ma

8、in line, number and form mutual transformation, combination is an important method for problem solving. this article mainly from the following several aspects: (1) number form combining thinking methods outlined briefly introduced several form combining thought historical evolution, (2) number form

9、combining thought method in middle school mathematics teaching status, (3) number form combining thought method in the middle school teaching application; (4) analysis number form combining thought method teaching to train students function; (5) number form combining thought method of teaching imple

10、mentation.key words: methodology of numbershape combination, the mathematical teaching of middle school, the teaching of numbershape combination methodology teaching approaches 2 目录引言41. 数形结合思想方法概述61.1数形结合思想方法61.2数形结合思想方法历史演进与价值分析62.数形结合思想方法在中学数学教学中的地位82.1从新课程标准对“双基”的要求看数形结合82.2从新课程教学内容的特点来看数形结合83数形

11、结合思想方法在中学解题中的应用93.1数形结合在函数与方程问题中的应用93.2数形结合在不等式中的应用113.3数形结合的其他应用134.数形结合思想方法对学生的培养功能154.1帮助学生形成明确完整的数学概念164.2拓展学生寻找解决问题的途径164.3有助于学生数学能力思维的发展175.数形结合思想方法的教学实施175.1引入数学史，渗透数形结合思想方法185.2在知识发生过程中，渗透数形结合思想方法185.3在问题解决过程中，掌握数形结合思想方法19主要参考文献22 引 言 九年义务教育全日制中学数学大纲明确指出:“使学生受到必要的数学教育，具有一定的数学素养，对于提高全民族素质，为培养

12、社会主义建设人才奠定基础是十分必要的。”又指出:“初中数学的基础知识主要是初中代数，几何中的概念，法则，性质，方式，公理，定理，以及由其内容所反应出来的数学思想和方法。既把数学知识的“精灵”数学思想和方法纳入基础知识的同时，又凝聚了形成知识所经历的思想方法，规律及逻辑过程(1)。如果说历史上是数学思想方法推进了数学科学，那么在教学中就是数学思想方法在传导数学精神，在对一代人的数学素质施加深刻持久的影响。指导学生掌握数学思想方法，使学生从“会学”到“学会”学习应是教学的重要任务之一。日本数学教育家米山国藏说过:“学生在初中或高中所学到数学知识在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的

13、数学通常在走出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从来什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用”。传统数学教学只注重数学知识的传授，却忽视知识发生过程中数学思想方法的教学，结果只能让学生的头脑填满一大堆的零散的材料，无法形成一个具有“活动”的结构，不利于学生职业可持续发展，终身学习。就中学数学而言，知识的发生过程实际上就是数学思想的产生过程，因此在概念的形成过程中，结论的推导过程中，方法的思考过程中，问题的发现和探索过程中，规律的被揭示过程中等，都蕴藏着向学生渗透数学思想方法的极好时机。如探索、猜测、修正结论、证明结论的合情推理思想就可以

14、在教学实践中让学生从体会以感悟。然而在“应试教育”的影响下，中学数学的教学急于求成，数学思想方法的教学是很不到位的。只重视知识的传授或是进行大运动量的习题训练，一些数学思想往往会被忽视，被理解成数学中最常见的，最基本、较浅显的内容，一带而过，有名无实，甚至于把一些数学思想降格为数学方法甚至是解题术来进行教学。这种对数学思想方法理解的偏颇的教学导致了学生对数学本质理解的肤浅，不完整，也造成学生只能停留在解题方法的一招一式的模仿上，不易形成数学意识，而数学观念直接影响到学生对数学问题的思维过程的指导，监控和制约。因此学生对问题的审视不能站在一定的高度，对问题的解决缺乏灵活驾驭的能力。爱因斯坦说过:

15、在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来不过是笨拙的工具。事实上，数学思想方法除了上述内容外，还应包括关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识。“数学思想的历史是数学基本概念、重要理论产生和发展的历史，也是哲学家和数学家的数学观发展的历史”（2）。因此在中学数学教学中，对某种数学思想的引入的同时，要介绍一些相关的数学史。数学史是学习数学，认识数学的工具。人们要弄清数学概念，数学思想和方法的发展过程，增长对数学的通识，建立数学的整体意识，就必须运用数学史作为补充和指导，特别是现代数学的体系犹如“茂密繁胜的森林”，使人“站在外面窥（1）唐绍友，数学教学中渗透数学史教育

