2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数章末小结与测评教学案

1、学必求其心得，业必贵于专精第一章 三角函数一、角的概念1角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转”两字其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类2象限角及非象限角，都是相对于坐标系而言的，应注意平面直角坐标系的建立方法，即角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合,只有在这一前提下，才能讨论象限角与非象限角3终边相同的角有无数个，在所有与角终边相同的角的集合可表示为s.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同二、角度制与弧度制弧度制是以“弧度为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如k360或602k，kz的写法是不允许的，尤其

2、是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k360，kz等三、三角函数的定义1三角函数的定义有两种(1）角的终边上任取一点p(x，y)，|op|r，则sin ，cos ;tan 。(2）角的终边与以原点为圆心，以单位长为半径的圆交于点p(x，y）,则sin y，cos x，tan .2用三角函数线解基本的三角不等式的步骤为：(1)先作出取等号的角;（2)利用三角函数线的直观性,在单位圆中确定满足不等式的角范围3诱导公式2k，2,的诱导公式可归纳为：k(kz）的三角函数值当k为偶数时，得的同名三角函数值；当k为奇数时，得的余名三角函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符

3、号,概括为“奇变偶不变,符号看象限”，这里的奇偶指整数k的奇偶四、三角函数的图像与性质ysin xycos xytan x图像定义域(，)x|xr，xk，kz值域1,1(,)周期性周期t2周期t奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(kz)上增；在，（kz)上减在2k，2k(kz）上增；在2k，2k（kz）上减在(k,k）（kz）上增对称轴xk(kz）xk（kz)_对称中心(k，0）(kz）（k，0)（kz）(，0）(kz)五、函数yasin(x)的图像1由ysin x的图像变换得到yasin(x)的图像（1）三角函数图像的变化规律和方法，由ysin xysin（x)，此步骤只是平移，而由ysin

4、xysin(x)可由两条思路：ysin xysin（x)ysin（x)即先平移后伸缩;ysin xysin xysin（x)即先伸缩再平移不论哪一条路径,每一次变换都是对字母x而言的(2)“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”，两条路径平移的单位不同 ；“先平移后伸缩平移|个单位，“先伸缩后平移”则须平移个单位主要程序如下：ysin xysin（x）ysin（x)yasin（x）;ysin xysin xysin（x)yasin(x）2由图像确定函数yasin(x)的解析式,主要从以下三个方面来考虑（1）a的确定：根据图像的“最高点、最低点”确定a.（2）的确定:结合图像先求周期t，然后由t（0）

5、确定.(3)的确定：根据函数yasin（x）最开始与x轴的交点(靠近原点）的横坐标为确定.3函数yasin（x）的性质（1)求形如yasin(x)（其中a0，0）的函数的单调区间，可以通过列不等式的方法求解，列不等式的原则是：把“x”视为一个“整体”；再根据ysin x的增减区间列不等式（2)对于函数yasin（x)(a0,0)，当k，kz时，是奇函数；当k，kz时，是偶函数(3）函数yasin（x）的周期t。典例1已知f（)，(1）化简f();(2）若，求f（)的值解（1)f（）cos 。(2）fcos coscos cos 。借题发挥(1)灵活运用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，以达

6、到统一角的目的；（2)在求值中有已知三角函数值求值与已知角求值两种情况，已知三角函数值求值时，要分清已知的三角函数与未知的三角函数之间的关系，特别是角的关系；已知角求值时,利用诱导公式对点训练1已知cos(3)，求的值解：cos（3)，cos 即cos 。原式。典例2求下列函数的定义域：（1）y；(2）ytan x。解(1）要使函数有意义，必须使tan x有意义，且tan x0。有（kz)函数y的定义域为.(2)当sin x0且tan x有意义时，函数有意义，有(kz)函数ytan x的定义域为(kz)借题发挥1.求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组),通常可用三角函数的图像或

7、单位圆来求解2求三角函数的值域（最值)问题常用的方法有：(1）将所给的三角函数转化为二次函数并通过配方法求值域(最值）；(2)将所给的函数转化为sin（x）或cos(x)的函数，利用sin x，cos x的有界性求值域对点训练2已知函数ylg cos 2x，求它的定义域和值域解:函数f(x）lg cos 2x有意义,则cos 2x0，即2k2x2k，kz，解得kxk，kz.函数的定义域为xkxk，kz由于0cos 2x1,lg cos 2x0,所以函数的值域为(，0。典例3如右图，是函数yasin(x)k（a0，0)的一段图像（1)求此函数解析式；(2）说明该函数是如何通过ysin x变换得来

8、的?解（1)由图像知a，k1，t2，2.ysin（2x)1。当x时，2，.所求函数解析式为ysin1。(2）把ysin x向左平移个单位，得到ysin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到ysin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到ysin，最后把函数ysin的图像向下平移1个单位,得到ysin1的图像借题发挥三角函数的图像是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质具体要求：(1)用“五点法”作yasin(x）的图像时,确定五个关键点的方法是分别令x0，,，2。(2）

