2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质教学案

1、学必求其心得，业必贵于专精第1课时正切函数的定义正切函数的图像与性质核心必知1正切函数（1)定义：如果角满足：r,k（kz)，那么，角的终边与单位圆交于点p（a，b），唯一确定比值.根据函数的定义，比值是角的函数,我们把它叫作角的正切函数，记作ytan_，其中r，k,kz.（2)与正弦、余弦函数的关系：tan_x（3）三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,它们统称为三角函数(4）正切值在各象限内的符号如图2正切线单位圆与x轴正半轴交于点a,过点a作x轴的垂线at,与角的终边或其反向延长线交于点t.则称线段at为角的正切线当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在3正切函

2、数的图像和性质函数性质ytan x图像续表函数性质ytan x定义域xxr且xk,kz值域r周期性最小正周期为t奇偶性奇函数单调性在(k，k)（kz）上是增加的对称性图像的对称中心(，0）kz问题思考1你能描述正切曲线的特征吗？提示：正切曲线是被互相平行的直线xk（kz）所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心2正切曲线在整个定义域上都是增加的吗?提示：不是正切函数定义域是xxk，kz，正切曲线在每一个开区间（k，k）(kz）上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的3函数ytan x|的周期是吗？提示：不是y|tan x的周期仍为.讲一讲1已知tan 2,利

3、用三角函数的定义求sin 和cos 。尝试解答在的终边上取一点p(a，2a）且a0，则有xa，y2a，ra|。tan 20，在第一象限或第三象限当在第一象限时,a0，则ra.sin ，cos 。当在第三象限时，a0，则ra。sin ，cos .1若p（x，y)是角终边上任一点，则sin ，cos ，tan （x0），其中r.2当角的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论练一练1角的终边经过点p（b，4）且cos ，求tan 的值解：由已知可知点p在第二象限,b0.cos ，解得b3，tan .讲一讲2画出函数y|tan x|的图像，并根据图像写出使

4、y1的x的集合尝试解答ytan x|画出其图像，如图所示实线部分由图像可知x的集合为xkxk，kz1三点两线画图法“三点”是指，(0，0)，；“两线”是指x和x.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在上的简图,然后向右、向左扩展即可得到正切曲线2如果由yf（x)的图像得到yf(|x|）及y|f（x)的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出yf（x)(x0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到yf（|x|）（x0）的图像；同理只要作出yf（x)的图像，令图像“上不动下翻上便可得到y|f(x）|的图像3利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三

5、角不等式等练一练2多维思考根据讲2中函数ytan x的图像，讨论该函数的性质解：（1）定义域：xxr，xk，kz(2)值域：0，)（3）周期性：是周期函数，最小正周期为。（4）奇偶性:图像关于y轴对称，函数是偶函数（5）单调性：在每一个区间（k，k(kz）上是减少的，在每一个区间(kz)上是增加的(6）对称性:对称轴x，kz。讲一讲3(1）求函数ytan的单调区间(2）比较tan与tan的大小尝试解答（1）ytan x，在(kz）上是增加的，kxk，kz。2kx2k，kz，即函数ytan的单调递增区间是2k,（kz)(2)tantantan,tantantan。又函数ytan x在（0，)内单

6、调递增，而0，tantan，即tantan。1正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间2对于函数yatan（x）(a,是常数）的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值,再利用“整体代换”思想，求得x的范围即可3比较两个正切函数值的大小,要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小练一练3函数f(x）tan(2x)的单调递增区间为_解析：由k2xk(kz），得kxk(kz），所以函数的单调递增区间为（，)（kz）答案:(，)(kz）求函数y的定义域错解由1tan x0得tan x1，解得xk，kz,

7、函数的定义域为xxk，kz错因求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义，还得考虑正切函数本身固有的xk,kz这一条件上面的解法只考虑了1tan x0,而没有考虑xk,kz，因而是错误的正解由得xk且xk,kz。函数的定义域为.1函数ytan（x)是（）a奇函数b偶函数c既是奇函数又是偶函数 d非奇非偶函数解析:选aytan(x)tan x。此函数是奇函数2函数ytan（x）的定义域是（)a.b.c。 d。解析：选d由xk，kz得，xk,kz，函数的定义域为。3已知角的终边上一点p(2,1),则tan （)a. b2c2 d解析:选dtan .4函数ytan x，x的值域是_解析：函数ytan x在

8、上为增加的，0tan x1。答案:0，15比较大小：tan 2_tan 9。解析:tan 9tan(29），而229，且ytan x在（，)内是增加的tan 2tan(29），即tan 2tan 9.答案： 6利用正切函数的图像作出ytan x|tan x|的图像，并判断此函数的周期性解:当x（k，k时，ytan x0,当x(k，k)时，ytan x0，ytan xtan x图像如图所示由ytan x|tan x的图像可知，它是周期函数,周期为。一、选择题1已知是第二象限角，则（）atan0 btan0ctan0 dtan的符号不确定解析：选a是第二象限角，是第一或第三象限角，tan0。2函数

9、y2tan(2x)的定义域是（）a。b.c。d.解析:选b由2xk，kz，解得x，kz。3函数ytan(sin x）的值域是(）a。 b.ctan 1，tan 1 d1，1解析：选c1sin x1，1sin x10,函数的增区间为(k，k）（kz）答案：（kz)7函数ysin x与ytan x的图像在上交点个数是_解析:在x时，tan xsin x,x时，tan xsin x,所以ysin x与ytan x在上只有一个交点（0，0）答案：18已知函数y2tan ，则函数的对称中心是_解析：y2tan2tan .ytan x的对称中心为，令x，得xk，kz.y2tan的对称中心为,kz.答案：(kz）三、解答题9已知f（x)asin xbtan x1，f（）7，求f()解：设g（x)asin xbtan x，因为sin x与tan x都是奇函数，所以g(x)g（x),即g（x）g(x)0,故f(x)f(x）g(x)1g（x)12，又易得fff,ff2，且f7，ff5。10已知函数f（x）x22xtan 1，x1, ，其中。（1）当时，求函数f(x）的最大值与最小值；（2）求的取值范围，使yf（x）在区间1, 上是单调函数解：（1）当时，f(x)x2x1，x1， 当x时，f(x）的最小值为；当x1时，f（x）的最大值为.(2)函数f（x)（xtan