16、的途径，数学通报，1997.6（2）沈文选，中学数学思想方法，湖南师范大学出版社，1999年第1版不见它的全貌，深入内部又可能隐身迷津”，数学史的作用就是指引方向的“路标”，给人以启迪和明鉴。当然，数学思想方法的重要性己越来越受到重视，对数学思想方法的认识也不断在完善。中学数学思想方法很多，本文仅对高中数学中的数形结合思想方法进行探究，数形结合思想方法是高中数学中的一个重要的思想方法，它不仅在数学解题中有着强大的功能，更在数学教学中发挥着巨大的作用。“形”的直观与“数”的精确相辅相成，能优化解题，化解难点知识，学生易于理解接受。但大多是数形结合在解题中的应用，用数形结合方法解高考题等，偏重于方

17、法的使用，对数形结合思想方法没有完整的、深刻的认识。 回想我的高中时代，对于“数学结合”我只是把它当做一个名词来理解，在题海战术中学方法，很多知识根本没有理解。现在很多学生也是一样。很多学生都这样说:在学习了解析几何之后我知道了什么叫数形结合;数形结合就是在解题时要画个图;数形结合就是根据图形中显现出来的几何条件列出代数式进行求解;数形结合就是代数与几何相结合。学生对数形结合思想方法的理解比较片面，学生运用数形结合思想方法解题的能力也较薄弱，尤其是数形转化能力较差。因此数形结合思想方法的教学在数学教学中并没有得到应有的重视，更无明确的教学目标，随意性较大，不成体系。值得我们对其进行探讨。1数形

18、结合思想方法概述1.1数形结合思想方法数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，是数学的基石。“数”主要指实数、复数或代数对象及其关系，属于数学抽象思维范畴。“形”主要是指几何图形，属于形象思维的范畴。数形结合就是通过数与形之间的对应与转化来解决数学问题，数形结合能使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存，彼此激发，全面、协调、深入地发展人的思维能力。数形结合包含“以形助数”和“以形辅数”两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。它是数学规律性与灵活性的有机结合。“形”中的一些量 (如距离、角度、而积、体

19、积等等)在一定单位制中可分别对应一些确定的“数”。通过这种对应，可使一些抽象概念、复杂的数量关系借助其背景图形的性质，变得自观，便于找到解决问题的思路及方法。 1.2数形结合思想方法历史演进 数的产生源于计数，是对具体物体的计数，而产生数的概念之后，用来表示“数”的工具却是一系列的“形”，在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的图形来表达抽象的数。中国的算筹和算盘可算是历史最长的计数工具，也是数形结合的典型范例。“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以记录，使用，计算。早在古希腊数学时期，毕达哥拉斯学派在研究数时，就常常把数同沙砾或画在平面上的点联系起来，按照沙砾或点子的形状将数

20、进行分类，进而结合图形性质推出数的性质。如把满足关系式用现代记法):1+2+3+n=的数称为三角数。 图1 三角形数图满足关系式:1+3+5+(2n一1)=n2的数称为正方形数。图2 正方形数图第n个五边形数等干第(n-1个三角形数的三倍加上n6 图3 五边形数图像这类研究使他们获得了关于整数的许多简明的结果。“形”推动了“数”的发展（1）。这是早期“数”与“形”相结合的体现。在希腊数学的后期，数形结合主要表现在:算术和代数运用于图形长度、面积和体积大小的计算上，二角术的问世更加表明人们对几何定量化的渴求。同时我们也可以发现:借助己有的方法，扩展后的数与形这两个概念己经无法真正建立起一一对应关

