高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第2课时）教案 新人教A版选修2-3

1、学必求其心得，业必贵于专精1。1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二课时教学目标知识与技能分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用过程与方法通过对简单实例的分析概括，总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用的方法情感、态度与价值观引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式，培养学生的抽象概括能力和分类讨论能力重点难点教学重点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用教学难点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用提出问题1：某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？提出问题2：有一个班共有46名学生，其中男生有21名（1）现要选派一名学生

2、代表本班参加学校的学代会,则有多少种不同的选派方法？(2)若要选派男、女学生各一名代表本班参加学校的学代会,则有多少种不同的选派方法？活动设计：请同学分析思路和解法依据，并由另外的同学补充活动成果：1要完成领带和衬衣的搭配可以分两个步骤：第一步，选择一条领带,有4种不同的选择；第二步,选择一件衬衣,有6种不同的选择根据分步乘法计数原理，共有4624种不同的搭配方法2(1)要选派一名学生代表本班参加学校的学代会有两类不同的选法：第一类，选男生，有21种不同的选择；第二类,选女生，有25种不同的选择根据分类加法计数原理，共有212546种不同的选择(2)要选派男、女学生各一名代表本班参加学校的学代

3、会,可以分成两个步骤：第一步，选男生,共有21种不同的选择;第二步,选女生,共有25种不同的选择根据分步乘法计数原理,共有2125525种不同的选法设计意图：通过以上两个简单的问题，引导学生回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理提出问题3：上一节课我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并将两个原理进行了推广，请同学们回忆我们推广的两个原理的内容，并回忆两个原理的区别与联系活动设计:教师提问，学生回答,请不同的同学补充活动成果:1分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这

4、件事共有nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理：完成一件事,需要n个不同的步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有nm1m2mn种不同的方法3分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系：(1）相同点:都是回答有关完成一件事的不同方法种数的问题(2)不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存,只完成任何其中的

5、一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事，是合作完成设计意图：检查学生对两个原理的掌握情况，为本节课的学习提供知识基础和方法提示例1给程序模块命名,需要用3个字符,其中首字符要求用字母ag或uz,后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名？思路分析:要给一个程序模块命名，可以分三个步骤:第一步,选首字符；第二步，选中间字符;第三步，选最后一个字符而首字符又可以分为两类解：第一步，先计算首字符的选法由分类加法计数原理，首字符共有7613种不同的选法第二步，中间字符和末位字符各有9种不同的选法根据分步乘法计数原理,最多可以有13991 053种不同的选法，即最多可以给1

6、053个程序命名例2核糖核酸（rna）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个rna分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据总共有4个不同的碱基，分别用a，c，g,u表示在一个rna分子中，各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关假设有一类rna分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的rna分子?思路分析：用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从a、c、g、u中任选一个来占据 第1位第2位第3位 第100位 4种 4种 4种 4种解：100个碱基组成的长链共有100个位置，如上图所示从左

7、到右依次在每个位置中，从a、c、g、u中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法根据分步计数原理，长度为100的所有可能的rna分子种数为。例3电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成问：(1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？(2)计算机汉字国标码（gb码）包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉

8、字至少要用多少个字节表示?思路分析:由于每个字节有8个二进制位,每一位上的值都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题解：(1）用下图来表示一个字节 第1位第2位第3位 第8位 2种 2种 2种 2种一个字节共有8位，每位上有2种选择根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示2222222228256个不同的字符(2）由(1)知，用一个字节所能表示的字符不够6 763个,我们就考虑用2个字节能够表示多少个字符前一个字节有256种不同的表示方法，后一个字节也有256种表示方法根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示25625665 536个不同的字符，这已

9、经大于汉字国标码包含的汉字个数6 763。所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示提出问题:分析以上三个例题，总结这三个例题的共同特点活动设计：先独立思考，后分组讨论，最后学生总结活动成果：这三个问题的解决都是分步完成的,在计算每一步的方法时都采用了分类加法计数原理由此可知,在解决计数问题时，往往要两个原理一起使用重要的是，在解决时，是先分步还是先分类【巩固练习】1乘积(a1a2a3)（b1b2b3)（c1c2c3c4c5）展开后共有几项？2某商场有6个门,如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？答案：1。452.30【拓展实例】三个

10、比赛项目，六人报名参加（1)每人参加一项有多少种不同的方法？(2)每项1人，每人参加的项数不限,有多少种不同的方法?(3)每项1人,且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？思路分析：（1)可以分成六个不同的步骤完成，每个人选择一个项目为一个步骤；(2)可以分成三个不同的步骤,每项选择一个人报为一个步骤；（3）可以分成三个不同的步骤，每项选择一个人报为一个步骤，但每步所选之人不同解:（1）完成这件事可以分成六个不同的步骤：第一步，第一个人报一个项目,有3种不同的选择；第二步，第二个人报一个项目,有3种不同的选择；第三步，第三个人报一个项目，有3种不同的选择；第四步，第四个人报一个项目，有3种不同

