高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算示范教案 新人教B版必修4

1、学必求其心得，业必贵于专精2.2。2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算示范教案教学分析1前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算2本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律通过复习基本定理、基底，引出向量的垂直、正交分解和正交基底的概念3本节内容的教学应引导学生自己推导运算法则，并要求学生熟练地掌握向量的坐标运算让学生通过平面向量基本定理重新

2、认识平面直角坐标系用三角函数的定义，初步建立向量与长度、角度之间的联系，认真向学生分析向量的坐标与点坐标之间的关系三维目标1通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法，理解正交分解的概念，理解并掌握平面向量的坐标运算，掌握线段的中点公式的坐标表示2通过平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体,通过本节的学习，更深层次的理解数形结合的数学思想方法3在解决问题过程中要形成“见数思形、以形助数”的思维习惯，以加深理解知识要点,增强应用意识重点难点教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量坐标运算的灵活应用课时安排1课时导入新课思路1。(

3、类比引入)在物理学中，有这样的例子，如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力g，可分解为使物体沿斜面下滑的力f1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力f2。飞机在起飞时若沿仰角的方向起飞的速度为v，可分解为沿水平方向的速度vcos和沿竖直方向的速度vsin.从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段类比物理学上的这种分解，本节我们将学习两个向量的基底互相垂直的特例，由此展开新课思路2。（直接引入)上一节我们学到，平面向量基本定理，即如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数

4、a1,a2,使aa1e1a2e2（可让学生复述），即把一个向量分解这里不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形显然如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来极大方便,这种分解就是我们本节要探究的一种重要分解,叫做正交分解，由此引入新课推进新课向量的直角坐标(1)什么是正交基底？什么是正交分解？(2)用向量的观点重新认识直角坐标系，你有什么新的发现？(3)在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢？在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的?活动：如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底在

5、正交基底下分解向量，叫做正交分解以后会看到,在正交基底下进行向量分解，许多有关度量问题变得较为简单现在，让我们用向量的观点重新认识一下我们学过的直角坐标系在直角坐标系xoy内（如图1）,分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1,e2。这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底e1，e2e1和e2分别是与x轴和y轴同方向的单位向量这个基底也叫做直角坐标系xoy的基底图1在坐标平面xoy内(如图1)，任作一向量a（用有向线段表示),由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2),使得aa1e1a2e2，(a1，a2）就是向量a在基底e1，e2下的坐标即a（a1，a2）其中a1叫做向

6、量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量分别过向量的始点、终点作x轴和y轴的垂线，设垂足分别为a1，b1和a2，b2。坐标分量a1为向量在x轴上的坐标，坐标分量a2为向量在y轴上的坐标显然0(0,0)，e1(1，0)，e2（0，1)设向量a(a1，a2),a的方向相对于x轴正向的转角为，由三角函数的定义可知a1a|cos，a2|asin.图2在直角坐标系中（如图2)，一点a的位置被点a的位置向量所唯一确定设点a的坐标为（x，y),容易看出xe1ye2（x,y），即点a的位置向量的坐标(x,y)，也就是点a的坐标；反之，点a的坐标也是点a相对于坐标原点的位置向量的坐标由上面的探究,符

7、号（x，y)在直角坐标系中就有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y）,或向量（x，y)讨论结果：（1）(2)略(3）平面内的任一向量a都可由坐标唯一确定，是一一对应的关系向量的直角坐标运算有了上面的坐标表示,我们自然会想，能对两个向量进行加、减、数乘运算吗?请试一试,看看有什么新发现？活动：教师引导学生自己探究两个向量的加、减、数乘运算，教师给予适时的点拨,学生很容易推得：设a（a1，a2)，b（b1，b2），则ab(a1e1a2e2)（b1e1b2e2)（a1b1）e1(a2b2）e2，即ab（a1b1,a2b2)同样有ab（a1b

8、1，a2b2),又a(a1e1a2e2)a1e1a2e2。所以又得ab（a1b1，a2b2)，a(a1，a2）（a1,a2）上述向量的坐标运算公式，也可以用语言分别表述为：两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积讨论结果：通过探究，我们发现：（1）向量的加、减、数乘运算，在平面直角坐标系中，完全可以代数化，这给我们的研究带来极大的方便为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了，即点a的坐标就是向量a的坐标，流程表示如下:axiyja的坐标为(x,y)a,a（x,

9、y） (2)我们还能得到如下公式:设a（x1，y1），b(x2，y2)，则向量的模为|.这即为教材中的例2.如图3.图3 （3)我们还能得到线段中点的坐标公式如图3，让学生自己推得在直角坐标系xoy中，已知点a（x1，y1)，点b（x2,y2)，线段ab中点为m（x，y），则(）上式换用向量的坐标，得(x，y)（x1，y1）（x2,y2），即x，y。这就是线段中点的坐标公式，简称中点公式教材上以例3的方式给出的应让学生理解并掌握这个公式思路1例 1已知a（2，1），b(3，4），求ab，ab,3a4b的坐标活动：本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标

10、运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化可由学生自己完成解：ab(2,1)(3,4）(1,5)；ab(2，1）（3，4)（5，3)；3a4b3(2，1）4(3，4）(6，3)（12，16）(6,19)点评：本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练已知平面向量a（1,1），b（1,1),则向量ab等于()a(2,1） b(2，1）c（1,0） d(1,2)答案:d例 2如图4,已知abcd的三个顶点a、b、c的坐标分别是（