21、系。例如，初等代数的中心是解方程，解方程的全过程并不完全能用几何学的知识来解释;而对几何图形的空间特征和关系的处理还无法数量化，还只能处于定性阶段。总之，随着人类认知领域的膨胀，数形结合的适用范畴由整体性转向局域性。从某种程度上可以认为，在随后的相当长时间内，几何学与代数学在其各自领域儿乎是独立发展着。笛卡尔创立的解析几何的基本思想是:借助坐标系建立起平面上的点和数对之间的对应关系，由此可用方程来表示曲线。一个几何问题通过点的坐标就翻译成一个代数问题，对于这个代数问题就可以用代数的方法来解决它;最后，把所得到的结果再翻译成几何的语言，这样就得到了所给几何问题的解答。笛卡尔还 在数学中引入了“变

22、量”，完成了数学史上的一项划时代的变革。为此恩格斯给予了很高的评价:“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，。”“解析几何模式”是知识之间、方法之间、知识与方法之间相互渗透的典范，是数形结合思想的完美体现。继笛卡尔之后，数与形更进一步密切结合。例如数学分析中，导数切线的斜率;积分曲边梯形的面积;代数中，方程f (x) =0的根曲线y=f (x)与x轴的交点；矩阵的特征根放大系数(沿某方向拉长，伸长或压缩)；矩阵的特征向量坐标轴变换后的主方向。近代数学中，从几何的角度看，代数和几何的结合产生了代数几何:分析和几何结合产生了微分几何；而代数几何和微分几

23、何又转过来为代数与分析(以及其它学科)提供几何背景，解释和研究课题，促进它们的发展，并使数学在实践中的应用更加广泛和深入。可见，数形结合也是今日数学发展的必然，数形结合贯穿于数学发展的全过程。 数形结合能揭示数学问题的条件与法论之间的内在联系，既分析代数意义有揭示其几何意义，使数量关系和空间形式能巧妙和谐地结合起来。代数问题几何化就是把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简单易行的方法。其思想主要特点：数形问题解决。同时，数形结合从方法论角度也给人们以重要的启示。在平面上把点与数对、曲线与方程之间建立一一对应的思考方法，启发数学家们把一个个函数视

24、为点，（1）衰小明，数学思想史导论，广西教育出版社，1991年7而把某类函数的全体视作“空间”，由此形成分析类数学中泛函分析为一活跃的分支（1）。数形结合也是数学学科分支建立的内驱力。可以说，从认识论和方法论的角度看，数形结合这种思维方法的运用，有助于加深对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象与概括，拓展了人们思维的深度和广度，使数学思维更深刻，更具创造性。2.数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 2.1从新课程标准对“双基”的要求看数形结合 根据数学新课程标准对数学中的“双基”的理解。教师应帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能。具体来说是:(1)强调对基本概念和基

25、本思想的理解和掌握。对一些核心概念和基本思想(如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等)都要贯穿高中教学的始终，由于数学的高度抽象性，要注重体现概念的来龙去脉，在教学中要引导学生经历从具体实例中抽象出数学概念的过程。(2)重视基本技能的训练。要重视运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练。(3)与时俱进地审视双基。随着时代和数学的发展，高中数学中的双基也在发生变化，例如统计、概率、导数、向量、算法等内容已成为高中数学的基础知识。对原有的一些基础知识也要用新的理念来组织教学。如立体几何的教学可从不同视角展开，从整体到局部，从局部到整体，从具体到抽象

26、，从一般到特殊，而且应注意用向量方法处理有关问题;不等式教学要关注它的几何背景及应用:三角恒等变形的教学应加强与向量的联系，简化相应的运算和证明由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分挖掘它的教学功能和解题功能（2）。 2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合数学基本知识与数学思想方法是课堂教学内容的两个不可分割的有机组成部份。数学思想方法是解决数学问题的根本思想和手段，它是人们探索数学真理，求解数学问题的过程中逐步积累起来的，并蕴含于各个数学分支的公理、定理、公式、法则和解决问题的过程中，是人类宝贵的精神财富。数学思想方法产生数学知识，数学知识蕴含数学思想和方法

