2017-2018学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 间接证明教学案选修2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精22。2间 接 证 明1问题:在今天商品大战中,广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术如宣传某种食品,其广告词为:“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”2已知正整数a，b，c满足a2b2c2。求证：a，b，c不可能都是奇数问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示:不能问题2：a、b、c不可能都是奇数的反面是什么?还满足条件a2b2c2吗？提示：都是奇数若a、b、c都是奇数，则不能满足条件a2b2c2.1间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证

2、明的方法通常称为间接证明反证法就是一种常用的间接证明方法,间接证明还有同一法、枚举法等2反证法（1）反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下面的框图表示：(2）反证法证明命题“若p则q”的步骤反设-假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果存真-由矛盾结果,断定反设不真，从而肯定原结论成立1反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法2可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设

3、矛盾；（2）与反设矛盾；（3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾;（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论用反证法证明否定性命题例1已知平面上四点，没有三点共线，求证：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形思路点拨本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾精解详析假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形,记这四个点为a、b、c、d，考虑abc，点d的位置分为在abc之内或之外两种情况(1）如果点d在abc之内（如图(1)）,根据假设围绕点d的三个角都是锐角,其和小于270，这与一个周角等于360矛盾(2）如果点d在abc之外(如图(2)），根据假

4、设a，b，c,d都小于90，这和四边形内角之和等于360矛盾综上所述原结论成立一点通（1）结论中含有“不、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法（2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定，其中：第一个否定是指“否定结论（假设）；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设反证法属“间接解题方法”1实数a、b、c不全为0等价于_(填序号)a，b，c全不为0;a，b，c中最多只有一个为0；a，b,c中只有一个不为0;a，b，c中至少有一个不为0。解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”答案：

5、2.如图,正方体abcda1b1c1d1中，点m是a1d1的中点，点n是cd的中点，用反证法证明直线bm与直线a1n是两条异面直线解：假设直线bm与a1n共面则a1d1平面a1bnd1，且平面a1bnd1平面abcdbn，由正方体特征知a1d1平面abcd，故a1d1bn，又a1d1bc,所以bnbc.这与bnbcb矛盾，故假设不成立所以直线bm与直线a1n是两条异面直线3已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证:， 不成等差数列证明:假设，成等差数列，则2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24,所以()20.即，从而abc,与a，b，c不成等差数列矛盾，故， ， 不成等差数

6、列用反证法证明惟一性命题例2求证：两条相交直线有且只有一个交点思路点拨“有且只有一个”的否定分两种情况:“至少有两个、“一个也没有”精解详析假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点若直线a，b无交点，则ab或a，b是异面直线，与已知矛盾若直线a,b不只有一个交点，则至少有两个交点a和b，这样同时经过点a，b就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线相矛盾综上所述,两条相交直线有且只有一个交点一点通证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题，即存在性和惟一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单

7、明了4证明方程2x3有且仅有一个根证明：2x3，xlog23,这说明方程有一个根下面用反证法证明方程2x3的根是惟一的，假设方程2x3有两个根b1、b2（b1b2)，则2b13，2b23。两式相除得：2b1b21.如果b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾如果b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾因此b1b20，则b1b2，这就同b1b2相矛盾如果方程的根多于两个,同样可推出矛盾故2x3有且仅有一个根5求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直解:已知p平面.求证:过点p和平面垂直的直线b有且只有一条证明:（1)存在性：p平面，由立体几何知识知:过点p能作出一条直

8、线与平面垂直，故直线b存在（2）惟一性:假设过点p还有一条直线c与平面垂直由b，c，得bc，这与bcp矛盾，故假设不存在,因此直线b惟一综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直用反证法证明“至多”、“至少”型命题例3已知a，b，c，dr，且abcd1,acbd1.求证：a,b，c，d中至少有一个是负数思路点拨本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能,谁是负数也都有可能所以正面证明很复杂，可考虑用反证法精解详析假设a、b、c、d都不是负数，即a0，b0，c0，d0。abcd1，b1a0,d1c0。acbdac(1a）(1c)

9、2ac(ac)1（aca）(acc）1a（c1)c(a1)1。a(c1)0,c（a1)0。a（c1）c(a1)11,即acbd1.与acbd1相矛盾假设不成立a、b、c、d中至少有一个是负数一点通(1）对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少“不可能”等字样时，常用反证法（2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有（不存在)至少有两个至多有n1个至少有n1个6已知a，b，c(0，1），求证：(1a)b,(1b）c，(1c)a不能都大于。证明：假设(1a）b，(1b)c，（1c)a都大于.a，b,c(0，1）,1a0，1b0,1

10、c0，。同理，.三式相加，得，即，矛盾所以(1a)b,(1b)c，（1c）a不能都大于.7用反证法证明：若函数f（x）在区间a，b上是增函数，那么方程f(x）0在区间a，b上至多只有一个实数根证明:假设方程f（x)0在区间a，b上至少有两个根，设，为其中的两个实根因为，不妨设,又因为函数f(x）在区间a，b上是增函数，所以f(）f（）这与f(）0f（)矛盾所以方程f（x)0在区间 a，b上至多只有一个实根1反证法证明的适用情形（1)一些基本命题、基本定理;（2）易导出与已知矛盾的命题;(3）“否定性”命题；(4）“惟一性命题;（5）“必然性命题；（6)“至多“至少类命题；(7)涉及“无限”结论

11、的命题2用反证法证明问题应注意以下三点（1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；（2）反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则,仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法;（3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾，有的与假设矛盾,有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的一、填空题1命题“,中至多有一个小于2”的反设为_答案：，都小于22（山东高考改编）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_解析:至少

12、有一个实根的否定是没有实根答案：方程x3axb0没有实根1 用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为0（a、b为实数）”，其反设为_解析：“a，b全为0”即是“a0且b0,因此它的反设为“a0或b0”答案：a，b不全为04用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：abc9090c180,这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设abc中有两个直角，不妨设a90，b90。上述步骤的正确顺序为_解析:由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案：5用反证法证明命题“若x2（ab）xab0，则xa且xb”时，应假设为_解析：对“且”的否定应为“或”，所以“

13、xa且xb的否定应为“xa或xb”答案：xa或xb二、解答题6（陕西高考）设an是公比为q的等比数列（1）推导an的前n项和公式；（2）设q1，证明数列an1不是等比数列解:（1)设an的前n项和为sn，当q1时，sna1a1a1na1；当q1时，sna1a1qa1q2a1qn1，qsna1qa1q2a1qn，得，（1q)sna1a1qn，sn，sn（2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kn，（ak11)2(ak1）（ak21）,a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10,q1，这与已知矛盾假设不成立,故an1不是等比数列7设f（x）x2axb，求证:f(1）,f（2)|，|f(3)中至少有一个不小于.证明：假设f（1)|，|f（2）,|f(3），则有于是有由、得4a2,由、得6a4.、显然相互矛盾,所以假设不成立,所以原命题正确8已知p直线a.求证：过点p和直线a平行的直线b有且只有一条证明：（1)存在性：p直线a，点p和直线a