11、2，1）、（1，3)、（3,4)，试求顶点d的坐标图4活动：本例是让学生熟悉平面向量的坐标运算，这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点d的坐标解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系（主要是平行关系），数形结合地思考，将顶点d的坐标表示为已知点的坐标解:方法一：如图4，设顶点d的坐标为（x,y）(1，3）(2，1）（1,2），（3x，4y）由，得(1，2)（3x，4y）顶点d的坐标为(2，2）方法二：如图4,由向量加法的平行四边形法则，可知(2,1）（1，3)（3，4)(1

12、,3）(3，1)，而（1,3）(3，1)(2,2)，顶点d的坐标为(2，2）。变式训练如图5,已知平面上三点的坐标分别为a（2，1)，b（1，3)，c（3，4)，求点d的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点图5解：当平行四边形为abcd时,仿例2得：d1（2，2);当平行四边形为acdb时,仿例2得：d2（4,6)；当平行四边形为dacb时，仿上得：d3(6,0）。例 3在直角坐标系xoy中，向量a,b,c的方向和长度如图6所示分别求出它们的坐标解:设a(a1，a2)，b（b1，b2），c(c1，c2)，则图6a1a|cos452,a2a|sin452；b1bcos1203(）,b2bsin12

13、03；c1|ccos(30)42，c2|c|sin(30)4（）2。因此a(，)，b（，)，c（2,2）例 4在直角坐标系xoy中，已知点a（3,2),点b（2，4)，求向量的方向和长度(图7)图7解:由已知可得（3,2）,（2,4)设,则(3，2)（2,4）(1,6)由两点的距离公式，得。设的相对x轴正向的转角为，则tan6,得arctan6.因此，向量的方向偏离x轴正方向为arctan6，长度等于。思路2例 1在abc中，已知点a(3,7)、b(2,5）若线段ac、bc的中点都在坐标轴上，求点c的坐标解：(1)若ac的中点在y轴上，则bc的中点在x轴上，设点c的坐标为（x,y），由中点坐标

14、公式，得0,0，x3，y5，即c点坐标为（3，5）(2）若ac的中点在x轴上,则bc的中点在y轴上，则同理可得c点坐标为（2，7)综合(1）(2)，知c点坐标为（3,5）或（2，7）例 2已知点a（1,2)，b(4,5)，o为坐标原点，t。若点p在第二象限,求实数t的取值范围解：由已知(4，5)(1,2）(3，3)（1，2)t（3,3）（3t1,3t2)若点p在第二象限，则t。故t的取值范围是(，）点评：此题通过向量的坐标运算,将点p的坐标用t表示,由点p在第二象限可得到一个关于t的不等式组，这个不等式组的解集就是t的取值范围。变式训练已知(cos，sin），(1sin，1cos)，其中0，求

15、|的取值范围解：（1sin，1cos）（cos，sin)（1sincos，1cossin），|2（1sincos）2(1cossin)21（sincos）21（sincos）222(sincos）222(12sincos）44sincos42sin2。0，022.从而1sin21。42sin22，6故|的取值范围是,.例 3已知a（3,4），b（1，4)，求ab，ab,2a3b的坐标解：ab(3，4）（1,4）(2,8),ab（3,4）(1,4)（4，0），2a3b2(3,4）3(1，4)(6,8）(3，12)（9，4)4已知a(2,1)，b（1,3），求线段ab中点m和三等分点p，q的坐标(

16、如图8）图8解：因为（1,3)(2，1)（3，2),所以()(2,1)（1，3)(,2）；(2，1）(3，2)(1，）；（2,1）（3,2)（0，）因此m(,2)，p(1，)，q(0，)。变式训练若(2，4），（1，3),则等于（）a(1，1) b(1，1)c（3,7) d(3，7)答案：b1先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，线段的中点公式的坐标表示，用向量的观点重新认识平面直角坐标系，明确了向量坐标与点的坐标的异同2教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态

17、度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础课本本节练习a组24.1本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究本教案设计流程符合新课改精神教师在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力2平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从

18、下手向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等一、求点p分有向线段所成的比的几种求法（1）定义法：根据已知条件直接找到使的实数的值例 1已知点a(2,3）,点b(4，1),延长ab到p，使|3|，求点p的坐标解：因为点在ab的延长线上,p为的外分点，所以，0，又根据|3|，可知3，由分点坐标公式易得p点的坐标为(7,3）（2）公式法:依据定比分点坐标公式x，y,结合已知条件求解.例 2已知两点p1（3，2），p2(8，3）,求点p(,y）分所成的比及y的值解：由线段的定比分点坐标公式，得解得二、备用习题1已知a（3，1）,b(1，2)，则3a2b等于(）a(7，1) b（7，1） c（7,1） d(7，1)2已知a(1，1)，b（1，0），c（0,1),d（x，y），若和是相反向量，则d点的坐标是 （)a(2,0) b（2，2) c(2,0) d(2，2)3若点a（1,1）,b(1,3)，c(x，5)共线,则使的实数的值为（)a1 b2 c0 d24已知a、b、c三点共线,且a（3，6），b（5，2)，若c点的