27、，两者的联系是辩证的统一。这就决定了在中学数学课堂教学中，数学知识的教学不能代替数学思想方法的教学，课堂教学的目的，应在于运用数学思想方法去揭示数学知识之间的内在联系，教师在课堂教学中，既要重视数学知识的教学，更要突出数学思想和方法的教学，通过数学思想和方法的教学，使我们的学生毕业之后，“不论做什么业务工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学精神，数学思想方法和着眼点(培养了这方面素质的话)，都随时随地发生作用，使他们终生受用。（3）”然而在课堂教学中教师过于呆板地强调着逻辑思维能力。在教学中忽视对直观图形的利用，不能很好地利用具体形象来化解对书本中一些抽象的结论的理解。忽视学生形象思维的培养。学生对

28、于现在这种过于陈旧的课堂教学模式不能产生“亲和感”，感到枯燥，厌恶。事实上教材中体现数形结合思想方法的内容很多，可以通过数形结合给代数提供几何（1） 周春荔，数学观与方法论，首都师范大学出版社，1996年8月第一次出版（2） 教育部书础教育司，教育部师范教育，普通高中新课程研修手册新课程的理念j创新，高等教育出版社（3） 英国aa斯托利亚尔著，数学教学，人民教育出版社，1985.38模型，形象直观地揭示问题的本质，减轻学生学习的负担，从而引发学生学习数学的兴趣。利用数形结合有利于进行初、高中数学教学的过渡衔接。初中数学的教学内容较具体，模仿性的练习较多，而高中数学的内容抽象性较强，强对数学概念

29、的理解基础上的运用，对思维能力、运算能力、空间想象能力，数学语言的运用要求较高。因此学生对于高中数学的学习要有一个适应过程。教师更要帮助学生渡过这个关口。从高一数学内容来看，通过数形结合，从具体到抽象恰好符合学生的认知规律。3数形结合思想方法在中学解题中的应用 3.1数形结合在函数与方程问题中的应用中学数学大纲提出:“通过数形结合思想的教学，对学生进行对立统一观点的教育。”数形结合思想就是充分利用“形”的直观性和“数”的规范性，通过数与形的相互转化处理数学问题。数形结合思想贯穿于全部中学数学之中，数轴、计算法证几何题、三角法、复数法、向量法、解析法、图解法等等都是这一思想的具体运用.数形结合的

30、理论实质是从理论的抽象走向思维的具体，只有数和形的有机结合，抽象的方程才具有实际意义，学生在运用方程的概念分析问题时，其思维才会有所依托，有所凭借，变抽象思维为形象思维.顺利解决问题。例1：当:0k1时，关于x的方程1-x2的解的个数是多少?分析:此题若直接解较繁，联想到方程解的个数即表示曲线的交点个数，因此可由“数”想到“形”，把求方程解的个数问题看作是求函数y=1-x2与y=kx+k的图像的交点个数问题.我们在直角坐标系中分别作出y=1-x2与y= kx +k(0k1)的图像(如图4)即可得出交点个数，从而可知原方程解的个数是三个。图4例2：当m取何值时，方程sin2xsinx+m=0(-

31、x)有唯一解?有两解?无解?解：原方程即-sinx2+sinx+m(-x).令t= sinx则有-t2+t=m(-1t1).再令y=-t2+t(-1t1)及y=m，则方程的解的个数等于直线y=m与抛物线弧y=-t2+t(-1t1)的交点的个数.由图5可知:当m=或-2m0时，原方程 9有唯一解;当0m或m1, 解关于x的不等式ax+x-1. 11 解：在同一坐标系，作y= ax+和y=x-1的图像c1 ，c2，如图11.解方y=ax+2程组 y=1-x ,得c1 和c2的交点p的横坐标，由图10可知，当x时,曲线c1 在c2的上方，可得不等式的解集为xx。 图 10图11在确定不等式的范围的参

32、数范围时，几何图形能使问题直观化。例7：已知关于x的不等式l g-l g(a x+ b)0的解集为（-，1），求实数a ,b的取值范围。解：将原不等式变形为l gl g(a x+ b)即 a x+ b0。如图11，作曲线c: y=和直线l :y=a x+ b。根据题意,直线l :y=a x+ b与曲线c:y=的交点a,b的横坐标分别为-和1，可以求得a（-，）和b（1，），将a,b的坐标代入直线l的方程,得-a +b=,解得a + b=,a= b=利用数形结合,把要证明的不等式赋予一定的几何意义,可使复杂的问题得到简洁的证明.例8：已知f(x)=,求证：f(a)-f(b)a-b.12分析：分析