11、的选择;第五步，第五个人报一个项目，有3种不同的选择；第六步，第六个人报一个项目，有3种不同的选择根据分步乘法计数原理共有33333336种不同的方法（2)完成这件事可以分成三个不同的步骤：第一步,第一个项目选择一个人报,有6种不同的选择;第二步，第二个项目选择一个人报，有6种不同的选择;第三步，第三个项目选择一个人报，有6种不同的选择根据分步乘法计数原理，共有66663种不同的方法（3）完成这件事可以分成三个不同的步骤：第一步，第一个项目选择一个人报，有6种不同的选择；第二步，第二个项目从剩下的5个人中选择一个人报，有5种不同的选择；第三步，第三个项目从剩下的4个人中选择一个人报，有4种不同

12、的选择根据分步乘法计数原理，共有654120种不同的方法点评：在使用两个原理解决计数问题时，一定要从完成这件事的角度考虑,以此作为分类和分步的依据【变练演编】将3种作物种植在如图所示的4块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种?(三种作物必须都种植）解法一：可以分4个步骤完成这件事:每一步种一块地种第一块，有3种作物可供选择；种第二块地，有2种作物可供选择;种第三块地，有2种作物可供选择;种第四块地，有2种作物可供选择；根据分步乘法计数原理，可得共有322224种不同的种法但是在所有的种法中，包含了只种两种作物的情况，应该去掉若只种两种作物,可以分

13、4个步骤完成这件事：每一步种一块地种第一块，有3种作物可供选择;种第二块地，有2种作物可供选择；种第三块地，有1种作物可供选择；种第四块地，有1种作物可供选择；根据分步乘法计数原理,可得共有32116种不同的种法综上，满足条件的种法共有24618种解法二：分两大类完成这件事:第一类，第三块地和第一块地种植作物一样,分成四个步骤：第一步，种第一块地,有3种作物可供选择;第二步，种第二块地，有两种选择;第三步,种第三块地,有一种选择；第四步，种第四块地,只能种剩下的一种作物，有一种选择根据分步乘法计数原理，这一类共有32116种不同的种法第二类，第三块地和第一块地种植作物不一样，分成四个步骤：第一

14、步，种第一块地，有3种作物可供选择；第二步，种第二块地，有两种选择;第三步,种第三块地，有一种选择；第四步，种第四块地，有2种作物可供选择根据分步乘法计数原理,这一类共有321212种不同的种法然后将这两类相加，共有61218种不同的种法点评：完成这件事的计数,必须两个原理结合使用，可以先分类再分步，也可以先分步再分类无论采用哪种方法,都要做到：“考虑全面,不重不漏【达标检测】1将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（)a53种 b35种c3种 d15种2由数字2，3，4，5可组成_个三位数,_个四位数,_个五位数3某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?答案：1

15、.b2。4344453.341知识收获:分类加法计数原理和分步乘法计数原理的初步应用2方法收获：解决计数问题时先分步后分类的方法3思维收获：化归思想【基础练习】1若在登陆某网站时弹出一个4位的验证码：xxxx（如2a8t),第一位和第三位为0到9中的数字,第二位和第四位为a到z这26个英文字母中的一个,则这样的验证码最多有_个2某巡洋舰上有一排四根信号旗杆，每根旗杆上可以挂红色、绿色、黄色三种信号旗中的一面（每根旗杆必须挂一面）,则这种信号旗杆上共可发出多少种不同的信号?3四名学生争夺三项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少种？48本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本,有多少种不同的分法？

16、答案：1。676 002.813。644。336【拓展练习】572的正约数（包括1和72）共有_个6将4种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？(至少种三种作物）答案：5。126。520本节课给不同层次的学生都提供了一个理解的平台,作为教师,重点要做好的是帮助学生掌握解这一类型题目的分析思路和步骤若有学生在解题分析时不很清楚,教师要及时地进行归纳小结，能够使学生在应用两个计数原理时思路进一步变得清晰和明确，从而在学生的记忆中逐步建立起一个完整的认知结构本节课的主要特点是引导学生进行实例分析、自主探究、归纳总结例1在所有的两

17、位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？分析与解：分析个位数字,可分以下几类个位是9，则十位可以是1，2，3，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2,3，7中的一个，故有7个；与上相同:个位是7的有6个；个位是6的有5个；个位是2的只有1个由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1234567836个点评：本题是用分类加法计数原理解答的，结合本题可加深对“做一件事，完成它可以有n类办法”的理解，所谓“做一件事，完成它可以有n类办法”,这里是指对完成这件事情的所有办法的一个分类分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求:完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理例2 75 600有多少个正约数？有多少个奇约数？解：由于75 6002433527，(1）75 60