9、对于yasin（x）的图像变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别(3)已知函数图像来求函数yasin(x)（a0，0）的解析式时，要先求a、，再求.对点训练3若函数f(x)asin（2x)（a0，0)在x处取得最大值，且最大值为3，求函数f（x）的解析式解：因为函数f(x)最大值为3，所以a3，又当x时函数f(x）取得最大值，所以sin1，因为00,0，）在x处取得最大值2,其图像与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求f(x)的解析式；（2）求函数g（x）的值域(提示：cos 2x2cos 2x1）解（1)由题设条件知f(x）的周期t，即,解得2。因f（x）在x处取得最大

10、值2,所以a2。从而sin1，所以2k，kz。又由得，故f（x）的解析式为f(x）2sin。（2)g（x)cos2x1.因cos2x0，1,且cos2x，故g(x)的值域为。借题发挥在考查三角函数的性质时，一般与后面的三角恒等变换相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等有关性质研究三角函数的性质时，除了熟悉ysin x,ycos x和ytan x的性质外，还要注意整体代换和方程的思想的应用对点训练4已知函数f（x）sin1（1)求函数的最小正周期和单调递增区间;（2)求函数f（x)在区间的最小值和最大值；(3）若x，求使f(x)的x的取值范围解:(1）t，由2k2x2k

11、，解得kxk，kz。故f(x)的单调递增区间为，(kz）（2)由x得2x.所以f（x）的最大值为21，最小值为2。(3)由f(x）得sin,由x可得2x.故满足条件的2x,解得x。故使f(x)的x的取值范围是。 （时间:90分钟满分：120分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列各角中与终边相同的是（）ab。c。 d。解析：选d2，与角的终边相同2cos 330（)a. bc。 d解析:选ccos 330cos(36030)cos(30)cos 30。3设是第三象限角，且cos，则终边所在的象限是（)a第一象限 b第二象

12、限c第三象限 d第四象限解析：选b是第三象限角，2k2k，kz,kk,kz，是第二象限或第四象限角又|coscos，cos0，是第二象限角4若函数f（x)sin x(0）在区间上是增加的,在区间上是减小的，则(）a3 b2c. d.解析：选c由题意知，函数在x处取得最大值1,所以1sin,。5函数y3sin的一个单调递减区间为（)a。 b.c. d。解析：选by3sin3sin，检验各选项知，只有b项中的区间是单调递减区间6(全国高考)若函数f（x）sin ，0，2是偶函数，则（)a。 b.c。 d.解析:选c若f（x)为偶函数，则f（0）1,即sin 1，k（kz)3k(kz）只有c项符合7

13、（山东高考)函数y2sin（0x9)的最大值与最小值之和为(）a2 b0c1 d1解析：选a当0x9时,，sin1，所以函数的最大值为2,最小值为，其和为2.8方程|x|cos x在（,）内（）a没有根 b有且仅有一个根c有且仅有两个根 d有无穷多个根解析:选c构造两个函数yx和ycos x，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察图像知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根9。 已知函数图像的一部分如图，则函数的解析式是(）aysinbysincycosdycos解析:选d由图像知t4.2，排除选项a、c.图像过代入选项b，fsin01，故b错误10如果函数y3cos(2x）的图像关

14、于点（，0)中心对称，那么|的最小值为（)a. b。c. d.解析:选a函数y3cos（2x）的图像关于点(，0）中心对称，2k（kz）k(kz）,由此易得|min.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）11设扇形的半径长为4 cm，面积为4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_解析:由sr2,得.答案：12已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p(4,y）是角终边上一点,且sin ,则y_解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，故y0，即sin.设z2x，则sin z。由图知，2kz2k(kz），即2k2x2

15、k(kz），解得kxk(kz)答案:（k，k）（kz)三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15（本小题满分12分）已知f（)。（1）化简f（）；(2)若sin，求f(）的值解：（1)原式cos 。(2）sinsin(）cos ，cos 。故f()。16（本小题满分12分）已知函数f（x）2sin。(1)当x时，求f(x）的值域；(2)用五点法作出yf（x）在闭区间上的简图；（3)说明f（x）的图像可由ysin x的图像经过怎样的变化得到？解：（1）x，2x，sin1，所求值域为，2（2)列表：x2x022sin02020画图(如图)(3)法一：

16、可由ysin x的图像先向左平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的,最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到法二：可由ysin x的图像先将图像上各点的横坐标缩短到原来的，再将图像向左平移个单位长度,最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到17(本小题满分12分）函数f（x）asin（x）的图像如图，试依图指出:（1)f（x)的最小正周期；(2)f（x)的单调递增区间和递减区间；(3)图像的对称轴方程与对称中心解:（1）由图像知f(x）的最小正周期为23。(2)半个周期是，,由图像可知，f(x)的单调递增区间是(kz),f（x)的单调递减区间是（kz)(3）f(x）的图像的对称轴方程是x(kz)，对称中心是(kz)18（本小题满分14分）已知函数f（x）2sin，（00）(1)若函数yf(x)图像的两相邻对称轴间的距离为，且它的图像过(0，1）点，求函数yf(x)的表达式;(2）将(1）中的函数yf（x）的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg（x）的图像，求函数yg(x）的单调递增区间；（3）若f（x）的图像在x(ar）上至少出现一个最高点或最低点，求正整数的最小值解：（1)由题意得2，所以2，所以f（x)2sin。又因为yf（x)的图像过点（0，1），sin。又0，,f(