33、这是一个含有绝对值的无理不等式,直接证明不容易,注意到函数式f(x)= 表示原点到点(1,x)的距离,利用其几何意义,解题就很简单了.证明：如图12,设a(1,a), b (1, b),则f(a)= |oa|, f(b)= =|ob| ,|a-b| =|ab|.1)当ab时,在adb中,由|oa| - |ob| |ab|,得|f(a)-f(b)|a-b|；2)当a=b时,由|oa|=|ob| ,|a-b|=0,得|f(a)-f(b)|=|a-b|.综合1),2)得|f(a)-f(b)|a-b|. 图13图12例9：a，br+，a + b=l,求证（a+）2+（b+）2。证明:如图13，因为a+

34、 b=1,所以点m(a，b)在直线l:x+y-1=0上，故p(-,-)到点m的距离不小于它到直线l的距离，由两点间距离公式及点到直线距离公式得，即（a+）2+（b+）2（+1）=（+1）2。由a b可知（+1）2（4+1）2=，故（a+）2+（b+）2 由以上几个例题不难看出,用数形结合思想解题,确实具有形象直观、简捷明快的特点,而且在不等式问题中应用广泛,方法灵活,掌握这种思想的关键是多类比,多联想,挖掘所给代数式的几何意义,充分利用已知图形的几何性质。3.3数形结合的其他应用“数形结合”揭示了几何中的形与数的统一,为依形判“数”与就数论“形”的相互转化奠定了扎实的基础.这体现了几何与代数的

35、辩证统一.在运用此思想13解题时,一些题目较明显,而一些题目需要构造几何图形,构造是创造力的较高表现形式.在数学教学中,教师应注意引导学生依据题目特征,类比相关知识,通过数学模型来促使问题的解决,从而培养学生的独创性.有些问题条件以数的形式出现较复杂抽象,其结论的探求也比较困难,但转化成形的问题以后结论就比较直观。例10：设a ,b是两个实数,集合a(x ,y )|x=n ,y =n a +b ,n是整数,集合b =(x ,y)|x=n, y =3m2 +15,m是整数,c =(x ,y)x2 +y2144是平面内点的集合,讨论是否存在a和b使得(1)ab,(2)(a ,b )c两个条件同时成

36、立. 分析：a为直线y =ax +b在x等于整数n时点的集合,b为抛物线上等于整数时的点集合;ab即存在a ,b及整数p使pa +b =3p3+15成立,其几何意义是点p (a ,b)在直线l :p x +y-(3p2+15)=0,又集合c为圆面x2 +y2 144,(a ,b )c的几何意义是点p(a ,b)在圆内或边界上,因此要使(1),(2)同时成立,即要求点p在l上双在圆o的内部或在边界上显然即要求圆心o(0,0)到l的距离d满足12，整理得（p2-3）0,p2-3=0 p=这与p z矛盾,因此这样的实数a ,b不存在.例:11设x,求证: c sc x cot x-1分析:由条件联想

37、等腰三角形,不妨构造一个等腰直角三角形abc,c =90o,ac=bc=1,在ac上取一点d记cdb =x,则bd = c sc x ,cd =cot x ,ad =1cot x,利用ad+dbab=,可得c sc x -cot x-1,等号仅在x=时成立。例12:abc中,已知2b =a +c且abc ,c-a=90o,求sin a :sin b: sin c分析:由c-a=90o，可想到相似三角形,根据相似三角形的性质及勾股定理求出三边之比.如图14，在abc中,在ab上取一点d满足acd=90o可得dcb =a,b=b,abccbd.设cd = x, bd =y,则有y=a2/c ,x

38、=a b / c,在r tacd中:(c-y )2=x2 +b2.又2b =a +c,消去x ,y ,b可得3a2-8ac +3c2=0.求得a=,b=(a + b)=c.所以a :b :c=:1得sin a :sin b :sin c=a :b :c=4-:+1 14 图14 4.数形结合思想方法对学生的培养功能 4.1帮助学生形成明确完整的数学概念数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心，是思维中最活跃的成分。但数学教材中的概念又是极其浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结晶，是多级抽象的结果，并且只是以文字形式给出了相应的结论，省略了概念原有的逻辑加工过程

39、。利用数形结合思想，就是对概念的数与形的两种形式进行表述，揭示知识的实质，沟通数学知识之间的内在联系，使学生对概念不仅仅流于表面文字的理解及记忆，而是真正理解概念的本质属性。利用数形结合，容易揭示数学概念的来龙去脉，学生易于感知和接受。如对于数轴概念的形成，人们早就懂得用秤杆上的点表示重量，温度计上的点表示温度，船闸的标尺上的点表示水位高低，秤杆、温度计、标尺之间本来毫无关系，但从数量关系和空间形式来看它们本质上有相同的属性，具有三个相同的要素:“度量的起点”“度量的单位”“明确的增减方向”。这个模型启发人们用直线上的点来表示数。因此数轴的定义完全是对客观模型科学抽象的结果。在平时的教学中要多

40、挖掘，多展示，让学生在感知中接受概念，领悟概念。利用数形结合有利于学生对知识本质的理解。为概念赋予图形信息，帮助学生利用图形信息来理解记忆概念及对相关性质进行应用。阿达玛提出:“几何直观仍然是领悟数学的最有效渠道”（1）。可尔莫哥洛夫则提出了几何直观的具体要求“对于抽象的东西，能够在头脑中像画画一样描绘出来并加以思考”（2）。直观图形在传递概念时，给人的信息是完整的，显示结构的，可以用表象信息来贮存语言信息，而借助于表象更容易形成长时记忆。如在对函数的性质进行理解记忆时，就是在图象基础上进行的，由图象的位置、最高点、最低点，对称性，上升、下降等，就能说出相关的定义域、值域、最大值、最小值、极值

41、点，单调性、奇偶性等性质。文氏图在理解集合的交、并、补运算时直观简洁。概率中的一些概念也是以纯文字形式叙述的，不易区别，但用文氏图来解释就一目了然。例如互斥事件a, b和对立事件a, b这两个概念的联系、区别，用图15表示为: 图15 文氏图由图形可知是对立事件必定为互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。用图形来剖析知识，给概念附上几何意义，为记忆保持了形象支持，有效促进了概念的（1）马忠林，任樟辉著，数学思维论，广西教育出版社，2001年1月第1版（2）马忠林，任樟辉著，数学思维论，广西教育出版社，2001年1月第1版 15记忆。同时，数形结合加强了知识与知识之间的相互联系与转化，构建了有效

42、的知识网络，优化了学生的数学认知结构，使学生原有的认知水平得到了深化发展，使学生对知识的理解更加深刻透彻，让学生去挖掘、体验、反思、评价、感悟一些概念丰富的知识背景，多种的可能性和诠释结构的内在关联，协调沟通，从不同的角度认识某个知识，用不同的形式来表征同一个概念，使学生对知识的理解更加深刻，全面。4.2拓展学生寻找解决问题的途径 数形结合作为一种思维策略，虽然不一定能作为题目的解法，但常可以作为寻求解法的一个思路，或在思路受阻时寻求出路的突破口，所以这又是数形结合这种思维策略的另一方面的积极意义。例13:设kr时，关于x的一元二次方程7x2一(k+13)x+k2-k-2=0有二个实根x1,x

43、2且0xl 1x2 2，求k的取值范围。分析一:对于这个题目，如按常规思考，因为它是有关方程和根的问题，自然就会想到由方程的两根分别在0 xl1, 1x22内，可想到求出方程的两根x1 ,x2,即x1,x2 = 于是，依题意01，12这种思路，按理应有较好的解题结果，因而一般人极易往这条路上想，但是由于牵涉到解无理不等式组，导致了复杂的运算，费时费力，且难以求出正确的结果。分析二:由方程是一元二次方程，可联想到韦达定理、根的判别式。但应用韦达定理将使我们误入歧途。这是因为0 x1l, 1x22，仅是1 x1 + x2 3, 0 x1 .x2 2即13,00,f(1)0,f(2)07-(k+13

44、)+k2-k-20解不等式组得：k的取值范围是：k/-2k-1或3k4 图16 16从上面的例子可以看出，当寻找解题思路发生困难时，不妨用数形结合的观点去探索;当解题过程中的复杂运算使人望而生畏时，不妨从数形结合的观点去开辟几何的新思路;当求解有关图形问题感到困难时，不妨借助代数的帮助;当解有关数式问题无从着手之际，不妨借助于形的直观。数形结合为你的解题提供了多方位的角度，有很强的导向性。4.3有助于学生数学能力思维的发展数学思维和思维能力的培养是数学教学改革的核心问题，斯托利亚尔认为:“数学教育学的任务是形成和发展那些具有数学思维(或数学家思维)特点的智力活动结构，并且促进数学中的发现。”进

45、入高中阶段的学生己完成了由直观形象思维到抽象逻辑思维的飞跃，但这并不是说我们在教学中就可以偏颇某一种思维方式。我国著名科学家钱学森说:“我按我们习惯的称呼，把一个人的思维分三种:抽象思维，形象思维和直觉思维”。形象思维的培养在高中阶段是不容忽视的，也是很重要的。我们强调高中数学教学中形象思维和抽象思维的培养应该是平行发展，即在同一个思维活动中，形象思维和逻辑思维同时存在，且相互间进行不断地切换和互译，只有两者的协同活动，才能完成高级的思维过程。从认知方式来看，学生往往也较习惯从形象思维入手，而用抽象思维收尾。而数形结合思想方法，始终从“形”“数”两个角度来剖析问题，函数与图象，曲线与方程，空间

46、图形等许多内容，无不渗透着数形结合的思想方法。由图像特征分析代数性质，需要的是形象思维，体现了“数形结合”思想方法，而将代数问题转化为几何问题或借助于几何问题求解，则往往不仅需要形象思维，而且还需要创造思维，更加深刻地体现了“数形结合”的思想方法，因此在中学数学教学中重视数形结合，既是学生掌握解决问题的一种手段，又能加深学生对有关数学问题实质的认识，起到培养学生思维的形象性和创造性的双重功效。我们知道形象思维的最大特征是不能脱离具体的直观形象，由对实物的感知去构建出相应的数学表象，或借助于文字符号给出的信息转变成直观表象。倾向于“形象的图像的”的思维方式（1）。在中学数学中，许多概念(定义)、

47、定理都是由图形结构建立的，解题则是以概念(定义)定理为依据，通过分解、组合(重组)，对题目进行论证、推导、计算。在论证过程中，许多题目也是以图形结构的转化为推理过程的线索和载体。因此，无论是概念的建立，定理的证明，解题的过程，都要认真地挖掘形象思维因素，通过数形结合帮助学生储备较为丰富的形象。在数学中，也存在着大量的直觉思维。就是人们在求解数学问题时，能运用己有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而做出大胆的猜想、合理的假设，并做出试探性的结论。运用数形结合解题能直接揭示问题的本质，直观地看到问题的结果，只需稍加计算或推导，就能得到确切的答案，因此许多数学问题的解答都是先从几何

48、形象的直觉感知中得到某种猜想、预感，然后再进行逻辑推理和证明，进而使问题得以解决。5.数形结合思想方法的教学实施 （1）郑毓信肖柏荣熊萍著，数学思维与数学方法论，四川教育出版，2001年4月 175.1引入数学史，渗透数形结合思想方法 .俗话说:读史人明智。作为数学教师，“借用数学史这盏明灯在失败中寻找成功，不仅应该读数学史，而且更应该用数学史。在成功中追求创新。（1）” 例如:在学习直角坐标系或解析几何时，我是先向学生介绍笛卡尔:1619年在多瑙河畔的军营中，他用了大部分时间去思考一个问题:是不是可以用代数中的计算过程来代替几何中的证明呢?要这样就必须找到一座能连接几何和代数的桥梁使几何图形数值化，从而能用计算的方法去解决。在那些日子里，笛卡尔的思维一直处于一种高度的兴奋状态。于是奇迹出现了，11月10日晚上，在笛卡尔躺在床上迷迷糊糊地进入了梦乡。